王云潤，喬高秀

(西南交通大學 數(shù)學學院，成都 611756)

0 引言

金融資產(chǎn)的波動率是衡量市場風險的重要指標，在資產(chǎn)的定價和分配、風險管理和貨幣政策制定方面都起著重要作用。因此，對波動率的預測在金融計量學研究中受到了極大關注。Bollerslev［1］提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型，該模型能捕捉到波動率聚集效應等，但其估計大多基于日數(shù)據(jù)。隨著對日內高頻數(shù)據(jù)的可獲取，Andersen 等［2］提出將已實現(xiàn)波動作為對高頻波動率的度量，以便更好地觀測和評估波動率。為了刻畫已實現(xiàn)波動的長記憶性，Corsi［3］引入異質性自回歸(HAR)模型，該模型由于結構簡潔、估算容易在研究界被廣泛使用。Byun 等［4］將風險中性偏度直接作為解釋變量加入HAR 模型，發(fā)現(xiàn)風險中性偏度包含已實現(xiàn)波動和隱含波動率中沒有包含的信息，這些信息有助于波動率預測。其中，隱含波動率是由期權的市場價格倒推出的波動率，反映了投資者對標的資產(chǎn)未來波動率的預期。Mei 等［5］將已實現(xiàn)偏度加入HAR 模型中，發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)偏度對未來的波動率有明顯的負面影響。樣本外結果表明，已實現(xiàn)偏度有助于中長期預測，但無法提高短期預測的準確性。鄭振龍等［6］在比較偏度和峰度對波動率的影響時，發(fā)現(xiàn)期權隱含偏度所包含的信息要多于基于歷史信息的已實現(xiàn)偏度，對波動率的影響更顯著。

在金融預測領域，傳統(tǒng)研究假定經(jīng)濟系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但是，受到政治、經(jīng)濟和環(huán)境等多方面因素的影響，金融市場數(shù)據(jù)可能因為一些極端事件引起結構突變，使得時間序列的數(shù)據(jù)特征受到影響，從而導致參數(shù)不穩(wěn)定性和模型不確定性。在數(shù)據(jù)存在結構突變時，通常使用突變后的數(shù)據(jù)進行預測，而數(shù)據(jù)有限使得模型存在較高的不確定性。因此，金融預測研究的最大挑戰(zhàn)來自于考慮市場發(fā)生結構突變時存在預測模型的不確定性和估計參數(shù)的不穩(wěn)定性。Pesaran 等［7］認為這可能不會使均方預測誤差最小化，故在參數(shù)不確定性建模時，Dangl 等［8］和Zhu 等［9］使用時變參數(shù)模型，允許參數(shù)隨時間變化;Wang 等［10］提出時間加權最小二乘回歸方法，通過為距離預測時間越近的樣本賦予越高的權重來解決參數(shù)不穩(wěn)定性。Zhang 等［11］繼Pesaran 等［7］和Pesaran 等［12］之后，使用窗口平均預測方法(AveW)，將在不同估計窗口長度上計算的同一模型進行平均，通過與其他預測方法比較發(fā)現(xiàn)，該方法能提高股票收益預測效果，在參數(shù)不穩(wěn)定和結構突變情況下具有簡單而可靠的特點。

盡管已有文獻考慮到將偏度引入HAR-RV 模型，但尚無研究系統(tǒng)地比較過不同偏度指標所包含的信息差異和對波動率的預測能力。本文中主要探討風險中性偏度，基于日內高頻數(shù)據(jù)和日數(shù)據(jù)的不同偏度指標對已實現(xiàn)波動預測能力的信息差異，從這一新的角度對已有研究進行補充。在預測方法上，首先基于單個機器學習方法［13］預測已實現(xiàn)波動。考慮到市場結構突變導致的模型不確定性和參數(shù)不穩(wěn)定性，且已有研究提出基于時間維度的改進方法來提高收益率預測效果［10-11］，因此將這一思想應用到數(shù)據(jù)驅動的機器學習算法中，充分考慮金融時間序列數(shù)據(jù)的時間維度特征，對距離預測點越近的樣本給予更多的關注，并與傳統(tǒng)的集成學習方法［14］相比較，從而提出具有更高預測精度的集成學習方法。

本文結構安排如下:第2 節(jié)介紹各種偏度指標和擴展模型以及研究方法;第3 節(jié)為實證結果，包括相關性分析、參數(shù)估計結果、每個方法的預測結果等;第4 節(jié)為穩(wěn)健性檢驗，通過調整訓練集長度來驗證方法是否具有穩(wěn)健性;第5 節(jié)為結論。

1 方法和模型

1.1 已實現(xiàn)波動和波動率的偏度指標

根據(jù)Andersen 等［2］的方法，通過將相應的高頻日內平方收益相加得出每日已實現(xiàn)波動，計算式如下:

其中:rt，i表示第t 天，第i 次交易的對數(shù)收益。

Andersen 等［15］證明了已實現(xiàn)波動有以下極限結果:

其中:Δps=ps-ps-表示在s 時刻跳的大小。

根據(jù)Barndorff-Nielsen 等［16］的研究，將已實現(xiàn)波動分解為已實現(xiàn)上半變差和已實現(xiàn)下半變差，定義如下:

并且證明了:

其中:I(*)表示示性函數(shù)，易知已實現(xiàn)波動RVt=。

使用4 種不同的方法來刻畫波動率偏度:

1)參考鄭振龍等［6］的研究，利用m 個交易日的日對數(shù)收益率滾動計算已實現(xiàn)偏度(RSt)，計算式如下:

其中:rt為第t 天的日對數(shù)收益率;為m 個交易日的收益率均值，m 取值為22。

2)根據(jù)Chen 等［17］的研究，基于日收益率滾動計算負偏度(NRSt)為:

其中:rt定義和m 的取值同上。

3)參考Amaya 等［18］的研究，基于日內高頻收益計算已實現(xiàn)偏度為:

Barndorff-Nielsen 等［16］和Mathieu 等［19］的研究結果表明:

根據(jù)Feunou 等［20］提供的理論支持，可將已實現(xiàn)上半變差與已實現(xiàn)下半變差之差看作是上述已實現(xiàn)偏度(INTRSkewt)的一種度量，記為波動率偏度(RSVt)。計算如下:

當RSVt＜0 時，收益率分布是左偏的;當RSVt＞0時，則分布是右偏的。

4)芝加哥期權交易所(CBOE)于2011 年推出風險中性偏度指數(shù)，記為QSt，計算如下:

其中:Skt=，表示風險中性偏度;為S＆P 500 對數(shù)收益;μ=，σ=分別是其在風險中性測度Q 下的期望和標準差，其具體計算方式參考文獻［21］。可以看出，RSt越小，左偏越明顯;而NRSt和QS 越大，左偏越明顯。

1.2 模型設定

使用由Corsi［3］提出的HAR 模型研究已實現(xiàn)波動的預測。由于該模型能很好地刻畫資產(chǎn)收益波動率中的長記憶特性，且模型僅包含代表日、周和月效應的3 個變量，易于處理，因此該模型是已實現(xiàn)波動預測最受歡迎的模型。本文中采用對數(shù)回歸，模型設定為:

為了比較以上幾種偏度指標包含的信息對已實現(xiàn)波動預測的差異性和準確性，分別將上述4種偏度指標加入HAR-RV 模型，設定如下:

1.3 研究方法

1.3.1 支持向量回歸

傳統(tǒng)的線性回歸方法只要真實值與擬合值不相等就計算誤差，而在支持向量回歸［22］方法下，僅當二者之差的絕對值大于某個正數(shù)ε 時才計算損失，相當于以擬合值為中心，構建了一個寬度為2ε 的間隔帶。若訓練樣本落入間隔帶中，則認為是預測正確。

支持向量回歸的求解表示為:

其中:C 為正則化常數(shù);lε為ε-不敏感損失函數(shù)，表示為:

通過拉格朗日乘子法和對偶問題可以得到SVR 的解為:

若考慮到特征映射形式，則對應的核函數(shù)SVR 解形式為:

其中κ(xi，xj)=φ(xi)Tφ(xj)為核函數(shù)，φ(x)表示將x 映射后的特征向量。本文中選取的核函數(shù)為徑向基(RBF)核函數(shù)，其定義為κ(x，z)=。采用五折交叉驗證法和網(wǎng)格搜索法相結合來選取最優(yōu)參數(shù)組合［23］。

采用同模型(11)—(15)一致的輸入變量和輸出變量構建SVR 模型。以模型(11)為例，具體形式如下:

其中:x·=［(ln(RVd，·)，ln(RVw，·)，ln(RVm，·)］T。

1.3.2 帶懲罰項的線性回歸

在普通最小二乘回歸基礎上，引入帶懲罰項的線性回歸來解決簡單回歸分析可能產(chǎn)生的過擬合問題，即在最小化損失函數(shù)中加入懲罰函數(shù)φ(β)，形式為:

根據(jù)φ(β)的不同，采用嶺回歸(ridge regression)和彈性網(wǎng)絡方法(elasticnet)［24］，φ(β)形式分別表示為:

其中:λ 為正則化參數(shù)，控制著模型的復雜度，λ 過大容易欠擬合，太小容易過擬合;α 為0～1 的正數(shù)，控制著L1 和L2 范數(shù)的比重;當α=1 時，此時彈性網(wǎng)絡退化為套索回歸;當α=0 時，則退化為嶺回歸。由此可見彈性網(wǎng)絡結合了嶺回歸和套索回歸的共同特點。

1.3.3 集成學習

集成學習先通過已有的學習算法從訓練集中訓練得到個體學習器，再將若干個這樣的個體學習器通過某種方法結合，最終得到一個強學習器。根據(jù)個體學習器之間是否存在強依賴關系，分為串行生成的序列化方法和可同時生成的并行化方法，二者的代表方法分別是Boosting 和Bagging。

1)Adaboost 方法

本文中采用Boosting 族算法中最具代表性的Adaboost 方法［25］，并在處理回歸問題時用平方誤差來衡量誤差率。在最后進行個體學習器集成時，用各個體學習器的預測結果乘以各自權重再求和作為最終結果。算法過程如下:

步驟1初始化訓練數(shù)據(jù)的分布權重:D1=(w11，w12，…，w1i，…，w1m)，w1i=，i=1，2，…，m;

步驟2使用某個學習算法訓練具有權重D1的訓練集，得到第1 個基本學習器;

步驟3計算基本學習器T1(x)在訓練集上的預測誤差率e1:

Ⅰ)計算訓練集上的最大誤差:E1=，i=1，2，…，m。

Ⅱ)采用平方誤差，計算每個樣本的相對誤差e1i=，i=1，2，…，m。

Ⅲ)計算回歸預測誤差率:e1=。

步驟4計算基本學習器T1(x)的投票權重α1，并更新第2 輪訓練集的權重D2:

步驟5對第2 輪權重樣本再次訓練得到第2個基本學習器，重復上述過程N 次，得到N 個基本學習器T1(x)，T2(x)，…，TN(x)和相應的權重α1，α2，…，αN，則:

其中:T(x)是所有αnTn(x)的中位數(shù)(n=1，2，…，N)。

Adaboost 方法的本質是不改變訓練數(shù)據(jù)，改變訓練數(shù)據(jù)權重分布，每一輪訓練提高前一輪誤差大的樣本權重;最后加權平均得到預測值，誤差率越低的基本學習器權重越高。

2)Bagging 方法

Bagging 方法［26］是并行式集成學習方法中最著名的代表。采用自助采樣法，即從包含n 個樣本的數(shù)據(jù)集中隨機取出一個樣本放在采樣集中，再將該樣本放回數(shù)據(jù)集，使之在下次采樣時仍有機會被選中，這樣隨機放回采樣m 次，然后重復N次該過程，即可得到N 個含有m 個訓練樣本的采樣集;對每個采樣集訓練得到一個基本學習器，對于分類問題用簡單投票法，對于回歸問題用簡單平均法。

3)窗口平均預測法

除上述2 種集成方法外，本文中采用窗口平均預測方法(AveW)［7，11］。該方法可以看作是固定取樣的Bagging。Bagging 集成預測方法在獲得采樣集時，由于自助采樣法的隨機性，對于時間序列預測來說可能并不是最優(yōu)選擇。而AveW 方法在不同估計窗口上擬合相同模型，并對模型的預測結果求平均。即終止日期相同，根據(jù)起始日期的不同獲得若干個窗口長度不同的訓練集，在這些訓練集上訓練得到基本學習器，將這些基本學習器的預測結果簡單平均作為最終結果。窗口平均預測法的優(yōu)勢是充分考慮數(shù)據(jù)在縱向時間維度上的特征，時間越近的樣本利用率越高，信息挖掘越充分。

以SVR 的窗口平均為例(記為 SVR +AveW)，用數(shù)學語言描述為:將給定的訓練集作為最長的觀測窗口W=，其中m是訓練集長度，xt與2.3.1 部分提到的一致。首先，將W 分為N 個訓練窗口:

其中:wi=wmin+，wmin為給定的最小的訓練窗口。Wi由最小窗口逐步遞增到最大窗口。

然后，在每個Wi訓練窗口上利用SVR 進行擬合，得到N 個擬合結果，i=1，2，…，N。則SVR+AveW 預測結果為:

傳統(tǒng)的OLS 背后假定經(jīng)濟系統(tǒng)是穩(wěn)定的，Zhang 等［11］在預測股票收益率時考慮市場系統(tǒng)結構發(fā)生突變時模型的不確定性和參數(shù)的不穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)窗口平均預測方法能有效提高股票收益率的預測效果。與Zhang 等［11］的研究不同，本文中分別在線性OLS、帶懲罰項的線性回歸和非線性SVR 方法預測的基礎上采用窗口平均集成預測方法來研究已實現(xiàn)波動預測。采用固定窗口大小的滾動估計，對于每個估計窗口，都用窗口平均預測法來向前一步預測已實現(xiàn)波動。

2 實證分析

2.1 描述性統(tǒng)計

數(shù)據(jù)選取標準普爾500 指數(shù)從2000-02-04 到2019-12-31 共4 983 個交易日數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來自https://realized.oxford-man.ox.ac.uk/，風險中性偏度數(shù)據(jù)來源于芝加哥期權交易所網(wǎng)站。由于QS 的數(shù)值全部大于100，由式(10)可知，式中S 均小于0，因此QS 實際上刻畫的是左偏風險。由于左偏風險與市場崩盤風險更直接密切相關，也為了與QS 保持一致，本文中對其余3 個偏度指標進行處理，提取RS 和RSV 中小于0 的部分并取絕對值，大于0 的部分賦值為0;對NRS 中小于0 的部分賦值為0，保留其大于0 的部分。RS-、RSV-和NRS+分別表示按上述處理之后的偏度;RS、RSV和NRS 分別表示未經(jīng)處理的偏度。

表1 給出了處理后的各個偏度指標和已實現(xiàn)波動自然對數(shù)的描述性統(tǒng)計結果。RS-和NRS+均為基于每日收益的偏度指標，可以看出，二者在數(shù)量級上相比于另外2 個指標差別不是很大，差異主要由指標本身計算公式引起，即由中心化調整和前面系數(shù)的調整引起，在數(shù)據(jù)特征上均呈現(xiàn)右偏厚尾;RSV-的量級由于基于已實現(xiàn)波動數(shù)據(jù)本身的原因，仍然是右偏厚尾，而QS 則是右偏瘦尾。由JB統(tǒng)計量可知，所有指標均不服從正態(tài)分布。

表1 各個變量的描述性統(tǒng)計結果

通過表2 得知，已實現(xiàn)波動與4 個偏度指標均存在一定相關性，但相關性方向不盡相同，證明偏度指標所包含的信息也存在一定的差異。

表2 各個變量間的皮爾遜相關系數(shù)

2.2 參數(shù)估計結果

表3 給出了式(11)—(15)的最小二乘估計結果，在進一步放寬顯著性水平和有效位數(shù)的前提下(即可近似認為在10%顯著性水平下RS-對已實現(xiàn)波動有顯著影響)，可以確定各個偏度指標對已實現(xiàn)波動預測確實有顯著性影響，但QS 的回歸系數(shù)與其他3 個偏度指標的回歸系數(shù)方向不同，因此QS 對已實現(xiàn)波動的影響與基于歷史數(shù)據(jù)的3個偏度指標的影響不同，進一步證實了各個偏度指標包含著不同的信息。后續(xù)將考慮用不同方法來比較不同偏度指標對已實現(xiàn)波動的預測能力。

表3 普通最小二乘回歸(OLS)參數(shù)估計結果

2.3 多種機器學習方法與波動率預測

本文研究中，重點關注不同方法對樣本外已實現(xiàn)波動的預測效果。因此，將前70% (3 488個)的數(shù)據(jù)(2000 年2 月4 日至2014 年1 月16日)作為樣本內數(shù)據(jù)，用于訓練模型;將2014 年1月17 日至2019 年12 月31 日的1 495 個數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)，用于預測。采用以下2 個損失函數(shù)來評估模型的預測能力:

1)平均絕對誤差:

2)均方根誤差:

其中:T 表示樣本內的觀測點個數(shù);N 是樣本外滾動窗口的長度;和RVT+i分別表示波動率的預測值和真實值。

表4 給出了OLS、Ridge、ElasticNet 和SVR 估計方法的預測誤差。由于帶懲罰項的線性回歸沒有表現(xiàn)出比OLS 更好的預測效果，因此表4 中集成方法只給出在基于OLS 和SVR 的Adaboost、Bagging 以及窗口平均(AveW)的預測誤差。方法上，對相同偏度的不同方法預測中，可以看到SVR的預測誤差明顯低于ElasticNet、Ridge 和OLS，說明非線性的SVR 方法優(yōu)于本文所選取的3 種線性回歸方法;在基于OLS 和SVR 的集成方法中，窗口平均預測法均有明顯提升，其中基于SVR 的窗口平均預測效果最佳。比較不同偏度的預測能力時，綜合比較各個方法得出:QS 對已實現(xiàn)波動的預測能力最強，基于日數(shù)據(jù)和日內高頻數(shù)據(jù)的偏度指標對已實現(xiàn)波動預測沒有特別明顯的改善;僅將QS 加入HAR-RV 模型時，模型性能才有提升，說明QS 包含已實現(xiàn)波動中沒有的信息，并有利于預測。

表4 測試集長度比例為30%時不同方法下各個偏度模型的預測誤差

2.4 MCS 檢驗

采用MCS 檢驗來進一步驗證上述結果。MCS檢驗常用于評價不同模型的預測能力［27-28］，根據(jù)Hansen 等［29］的研究，其檢驗統(tǒng)計量為:

其中:模型i 與模型j 是來自模型集合M 任意2 個互異的模型;dij表示其損失差，表示模型i 與模型j 的平均損失;的自舉估計。MCS 檢驗程序為初始設置中的每個模型分配P 值。對于給定的模型i，MCS 的P 值確定模型是否屬于MCS 的閾值置信水平，當且僅當≥α 時(i∈，α 為顯著性水平)，越大的模型預測能力越強。

表5 給出了測試集長度比例為30%時的MCS檢驗結果。MCS 檢驗的模型集合M 分為2 種情形:①相同方法之下，5 個不同HAR 模型預測誤差所組成的模型集合(見Panel A);②相同模型之下，10 種方法的預測誤差組成的模型集合(見Panel B)。由A 部分可以看出，在2 種誤差標準下，對于單個方法而言，除了基于OLS 的Bagging方法是HAR-RV 模型最優(yōu)外，其余9 種方法均為加入風險中性偏度(QS)的結果最優(yōu)。因此，將風險中性偏度(QS)加入到HAR-RV 模型能提高模型對已實現(xiàn)波動的預測能力，而基于歷史信息的偏度對模型幾乎沒有提升作用;B 部分表示在2 種誤差標準下，對于不同的模型，其結果均為基于SVR 的窗口平均預測方法最優(yōu)?？梢钥闯觯琈CS檢驗結果與上述表4 的預測結果一致。

表5 測試集長度比例為30%時2 種情況下的MCS 檢驗結果

3 穩(wěn)健性檢驗

上述結果基于測試集長度占樣本總長度的30%得到。為了驗證其是否具有穩(wěn)健性，表6 給出了測試集長度比例為50%時不同方法下各個偏度的預測誤差。以MAE 為衡量標準時，不同方法的最小誤差均出現(xiàn)在QS;以RMSE 為衡量標準時，QS 在OLS、Ridge、ElasticNet 這3 種方法下預測誤差小于NRS+，而其余7 種方法則是NRS+的預測結果略優(yōu)于QS。因此，綜合2 種標準可認為QS 的結果略優(yōu)于NRS+。

表7 給出了MCS 檢驗結果。由A 部分可以看出，以MAE 為衡量標準時，除SVR+Bagging、SVR+AveW 外，其余8 種方法下，均為HAR-RVQS 模型明顯優(yōu)于HAR-RV-NRS+模型;而以RMSE 為衡量標準時，同理可以得出，HAR-RVNRS+略優(yōu)于HAR-RV-QS，但綜合比較A 部分的2個誤差標準可知，HAR-RV-QS 模型表現(xiàn)優(yōu)越的情況居多，因此認為當測試集長度比例為50%時，QS 的結果要略優(yōu)于NRS+。由B 部分可以看出，在2 種誤差標準下的最佳方法仍為基于SVR 的窗口平均(SVR+AveW)，MCS 檢驗結果和表6 預測誤差結果一致。

表6 測試集長度比例為50%時不同方法下各個偏度的預測誤差

表7 測試集長度比例為50%時兩種情況下的MCS 檢驗結果

續(xù)表(表7)

4 結論

研究了風險中性偏度、基于日數(shù)據(jù)和日內高頻數(shù)據(jù)的偏度指標所包含的信息差異，通過機器學習方法比較不同偏度對已實現(xiàn)波動的預測能力。經(jīng)實證發(fā)現(xiàn)，隨著訓練數(shù)據(jù)的增加，風險中性偏度的預測能力逐漸增強，且優(yōu)于基于日數(shù)據(jù)和日內高頻數(shù)據(jù)的偏度指標。在預測方法上，非線性的支持向量回歸(SVR)優(yōu)于普通最小二乘回歸(OLS)、嶺回歸(Ridge)以及彈性網(wǎng)絡(Elastic-Net)。在對OLS 和SVR 進行集成學習時，窗口平均預測法能明顯改善模型的預測能力，基于SVR的窗口平均預測法的預測能力最強。本文的研究方法和結論對我國金融市場風險管理具有借鑒意義。