■江蘇省寶應(yīng)中學(xué) 陳家飛

導(dǎo)數(shù)是高中階段研究函數(shù)的重要工具,有著廣泛的應(yīng)用,但是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中存在一些誤區(qū),經(jīng)常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤,本文對(duì)有關(guān)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行歸納剖析,供大家參考。

易錯(cuò)點(diǎn)1:對(duì)函數(shù)單調(diào)的充要條件理解不清致錯(cuò)

例1函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解:對(duì)f(x)求導(dǎo)得f＇(x)=3ax2-2x+1,由題意可知,f＇(x)＞0 在(-∞,+∞)上恒成立,所以解得a＞,所以a的取值范圍為。

剖析:錯(cuò)解將“導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上大于零”當(dāng)作“函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)”的充要條件。比如,函數(shù)f(x)=x3在R 上是增函數(shù),則在R 上f＇(x)=3x2≥0 恒成立,而不是f＇(x)=3x2＞0。由函數(shù)在區(qū)間D上為增函數(shù)(減函數(shù)),求參數(shù)的范圍時(shí),首先由f＇(x)≥0(或f＇(x)≤0)在D上恒成立求出參數(shù)的范圍,再驗(yàn)證f＇(x)=0時(shí)的參數(shù)值是否滿足f＇(x)在D的任一子區(qū)間上不恒為零。若不恒為零,則保留;否則舍去。

正解:對(duì)f(x)求導(dǎo)得f＇(x)=3ax2-2x+1,由題意可知,f＇(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以解得a≥,所以a的取值范圍為。

易錯(cuò)點(diǎn)2:將“過(guò)某點(diǎn)的切線”與“在某點(diǎn)的切線”混淆致錯(cuò)

例2已知曲線S:y=3x-x3,求過(guò)點(diǎn)P(2,-2)的切線方程。

錯(cuò)解:由題意可知,點(diǎn)P(2,-2)在曲線S上,且y＇=3-3x2,則過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k=y＇|x=2=-9,所以過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y+2=-9(x-2),即9x+y-16=0。

剖析:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,f＇(x0)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率,其中(x0,f(x0))為切點(diǎn),但題中所給的點(diǎn)P(2,-2)不一定是切點(diǎn)。曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率是該曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。在此題中,點(diǎn)P湊巧在曲線S上,求過(guò)點(diǎn)P的切線方程,卻并非說(shuō)切點(diǎn)一定是點(diǎn)P,錯(cuò)解是對(duì)求過(guò)點(diǎn)P的切線方程和求曲線在點(diǎn)P處的切線方程,認(rèn)識(shí)不到位,發(fā)生了混淆。

正解:設(shè)切點(diǎn)為Q(x0,y0),則過(guò)點(diǎn)P的曲線S的切線的斜率,所以切線方程為y-y0=(3-)(x-x0)。因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(2,-2),所以-2-y0=(3-)(2-x0)。又因?yàn)閥0=3x0-,所以-2-(3x0-)=(3-)(2-x0),整理得+4=0,即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2。若x0=-1,則切點(diǎn)為(-1,-2),切線方程為y=-2;若x0=2,切點(diǎn)為(2,-2),切線方程為9x+y-16=0。故所求切線方程為y=-2或9x+y-16=0。

易錯(cuò)點(diǎn)3:忽視了函數(shù)的變化趨勢(shì)致錯(cuò)

例3已知方程=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解:原題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)f(x)=與y=a的交點(diǎn)問(wèn)題。因?yàn)閒＇(x)=,令f＇(x)=0,得x=e。又f(x)的定義域是(0,+∞),所以當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f＇(x)＞0,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f＇(x)＜0,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減。綜上可得,f(x)在x=e處取得極大值,也是最大值f(e)=,所以當(dāng)a∈時(shí),函數(shù)f(x)=與y=a有兩個(gè)交點(diǎn),即方程=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)解。

剖析:錯(cuò)解忽視了函數(shù)的具體走勢(shì),雖然函數(shù)f(x)先增后減,但是當(dāng)x→+∞時(shí),函數(shù)的值始終是大于0 的,即函數(shù)在右側(cè)不會(huì)與x軸相交。

正解:因?yàn)楫?dāng)x∈(0,e)時(shí),f＇(x)＞0,f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f＇(x)＜0,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)在x=e處取得極大值,也是最大值f(e)=,當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→0+,函數(shù)的圖像如圖1 所示,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

圖1

易錯(cuò)點(diǎn)4:對(duì)含參函數(shù)單調(diào)性的分類(lèi)討論時(shí)有遺漏或重復(fù)致錯(cuò)

例4已知函數(shù)f(x)=x-1-lnxa(x-1)2(a∈R),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。

錯(cuò)解:由題意知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。由f(x)=x-1-lnx-a(x2-2x-1)=-ax2+(2a+1)x-(a+1)-lnx,得f＇(x)=-2ax+(2a+1)-。

剖析:分類(lèi)有遺漏,忽略對(duì)a≤0和=1的討論,首先根據(jù)a的符號(hào)進(jìn)行討論,當(dāng)a的符號(hào)確定后,再根據(jù)x1,x2是否在定義域內(nèi)討論,當(dāng)x1,x2都在定義域內(nèi)時(shí)再根據(jù)x1,x2的大小進(jìn)行討論。

正解:由題意知,f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。由f(x)=x-1-lnx-a(x2-2x-1)=-ax2+(2a+1)x-(a+1)-lnx,得f＇(x)=-2ax+(2a+1)-。

當(dāng)a≤0 時(shí),令f＇(x)＞0,得x＞1;令f＇(x)＜0,得0＜x＜1。故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)。