張鑫　于雪婧　趙迎春　布仁滿都拉

摘 要：數(shù)學(xué)教師的教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）是從舒爾曼提出的PCK理論中獨立出來的，是近年來學(xué)術(shù)界教育領(lǐng)域研究的熱點問題。MPCK與教師的工作經(jīng)驗密切相關(guān)，對課堂教學(xué)起著舉足輕重的作用。本文在MPCK的視角下，對圓的標準方程教學(xué)內(nèi)容進行設(shè)計，并分別以MK、PK、CK的分視角對各個環(huán)節(jié)進行分析。

關(guān)鍵詞：MPCK;教學(xué)內(nèi)容知識;教學(xué)設(shè)計;圓的標準方程

中圖分類號：G424.1? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）04-0011-04

1 MPCK概念介紹

20世紀80年代中期，美國學(xué)者舒爾曼提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），給出了“PCK”（Pedagogical Content Knowledge）的概念[1]。此后，以Grossman為代表的國外許多學(xué)者對PCK的內(nèi)涵進行了解讀和研究。2000年，PCK引起以白益民為代表的國內(nèi)學(xué)者的關(guān)注，并迅速成為教師知識研究領(lǐng)域的熱點[1]。PCK有“學(xué)科教學(xué)知識”“教學(xué)內(nèi)容知識”等翻譯方式，這里采用后一種譯法。若結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科來分析PCK，即數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識[2]（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，MPCK），釋義為數(shù)學(xué)教師從事數(shù)學(xué)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識[2]。黃毅英教授將MPCK分成MK（Mathematics Knowledge，數(shù)學(xué)學(xué)科知識）、PK（Pedagogical Knowledge，一般教學(xué)法知識）、CK（Content Knowledge，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識）三個角度[3]，三者互相影響，MPCK是三者的公共部分（見圖1），且會隨著教師教學(xué)經(jīng)驗的增長而增長。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往需要綜合運用這3類知識，才能夠把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)有效地轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識[4]。目前，世界各地的教育形勢均表明，教師仍是學(xué)與教的核心[1]。而MPCK是決定一名教師的認知活動的基礎(chǔ)，對教學(xué)活動起著舉足輕重的作用。教師進一步理解和使用這樣的知識，可以有效地提高課堂教學(xué)的效率。

2 MPCK視角下圓的標準方程教學(xué)設(shè)計

本文以圓的標準方程為例，簡述從MPCK的視角分析、設(shè)計教學(xué)的過程。圓的標準方程選自人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章《直線和圓的方程》，主要包括圓的標準方程及其應(yīng)用等內(nèi)容。

2.1 教學(xué)目標

教師設(shè)計教學(xué)目標時，可結(jié)合MPCK的理論進行分析。

本節(jié)課教學(xué)難點在于使學(xué)生利用初中學(xué)習(xí)過的“圓的定義”，將圓的定義抽象化為平面直角坐標系之中坐標點的位置關(guān)系，推導(dǎo)得出圓的標準方程并應(yīng)用。教師需要讓學(xué)生理解：圓的定義并不是僅需死記硬背的普通文本，而是客觀描述圓實際存在的性質(zhì)的數(shù)學(xué)語言。

結(jié)合MPCK的3個分視角做分析如下。

（1）從MK的角度來說，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》中，對本節(jié)課的相關(guān)規(guī)定有：回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程[5]。學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的定義等基本知識，在高中已經(jīng)學(xué)習(xí)過使用代數(shù)語言描述直線的幾何特征。對該問題的設(shè)計，可以按照從文字語言、圖形語言轉(zhuǎn)向代數(shù)語言，進而推導(dǎo)方程的順序進行。

（2）從PK的角度來說，本節(jié)課適合以現(xiàn)實情境引導(dǎo)學(xué)生思考，同時滲透課程思政，故設(shè)計使用“討論法”開展教學(xué)。學(xué)生以小組為單位，圍繞“用代數(shù)的方法，結(jié)合圓的定義在平面直角坐標系之中表示圓”的問題展開討論，自行推導(dǎo)出圓的標準方程。

（3）從CK的角度來說，高一學(xué)生語詞邏輯記憶、有意記憶、意義記憶越來越成為記憶的主導(dǎo)，但從具體到抽象的認知能力和語言總結(jié)歸納能力較為欠缺?？紤]使用動畫圖像直觀進行引導(dǎo)，使學(xué)生通過課上的探究，歸納、概括所發(fā)現(xiàn)的圓的標準方程并使用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言進行表達。在實際教學(xué)中，還應(yīng)結(jié)合學(xué)生實際情況，考慮學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，適當對講授方法做出調(diào)整和取舍。

根據(jù)以上分析，制定教學(xué)目標如下：

（1）通過類比直線方程的推導(dǎo)過程，能推導(dǎo)并掌握圓的標準方程;通過例題的訓(xùn)練，會用待定系數(shù)法與數(shù)形結(jié)合法求圓的標準方程。

（2）通過例題中的建系、畫圖操作，培養(yǎng)學(xué)生用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想。

（3）通過創(chuàng)設(shè)情境注入課程思政，挖掘課程思政元素，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷。

（4）通過探索圓的標準方程的知識與特點，使學(xué)生進一步感受數(shù)學(xué)中蘊含的對稱美與和諧美。

2.2 設(shè)計貼合實際的情境，引導(dǎo)探究核心問題

根據(jù)MPCK組成之中的MK部分，本節(jié)內(nèi)容是立足于初中所學(xué)知識及上一章內(nèi)容的基礎(chǔ)，在平面直角坐標系中建立圓的代數(shù)方程，也為后續(xù)學(xué)習(xí)其他圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ);根據(jù)PK部分，可以考慮以當前的社會熱點問題作為情境引入，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的必要性，滲透課程思政元素;根據(jù)CK部分，引導(dǎo)學(xué)生使用小組討論的學(xué)法開展圓的標準方程內(nèi)容的學(xué)習(xí)是圍繞“學(xué)習(xí)共同體”的理念，讓學(xué)生感悟蘊含于平面解析幾何中的“數(shù)形結(jié)合”思想（見圖2）。

問題一 第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在我國舉行，請同學(xué)們觀察圖中的奧運五環(huán)標志，回答以下問題：這個標志是由什么幾何圖形組成的？這些幾何圖形有什么異同？

問題二 天津之眼摩天輪直徑110米，是世界上唯一一個橋上瞰景摩天輪，是天津的地標之一（見圖3）。2020年2月，為致敬奮斗在抗疫一線的醫(yī)務(wù)工作者，自疫情結(jié)束恢復(fù)營業(yè)后至2020年12月31日，天津之眼對全國醫(yī)務(wù)工作者實行免門票。請同學(xué)們回答以下問題：當摩天輪上的一個箱體繞著軸旋轉(zhuǎn)一周，會形成一個什么幾何圖形？這個幾何圖形的定義是什么？

問題三 能否類比直線方程的建立過程，建立平面直角坐標系，使用“代數(shù)”的表達方法來表示圓？

問題四 設(shè)圓心A為（a，b），半徑為r，M（x，y）點是圓上任意一點，根據(jù)定義，圓應(yīng)該如何用代數(shù)的方式表示？

從MK的視角來看，兩個問題的設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生回憶了圓的定義和確定一個圓的基本要素（圓心、半徑），教師重視該部分知識在整個數(shù)學(xué)知識體系之中的作用，有助于學(xué)生形成自己的知識體系。

從PK的視角來看，本部分內(nèi)容是本節(jié)的核心重難點內(nèi)容，教師情境引入利用圖像和動畫進行直觀引導(dǎo)，從情境引入到學(xué)生自主討論的過渡使用問題串，不僅能完成從舊知到新知的過渡，也使得課堂能在較為輕松的環(huán)境下開展。同時，對奧林匹克運動會及當前新冠疫情的描述還能夠升華學(xué)生的愛國主義情操，激發(fā)學(xué)生努力學(xué)習(xí)報效祖國的學(xué)習(xí)動機，完成課程思政教學(xué)目標。

從CK的視角來看，培養(yǎng)學(xué)生利用“代數(shù)”的方法解決平面幾何問題的能力，有利于實現(xiàn)學(xué)生思維中形和數(shù)的統(tǒng)一，促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

2.3 當堂練習(xí)，學(xué)以致用

從MPCK之中MK的角度，“應(yīng)用圓的標準方程解決問題”屬于本節(jié)課的重難點，設(shè)計有梯度的課堂習(xí)題、解決情境導(dǎo)入的問題是鞏固本節(jié)所學(xué)知識、突破本節(jié)課難點的有效措施，能夠重點提升學(xué)生“數(shù)學(xué)運算”的核心素養(yǎng);從PK的角度，考慮課堂教學(xué)采用問題—啟發(fā)的教學(xué)模式，鍛煉學(xué)生解題技能;從CK的角度，合作學(xué)習(xí)的學(xué)法體現(xiàn)學(xué)習(xí)共同體的理念，能夠保證課堂思維流量。根據(jù)以上分析，設(shè)計課堂習(xí)題如下。

例1 一個圓的圓心為A（2，-3），半徑長為5， 寫出這個圓的標準方程。

練習(xí)1 求圓的圓心及半徑

（1）x2+y2=4;

（2）（x-1）2+y2=1;

練習(xí)2 寫出下列圓的方程

（1）圓心在原點，半徑為3;

（2）圓心在（-3，4），半徑為。

練習(xí)3 請嘗試自己建立平面直角坐標系，寫出情境二中“天津之眼”所在圓的標準方程。

練習(xí)4 根據(jù)以下條件寫出圓的標準方程。

（1）寫出經(jīng)過點P（5，1），圓心為C（6，-2）的圓的標準方程。

（2）寫出以線段PQ為直徑的圓的標準方程，其中P（6，3），Q（4，9）。

問題一 請回答以下問題。

（1）方程（x-1）2=9-（y+3）2表示一個什么樣的圖形？

（2）方程x2+y2=0表示一個什么樣的圖形？

問題二 在剛剛做過的例題中，圓心為A（4，-6），半徑為3的圓標準方程是（x-4）2+（y+6）2=9，問：如何判定M1（5，-7）和M2（-，-1）這兩個點是否位于圓上？你是怎樣判斷出來的？

從MK的視角來看，前半部分的課堂始終圍繞從圓心坐標、半徑長度等元素推導(dǎo)圓的標準方程的邏輯進行教學(xué)，問題三、四則是引導(dǎo)學(xué)生已知圓的標準方程，去反推圓的其他元素。從另一個角度了解圓的標準方程所表達的意義，能夠使學(xué)生對本部分知識達到更深的理解層次。

從PK的視角來看，教師使用問題—啟發(fā)的教學(xué)模式，穿插板演、搶答等方法，首先帶領(lǐng)學(xué)生運用新知識共同完成問題，再留給學(xué)生獨立解決問題的空間，使學(xué)生不斷經(jīng)歷獨立思考—合作交流的過程，能極大地提升學(xué)生解決問題的能力。

從CK的視角來看，通過對同一個知識點正反雙向的題目訓(xùn)練，學(xué)生能夠體會運用代數(shù)法和幾何法解決問題的特點，能夠深度理解圓的標準方程的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

2.4 暢所欲言，總結(jié)課堂

根據(jù)MPCK中MK的角度，知識之間存在互相關(guān)聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)，教師應(yīng)幫助學(xué)生梳理鞏固本節(jié)課的知識脈絡(luò)（見圖4），即確定一個圓的基本要素、圓的定義以及圓的標準方程，使學(xué)生達到更深的理解層次，幫助學(xué)生形成知識體系;從PK的角度，教師在課堂總結(jié)部分應(yīng)給學(xué)生足夠的自由發(fā)言空間，目的是通過課堂小結(jié)，盡可能地發(fā)現(xiàn)學(xué)生還未解決的問題;從CK的角度，學(xué)生自己梳理、總結(jié)知識脈絡(luò)，是扎實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。

從MK的視角來看，教師在本部分，按照以下方面緊扣本節(jié)課重難點進行引導(dǎo)總結(jié)。

（1）圓的定義與圓的標準方程息息相關(guān)。

（2）圓的標準方程與現(xiàn)實世界息息相關(guān)，是接下來要學(xué)習(xí)的其他平面解析幾何知識的基礎(chǔ)。

（3）推導(dǎo)圓的標準方程的方法及其反映的數(shù)學(xué)思想。

（4）利用圓的標準方程解決數(shù)學(xué)問題的要點。

在總結(jié)過程中，教師應(yīng)適時點撥提問，并伴有鼓勵性語句，讓學(xué)生自我表達，提升語言總結(jié)能力和表達的精確性，體會數(shù)學(xué)要求時刻精確的思想。

從PK的視角來看，教師要求學(xué)生自由發(fā)言，課堂的學(xué)習(xí)氛圍良好。

從CK的視角來看，課堂總結(jié)的思路邏輯清晰，層層遞進，嚴密精準，學(xué)生能夠很好地思考、舉證、討論，便于教師發(fā)現(xiàn)問題、引導(dǎo)學(xué)生解決問題。

3 結(jié)語

本節(jié)課的設(shè)計思路如下。

（1）通過現(xiàn)實情境使學(xué)生回顧圓的定義。

（2）結(jié)合情境描述圓的基本要素和幾何特征。

（3）結(jié)合具體問題合理建立平面直角坐標系。

（4）使用代數(shù)語言描述圓的幾何特征。

（5）得到圓的標準方程。

主要設(shè)計理念是在MPCK的視角下，堅持問題導(dǎo)向的方法，對學(xué)生形成有效的思維引領(lǐng)，幫助其塑造科學(xué)嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，最后解決問題。

通過以上剖析，提出對教師的建議：

（1）不輕視數(shù)學(xué)中的任何一個問題，從學(xué)生立場解釋知識、表征知識[6]。很多時候，教師對教學(xué)內(nèi)容存在“想當然”的態(tài)度，容易使用“這是固定規(guī)則”“易證”“容易得到”等詞匯。教師深入挖掘教材，站在學(xué)生的角度對每個可能的問題進行深度思考，在發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中引導(dǎo)學(xué)生深入探知、深度理解，是切實提升自身MPCK水平的有效途徑。

（1）注重提升自身的數(shù)學(xué)知識。從建構(gòu)主義的觀點來看，教師的數(shù)學(xué)知識向數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識轉(zhuǎn)化，最終生成MPCK的過程是一個動態(tài)的建構(gòu)過程，它需要教師在真實的教學(xué)情境中自主建構(gòu)[7]，需要以教師自身高水平的學(xué)科知識為基礎(chǔ)。

（3）重視教授知識過程中情境的重要性。學(xué)生要學(xué)習(xí)知識，知識為學(xué)生成長服務(wù)。知識具有情境性、實踐性、個體性等性質(zhì)[7]，教學(xué)活動中構(gòu)建情境，能很好地兼容知識的性質(zhì)，極大地提升教學(xué)效果。教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)史、實事、課程思政等設(shè)計情境，使學(xué)生體會到學(xué)科與人的關(guān)聯(lián)，成長為完整的人。

（4）高水平的MPCK得益于教師從新手時期就開始的不斷努力和思考。只有教師主動以理解數(shù)學(xué)知識和學(xué)生學(xué)習(xí)情況為前提，對每一節(jié)課進行再創(chuàng)造，整合教法知識與學(xué)科知識，積極對自身MPCK進行建構(gòu)，才能切實提高專業(yè)能力。

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參考文獻：

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收稿日期：2022-03-07

通訊作者：趙迎春（1983—），女，內(nèi)蒙古興安盟人，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：微分算子譜理論及其應(yīng)用，學(xué)科教學(xué)論。

基金項目：赤峰學(xué)院教育碩士專業(yè)學(xué)位人才培養(yǎng)與基礎(chǔ)教育教學(xué)專項（cfxyjyss12026）