■江蘇省泰興市第二高級(jí)中學(xué) 高峰

用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線是高考一個(gè)主要考點(diǎn),常與解析幾何知識(shí)交匯命題,旨在考查同學(xué)們對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的正確理解。主要涉及求曲線切線的斜率與方程、曲線切線的條數(shù)、曲線的公切線、滿足條件的切線是否存在及滿足條件的切線的參數(shù)范圍等問(wèn)題。

一、曲線在某點(diǎn)處的切線

例1(2021 屆四川省遂寧市高三三模)已知函數(shù)f(x)=ex-x2+lnx,g(x)=2-ex-lnx。

(1)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為k1,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線的斜率為k2,求k1+k2的值;

(2)若h(x)=f(x)+g(x),設(shè)曲線y=h(x)在點(diǎn)(t,h(t))處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值。

解析:(1)因?yàn)閒(x)=ex-x2+lnx,所以f＇(x)=ex-2x+,所以k1=f＇(1)=e-1。

又因?yàn)間(x)=2-ex-lnx,所以g＇(x)=-ex-,所以k2=g＇(1)=-e-1。

所以k1+k2=-2。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=2-x2(x＞0),h＇(x)=-2x,則h＇(t)=-2t。

又因?yàn)辄c(diǎn)(t,h(t))為(t,2-t2),所以y=h(x)在點(diǎn)(t,2-t2)處的切線方程為y-(2-t2)=-2t(x-t),故當(dāng)x=0 時(shí),y=t2+2;當(dāng)y=0時(shí),x=。

感悟:曲線在某點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線,則已知點(diǎn)一定是切點(diǎn),求切線方程的步驟為:①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f＇(x);②求出切線的斜率k=f＇(x0);③寫(xiě)出切線方程yf(x0)=f＇(x0)(x-x0),并化簡(jiǎn)為直線方程的一般式。

二、過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線

例2(2022 屆山東省濰坊市高三上學(xué)期期中)已知a∈R,函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x),g(x)=ex。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)過(guò)原點(diǎn)分別作曲線y=f(x)和y=g(x)的切線l1和l2,求證:存在a＞0,使得切線l1和l2的斜率互為倒數(shù)。

解析:(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),f＇(x)=-a。

若a≤0,則f＇(x)＞0 恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

若a＞0,當(dāng)0＜x＜時(shí),f＇(x)＞0;當(dāng)x＞時(shí),f＇(x)＜0。

所以f(x)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減。

(2)f＇(x)=-a,g＇(x)=ex,設(shè)g(x)的切線方程為y=kx,則ex=k,顯然k＞0,x=lnk,切點(diǎn)為(lnk,k),于是=k,解得k=e,依題意l2的斜率為e,于是l1的斜率為。

設(shè)f(x)的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,則x0=。

設(shè)G(x)=ln(ex+1)-x,則G＇(x)=。

當(dāng)0＜x＜時(shí),G＇(x)＞0,G(x)單調(diào)遞增,因?yàn)镚(0)=0,所以＞0;

當(dāng)x＞時(shí),G＇(x)＜0,G(x)單調(diào)遞減。

又因?yàn)镚(e3)=ln(e4+1)-e3＜5-8＜0,所以存在x0∈,使得G(x0)=0,因此關(guān)于a的方程a=ln(ae+1)有正數(shù)解。

所以存在a＞0,使得切線l1和l2的斜率互為倒數(shù)。

感悟:對(duì)于曲線y=f(x)上“過(guò)”點(diǎn)(m,n)的切線問(wèn)題,一般要先設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),于是切線為y-n=f＇(x0)(x-m),再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上,得y0=f(x0),切點(diǎn)在切線上,得y0-n=f＇(x0)(x0-m),聯(lián)立方程組,可得切點(diǎn)的坐標(biāo)。本題探究過(guò)原點(diǎn)的兩條曲線的切線的斜率互為倒數(shù)時(shí)參數(shù)是否存在的問(wèn)題,由導(dǎo)數(shù)求得l2的斜率為e,從而得l1的斜率為,設(shè)f(x)的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f＇(x0)=,得出關(guān)于a的方程,再引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明此方程有正數(shù)解即可。

三、探究曲線的切線的條數(shù)

例3(2022 屆重慶市南開(kāi)中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=lnx+,a∈R。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)恰好可作兩條直線與曲線y=f(x)相切,求a的取值范圍。

解析:(1)f＇(x)=,x＞0。

當(dāng)a≤0 時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,則切線方程為y=,將(0,0)代入得lnx0+-1=0,即2a=x0-x0lnx0,關(guān)于x0的方程2a=x0-x0lnx0在(0,+∞)內(nèi)恰有兩個(gè)解。

令g(x)=x-xlnx,利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減。

又g(1)=1,當(dāng)x→0 時(shí),g(x)→0,且g(e)=0,故當(dāng)0＜2a＜1時(shí),方程g(x)=2a有兩個(gè)解,所以0＜a＜。

所以a的取值范圍為。

感悟:求曲線的切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn)(t,f(t)),由已知條件整理出關(guān)于t的方程,把切線的條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題。分離參數(shù)構(gòu)建直線與新函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合思想求解。

四、曲線的公切線

例4(2022 屆湖北省九師聯(lián)盟高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-x+1。

(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的極值;

(2)證明:有且只有兩條直線與函數(shù)f(x),g(x)的圖像都相切。

解析:(1)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x2+x-1的定義域?yàn)?0,+∞),且h＇(x)=-2x+1=。

當(dāng)0＜x＜1時(shí),h＇(x)＞0;當(dāng)x＞1 時(shí),h＇(x)＜0。

所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以x=1是h(x)的極大值點(diǎn)。

所以h(x)的極大值為h(1)=-1,沒(méi)有極小值。

(2)設(shè)直線l分別與f(x),g(x)的圖像切于點(diǎn)(x1,lnx1),(x2,-x2+1)。

由f(x)=lnx可得f＇(x)=,所以l的方程為y-lnx1=,即y=·x+lnx1-1。

由g(x)=x2-x+1可得g＇(x)=2x-1,所以l的方程y-(-x2+1)=(2x2-1)(x-x2),即y=(2x2-1)x-+1。

當(dāng)0＜x＜1時(shí),F＇(x)＜0;當(dāng)x＞1時(shí),F＇(x)＞0。

所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以F(x)min=F(1)=-1＜0。

因?yàn)镕(e2)=ln e2+-2=＞0,所以F(x)在(1,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)。

由F(x)=lnx+,得F(e-2)=-2+＞0,所以F(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)。

所以F(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),故有且只有兩條直線與函數(shù)f(x),g(x)的圖像都相切。

感悟:求曲線的公切線的步驟:第一步,分別設(shè)出兩個(gè)曲線上切點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x1,y1),Q(x2,y2),并求出函數(shù)f(x)和g(x)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);第二步,充分考慮題目的已知條件,抓住切線的定義,挖掘題目的隱含條件,尋找解題的等量關(guān)系,如同一條切線的斜率和截距相等(尤其兩點(diǎn)連線的斜率),以及點(diǎn)既在曲線上又在切線上;第三步,利用方程思想即可得出結(jié)論。

五、滿足條件的切線是否存在的問(wèn)題

例5(西安中學(xué)2021—2022 學(xué)年度第一學(xué)期期中)已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=lnx-1,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

(1)當(dāng)x＞0時(shí),求證:f(x)≥g(x)+2。

(2)是否存在直線與函數(shù)y=f(x)及y=g(x)的圖像均相切?若存在,這樣的直線最多有幾條?并給出證明。若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析:(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)-2=ex-1-lnx-1,x＞0,則h＇(x)=ex-1-。

因?yàn)閥=h＇(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且h＇(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h＇(x)＜0,h(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h＇(x)＞0,h(x)為增函數(shù)。

所以h(x)min=h(1)=e0-ln 1-1=0,所以h(x)≥0恒成立,所以f(x)≥g(x)+2。

(2)設(shè)直線與y=f(x)切于,與y=g(x)切于B(x2,lnx2-1)(x2＞0)。

因?yàn)閥=x-1+lnx在(0,+∞)上為增函數(shù),且x=1時(shí),y=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),k＇(x)＜0,h(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),k＇(x)＞0,h(x)為增函數(shù)。所以k(x)min=k(1)=-2＜0。

感悟:判斷符合條件的切線是否存在,或根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍,求解思路是把切線滿足的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點(diǎn)的方程或函數(shù),再根據(jù)方程根的情況或函數(shù)的性質(zhì)去求解。