朱遠(yuǎn)芳，汪新凡，周 浪

（湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

雙邊匹配決策研究起源于D.Gale等[1]對(duì)婚姻匹配問題[2]的研究，具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，如人力資源管理中人員與崗位的匹配[3]、二手房交易過程中買方與賣方的匹配[4]、投資決策過程中投資者與企業(yè)的匹配[5]等。正因?yàn)槿绱?，?duì)于雙邊匹配決策問題的研究，不僅具有重要的理論意義，而且具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

在雙邊匹配決策的實(shí)際過程中，由于客觀事物的復(fù)雜性和人類認(rèn)知的有限性，雙方主體很難給出精確的評(píng)價(jià)值，而用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集[6]來表達(dá)評(píng)價(jià)信息相對(duì)容易且符合實(shí)際。目前，有關(guān)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集的雙邊匹配決策理論與方法研究得到了學(xué)者們的關(guān)注[7-10]。在許多復(fù)雜的決策問題中，決策者僅用單一的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)常常難以表達(dá)自己猶豫不決的定性意見，為了解決這類問題，R.M.Rodriguez等[11]提出用猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集來表達(dá)評(píng)價(jià)信息。在有關(guān)猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集的研究中，一般都默認(rèn)決策者提供的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)具有同等重要性，但事實(shí)上，決策者可能會(huì)對(duì)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值具有不同的傾向性，因而這些語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)可能有不同的重要性程度。為刻畫語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的不同重要性程度，Pang Q.等[12]提出用概率語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集來表達(dá)評(píng)價(jià)信息。概率語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集既能反映決策者利用模糊語(yǔ)言表達(dá)對(duì)于方案或者準(zhǔn)則的猶豫性和模糊性，還可以反映每個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的概率分布信息，在表達(dá)評(píng)價(jià)信息時(shí)比猶豫模糊語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集更加精細(xì)，其研究也被擴(kuò)展到各個(gè)領(lǐng)域之中[13-14]。在概率語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，Lin M.W.等[15]定義了概率不確定語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集（probabilistic uncertain linguistic term sets，PULTS）。相比于概率語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集，PULTS更為精細(xì)地反映了定性評(píng)價(jià)信息的模糊性、猶豫性和不確定性，表征出猶豫不確定性語(yǔ)言信息的概率特征，體現(xiàn)出特定對(duì)象所具有不確定語(yǔ)言評(píng)價(jià)值的不同重要性程度，從而所表達(dá)的決策信息更為詳細(xì)、合理，使得在此基礎(chǔ)上做出的決策更符合實(shí)際、更具有可信性和可行性。然而，目前關(guān)于PULTS的雙邊匹配決策研究尚未見報(bào)道。

交互式多屬性決策（TODIM）方法是基于前景理論提出的一種交互式多準(zhǔn)則決策方法，其特點(diǎn)是考慮了決策者的心理行為特征，比基于效用理論提出的決策方法更符合實(shí)際。其思路如下：首先，計(jì)算每個(gè)方案或準(zhǔn)則的損益值，然后通過方案間的兩兩比較構(gòu)建優(yōu)勢(shì)度函數(shù)；在此基礎(chǔ)上，計(jì)算每個(gè)方案相對(duì)于所有方案的總體優(yōu)勢(shì)度，并依據(jù)總體優(yōu)勢(shì)度的大小對(duì)其進(jìn)行排序。與前景理論不同，TODIM方法涉及的參數(shù)較少，計(jì)算更簡(jiǎn)便，且不用事先確定參照點(diǎn)。例如，R.A.Krohling等[16]提出了基于直覺模糊數(shù)的TODIM決策方法；王堅(jiān)強(qiáng)等[17]將傳統(tǒng)的TODIM方法擴(kuò)展到屬性值為多值中智數(shù)的環(huán)境中；張笛等[18]提出了一種基于直覺模糊偏好信息的TODIM雙邊公平滿意匹配方法。但是，目前將TODIM方法應(yīng)用于PULTS決策的研究也尚未見報(bào)道。

PROMETHEE（preference ranking organization method for enrichment evaluation）方法，是基于方案的兩兩比較的一種多目標(biāo)決策方法，其主要包括PROMETHEE I和PROMETHEE II等方法。其中，PROMETHEE II方法由于定義了方案的凈流量，可得到所有方案的完全序列，其思路如下：對(duì)于所有方案下的每一準(zhǔn)則，由決策者按照自己的偏好為其選擇或定義偏好函數(shù)，再以偏好函數(shù)和準(zhǔn)則權(quán)重系數(shù)來計(jì)算兩個(gè)方案之間的優(yōu)勢(shì)度，并以此求出每一方案的流入量、流出量和凈流量，然后根據(jù)優(yōu)勢(shì)關(guān)系對(duì)方案進(jìn)行排序。與已有的排序方法相比，該方法思路清晰并且簡(jiǎn)單易懂。目前，該方法已經(jīng)被擴(kuò)展到直覺語(yǔ)言決策[19]、猶豫模糊語(yǔ)言決策[20-22]及概率語(yǔ)言決策[23-25]的研究中。但是，目前將PROMETHEE II方法應(yīng)用于PULTS決策的研究也尚未見報(bào)道。

基于以上分析，本文擬針對(duì)具有概率不確定語(yǔ)言信息的雙邊匹配決策問題，將TODIM方法和PROMETHEE II方法結(jié)合起來，綜合利用它們的優(yōu)勢(shì)，提出一種基于TODIM與PROMETHEE II的概率不確定語(yǔ)言雙邊匹配決策方法，并進(jìn)行算例分析，以期為解決準(zhǔn)則值為概率不確定語(yǔ)言的雙邊匹配決策問題提供理論參考。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 雙邊匹配

雙邊匹配決策問題涉及雙方主體，設(shè)A方主體集合為A={A1,A2, …,Am}，m≥2，其中Ai表示第i個(gè)A方主體，i=1, 2, …,m；B方主體集合為B={B1,B2, …,Bn}，n≥2，其中Bj表示第j個(gè)B方主體，j=1, 2, …,n。記I={1, 2,…,m}，J={1, 2, …,n}。

定義1[26-27]雙邊匹配定義為映射μ：A∪B→A∪B，且對(duì)于，μ滿足如下條件：

1）μ(Ai)∈B∪{Ai}，μ(Ai)=Ai，則Ai沒有匹配對(duì)象；

2）μ(Bj)∈A∪{Bj}，μ(Bj)=Bj，則Bj沒有匹配對(duì)象；

3）μ(Ai)=Bj當(dāng)且僅當(dāng)μ(Bj)=Ai，此時(shí)稱(Ai,Bj)為根據(jù)μ匹配確定的一個(gè)匹配對(duì)，并稱根據(jù)雙邊匹配μ確定的匹配對(duì)的集合為匹配方案集，記為F。

2.2 雙邊匹配的滿意性和公平性

設(shè)xij(i∈I,j∈J）是0～1變量：xij=0表示主體Ai與主體Bj不匹配，xij=1表示主體Ai與主體Bj匹配；αij為A方主體Ai對(duì)B方主體Bj的滿意度，βij為B方主體Bj對(duì)A方主體Ai的滿意度。

定 義2[18]若μ∈F，且 滿 足f(μ)=max{f(μτ)|τ=1,2,…,t}，則：

定義3[18]若μ∈F，且滿足g(μ)=max{g(μτ)|τ=1,2,…,t}，其中當(dāng)時(shí)，則稱μ是雙邊公平匹配方案，稱g(μτ)為雙邊匹配公平度。

2.3 PULTS及其相關(guān)概念

語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集[28]是一個(gè)由奇數(shù)個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)組成的集合，通常記為S={si|i=0, 1, 2,…, 2λ}。其中，λ為正整數(shù)，且滿足以下兩個(gè)特征：

1）有序性。如果L＞U，則sL＞sU。

2）互補(bǔ)性。如果L=U=2λ，則sL=neg(sU)。

定義4[29]設(shè)sL,sU∈S，L≤U，則稱

1）S[L,U]=[sL,sU]為不確定語(yǔ)言變量；

定義5[15]設(shè)

定義7[15]設(shè)

為一給定的PULTS，令

其中

則稱E(ε(P))為ε(P)的得分函數(shù)，V(ε(P))為ε(P)的精確函數(shù)。

利用得分函數(shù)E(ε(P))和精確函數(shù)V(ε(P))，可以對(duì)PULTS進(jìn)行比較和排序。

定義8[15]給定兩個(gè)PULTSε1(P)和ε2(P)，則有：

1）如果E(ε1(P))＞E(ε2(P))，則ε1(P)＞ε2(P)；

2）如果E(ε1(P))＜E(ε2(P))，則ε1(P)＜ε2(P)；

3）如果E(ε1(P))=E(ε2(P))，則

i）如果V(ε1(P))＞V(ε2(P))，則ε1(P)＜ε2(P)；

ii）如果V(ε1(P))=V(ε2(P))，則ε1(P)=ε2(P)；

iii）如果V(ε1(P))＜V(ε2(P))，則ε1(P)＞ε2(P)。

3 PULTS信息雙邊匹配決策方法

3.1 問題描述

針對(duì)上面描述的雙邊匹配決策問題，如何利用雙方主體給出的對(duì)另一方主體的概率不確定語(yǔ)言信息εqij(P)和，考慮雙邊匹配滿意性和公平性，構(gòu)建匹配優(yōu)化模型，獲取有效的雙邊匹配方案，這是本文需要解決的問題。

3.2 方法與步驟

針對(duì)上述需要解決的問題，本文將TODIM方法與PROMETHEE II方法結(jié)合，利用TODIM方法計(jì)算各主體間的優(yōu)勢(shì)度，以優(yōu)勢(shì)度值作為PROMETHEE II方法中的優(yōu)先函數(shù)計(jì)算凈流量，并以此構(gòu)建各主體的綜合準(zhǔn)則滿意度。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建考慮滿意性和公平性的雙邊匹配優(yōu)化模型，進(jìn)而獲取雙邊匹配方案。主要步驟如下。

1）根據(jù)A方主體Ai給出的B方主體Bj在評(píng)價(jià)準(zhǔn)則下的概率不確定語(yǔ)言信息εqij(P)（i∈I，j∈J，q∈Q），利用式（3）和式（4）計(jì)算得分函數(shù)E(εqij(P))和精確函數(shù)V(εqij(P))，并構(gòu)建得分函數(shù)和精確函數(shù)矩陣，其中

3）利用式（9）計(jì)算概率不確定語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息εqij(P)相對(duì)于εqik(P)的損益值H(εqij(P),εqik(P) )，構(gòu)建損益值矩陣，其中

當(dāng)εσij(P)≥εσik(P) 時(shí)，H(εσij(P),εσik(P) )表示收益；當(dāng)εσij(P)＜εσik(P)時(shí)，H(εσij(P),εσik(P) )表示損失。

其中

且θ(θ＞0)是損失衰減系數(shù)，表示主體Ai和Bj的損失規(guī)避程度，θ越小表明主體Ai和主體Bj的損失規(guī)避程度越大。

類似地，利用式（15）和式（16）計(jì)算主體Ai相對(duì)于主體Al的優(yōu)勢(shì)度δj(Ai,Al)和主體Al相對(duì)于主體Ai的優(yōu)勢(shì)度δj(Al,Ai)，構(gòu)建如下優(yōu)勢(shì)度矩陣式中

其中，

6）根據(jù)每個(gè)主體的流入量與流出量，利用式（23）計(jì)算出主體Bj的凈流量φi(Bj)，構(gòu)建如下凈流量值矩陣：

其中

類似地，利用式（24）計(jì)算出主體Ai的凈流量φj(Bi)，構(gòu)建如下凈流量值矩陣：

其中

7）利用式（25），根據(jù)主體Bj的凈流量值計(jì)算綜合準(zhǔn)則滿意度αij，構(gòu)建如下滿意度矩陣：

其中αij∈[0, 1]，且

αij反映了主體Ai對(duì)主體Bj的滿意度，其值越大越好。

類似地，利用式（26），根據(jù)主體Ai的凈流量值計(jì)算綜合準(zhǔn)則滿意度βij，構(gòu)建如下滿意度矩陣：

其中βij∈[0, 1]，且

綜合準(zhǔn)則滿意度Bij的值越大，表明主體Bj對(duì)主體Ai的滿意度越大。

3.3 雙邊匹配模型

引入0～1變量xij，當(dāng)Ai與Bj匹配時(shí)，xij等于1，否則等于0。根據(jù)上述問題的特點(diǎn)，構(gòu)建如下雙邊匹配多目標(biāo)優(yōu)化模型M1。

（M1）：

在上述模型中，式（27）表示使A方主體的總體滿意度最大化；式（28）表示使B方主體的總體滿意度最大化；式（29）表示盡量滿足雙邊匹配的公平性；式（30）表示A方主體中的每一個(gè)必須與B方主體中的某一個(gè)匹配；式（31）表示B方主體中的每一個(gè)與A方主體中的某一個(gè)或自身匹配；式（32）表示雙邊匹配數(shù)量約束的條件。

3.4 模型求解

對(duì)于模型M1中的目標(biāo)函數(shù)，其量綱量級(jí)均一致，故采用線性加權(quán)和法，將其轉(zhuǎn)化為如下單目標(biāo)規(guī)劃模型M2。

（M2）：

其中：ω1、ω2、ω3分別為目標(biāo)函數(shù)Z1、Z2、Z3的權(quán)重系數(shù)，且滿足ω1+ω2+ω3=1 ，ω1,ω2,ω3＞0。對(duì)于單目標(biāo)線性規(guī)劃模型M2，可以利用R語(yǔ)言、Lingo、Matlab等軟件進(jìn)行求解。

3.5 具體步驟

綜上，可知基于TODIM和PROMETHEE II的概率不確定語(yǔ)言雙邊匹配決策方法的具體步驟如下。

Step 1根據(jù)雙方主體給出的PULTS信息εqij(P)（i∈I，j∈J，q∈Q）和（i∈I，j∈J，ρ∈H），利用式（3）～（6），構(gòu)建如下得分函數(shù)和精確函數(shù)矩陣：

Step 2利用式（7）（8）構(gòu)建如下偏差矩陣：

Step 3利用式（9）（10）構(gòu)建如下?lián)p益值矩陣：

Step 4利用式（11）～（18）構(gòu)建如下優(yōu)勢(shì)度矩陣：

Step 5利用式（19）～（24）構(gòu)建如下凈流量值矩陣：

Step 6利用式（25）（26）構(gòu)建如下滿意度矩陣：

Step 7利用模型M1構(gòu)建雙邊匹配多目標(biāo)優(yōu)化模型。

Step 8將模型M1轉(zhuǎn)化為模型M2，求解模型M2，獲得雙邊匹配結(jié)果。

4 算例分析

4.1 政企雙邊匹配問題

為了緩解基礎(chǔ)設(shè)施融資壓力，政府越來越多地鼓勵(lì)私營(yíng)企業(yè)參與公共投資項(xiàng)目。因此，PPP（Public-Private-Partnership）項(xiàng)目已成為政府當(dāng)前基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的首選。由于該合作通常有較長(zhǎng)的合同期，這使得參與者之間的關(guān)系比其他采購(gòu)系統(tǒng)更加復(fù)雜，PPP模式的核心是通過政府和私營(yíng)企業(yè)之間的合作來促進(jìn)基礎(chǔ)設(shè)施和公共服務(wù)。PPP項(xiàng)目的合作伙伴選擇已從單一的最低價(jià)格贏得機(jī)制轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻?biāo)準(zhǔn)的決策機(jī)制，主要集中在項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)機(jī)制、運(yùn)作過程、資本結(jié)構(gòu)選擇等方面。私營(yíng)企業(yè)的選擇是建立良好PPP的關(guān)鍵。建立合作關(guān)系應(yīng)以雙方互利的情況為基礎(chǔ)，而不是以私營(yíng)企業(yè)的單方面選擇為基礎(chǔ)。PPP通常被認(rèn)為是一種雙贏機(jī)制，代表了公共部門和私營(yíng)企業(yè)的資源和努力，同時(shí)也被認(rèn)為是改變政府管理職能和實(shí)現(xiàn)治理現(xiàn)代化的有效途徑。PPP項(xiàng)目的對(duì)接涉及政府和企業(yè)之間的雙向選擇，從而形成長(zhǎng)期穩(wěn)定的合作伙伴關(guān)系，最終使雙方的滿意度最大化。此外，由于政府和企業(yè)之間存在利益沖突，除了要使雙方滿意度最大化，還要盡可能使雙方滿意度的偏差最小，避免出現(xiàn)一方主體的滿意度較高而另一方主體的滿意度較低這種不公平現(xiàn)象。因此，雙邊匹配決策過程不僅應(yīng)充分考慮政府和企業(yè)雙方的滿意性，還要兼顧匹配的公平性，以促進(jìn)雙方不僅達(dá)成合作而且實(shí)現(xiàn)雙贏。

TS是一家政府采購(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)，其有3個(gè)政府部門(A1,A2,A3)與3家承包公司(B1,B2,B3)需要進(jìn)行雙向選擇，該中介機(jī)構(gòu)根據(jù)收到的PPP項(xiàng)目中政府和企業(yè)雙方提供的信息，對(duì)其進(jìn)行一對(duì)一雙邊匹配，以使雙方主體得到滿意的匹配對(duì)象，獲得最優(yōu)的匹配決策方案。3個(gè)政府部門依據(jù)技術(shù)能力專業(yè)資格、管理經(jīng)驗(yàn)共3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)3家承包公司進(jìn)行評(píng)價(jià)，并給出相應(yīng)的概率不確定語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息，具體如表1～3所示。3家承包公司依據(jù)政府可信度和投資回收率等2個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)3個(gè)政府部門進(jìn)行評(píng)價(jià)，并且給出相應(yīng)的概率不確定語(yǔ)言評(píng)價(jià)信息，具體如表4和表5所示。這里使用τ=6的語(yǔ)言評(píng)價(jià)集，即S={s0,s1,s2,s3,s4,s5,s6}，其中s0為極差，s1為差，s2為較差，s3為一般，s4為好，s5為較好，s6為極好。

表1 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Ai對(duì)Bj的評(píng)價(jià)信息ε1ij(P)Table 1 Evaluation information ε1ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

表1 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Ai對(duì)Bj的評(píng)價(jià)信息ε1ij(P)Table 1 Evaluation information ε1ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

C1 1 A1 A2 A3images/BZ_95_691_2146_1961_2344.pngB1 B2 B3

表2 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Ai對(duì)Bj的評(píng)價(jià)信息ε2ij(P)Table 2 Evaluation information ε2ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

表2 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Ai對(duì)Bj的評(píng)價(jià)信息ε2ij(P)Table 2 Evaluation information ε2ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

?

表3 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Ai對(duì)Bj的評(píng)價(jià)信息ε3ij(P)Table 3 Evaluation information ε3ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

表3 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Ai對(duì)Bj的評(píng)價(jià)信息ε3ij(P)Table 3 Evaluation information ε3ij(P) of subject Bj by Ai under evaluation index

1 C 3 A1 A2 A3images/BZ_95_689_3041_1975_3244.pngB1 B2 B3

表4 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Bj對(duì)Ai的評(píng)價(jià)信息Table 4 Evaluation information of subject Ai by Bj under evaluation index

表4 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Bj對(duì)Ai的評(píng)價(jià)信息Table 4 Evaluation information of subject Ai by Bj under evaluation index

C2 1 A1 A2 A3images/BZ_96_689_557_2006_756.pngB1 B2 B3

表5 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Bj對(duì)Ai的評(píng)價(jià)信息Table 5 Evaluation information of subject Ai by Bj under evaluation index 2

表5 在評(píng)價(jià)指標(biāo)下主體Bj對(duì)Ai的評(píng)價(jià)信息Table 5 Evaluation information of subject Ai by Bj under evaluation index 2

C2 2 A1 A2 A3images/BZ_96_723_1008_1991_1207.pngB1 B2 B3

4.2 決策步驟

步驟1利用式（3）和式（4）構(gòu)建得分函數(shù)矩陣（如表6所示）和（如表7所示）。

表6 得分函數(shù)矩陣Table 6 Score function matrix

表6 得分函數(shù)矩陣Table 6 Score function matrix

?

表7 得分函數(shù)矩陣Table 7 Score function matrix

表7 得分函數(shù)矩陣Table 7 Score function matrix

?

步驟2利用式（7）和式（8）構(gòu)建偏差矩陣（如表8所示）和（如表9所示）。

表8 偏差矩陣Table 8 Deviation matrix

表8 偏差矩陣Table 8 Deviation matrix

Uq A1 A2 A3 B1 2.90 2.99 3.73 B2 1.95 2.19 3.01 B3 0.95 0.80 0.72 B1 0.01 0.05 0.82 B2 0.81 0.13 0.18 B3 0.82 0.18 1.00 B1 1.13 1.87 1.00 B2 0.87 0.20 0.06 B3 2.00 2.07 1.06 C11 C21 C31

表9 偏差矩陣Table 9 Deviation matrix

表9 偏差矩陣Table 9 Deviation matrix

images/BZ_96_1304_1450_1354_1521.pngB1 B2 B3 A1 1.81 1.00 0.30 A2 0.58 0.05 0.06 A3 1.23 0.95 0.24 A1 1.07 1.80 0.13 A2 0.80 0.95 1.07 A3 1.87 2.75 1.20 C12 C22

步驟3利用式（9）和式（10）構(gòu)建損益值矩陣（如表10所示）和（如表11所示）。

表10 損益值矩陣Table 10 Profit and loss matrix

表10 損益值矩陣Table 10 Profit and loss matrix

Vq A1 A2 A3 B1-2.90-2.99-3.73 B2-1.95-2.19-3.01 B3 0.95 0.80 0.72 B1 0.01 0.05-0.82 B2-0.81-0.13 0.18 B3-0.82-0.18 1.00 B1 1.13 1.87 1.00 B2-0.87-0.20-0.06 B3-2.00-2.07-1.06 C11 C21 C31

表11 損益值矩陣Table 11 Profit and loss matrix

表11 損益值矩陣Table 11 Profit and loss matrix

images/BZ_96_1307_2664_1350_2729.pngB1 B2 B3 A1 1.81 1.00 0.30 A2 0.58 0.05 0.06 A3-1.23-0.95-0.24 A1 1.07 1.80 0.13 A2-0.80-0.95-1.07 A3-1.87-2.75-1.20 C12 C22

步驟4利用式（11）～（18）構(gòu)建優(yōu)勢(shì)度矩陣（如表12所示）、（如表13所示）。

表12 優(yōu)勢(shì)度矩陣和Table 12 Dominance degree matrix and

表12 優(yōu)勢(shì)度矩陣和Table 12 Dominance degree matrix and

?

表13 優(yōu)勢(shì)度矩陣和Table 13 Dominance degree matrix and

表13 優(yōu)勢(shì)度矩陣和Table 13 Dominance degree matrix and

?

步驟5利用式（19）～（24）構(gòu)建凈流量值矩陣（見表14和15）。

表14 凈流量值矩陣Table 14 Net flow value matrix

表14 凈流量值矩陣Table 14 Net flow value matrix

Q A1 A2 A3 B1-3.78-2.62-4.32 B2-1.11-1.27-0.39 B3-0.25 00.29 00.39

表15 凈流量值矩陣Table 15 Net flow value matrix

表15 凈流量值矩陣Table 15 Net flow value matrix

images/BZ_97_303_2046_339_2090.pngB1 B2 B3 A1-2.26-1.16-0.36 A2-2.48-2.64-1.60 A3 2.48 2.64 1.60

步驟6利用式（25）和式（26）構(gòu)建滿意度矩陣和（見表16和17）。

表16 滿意度矩陣Table 16 Satisfaction degree matrix

表16 滿意度矩陣Table 16 Satisfaction degree matrix

R A1 A2 A3 B1 0.11 0.36 0.00 B2 0.68 0.65 0.20 B3 0.86 0.98 1.00

表17 滿意度矩陣Table 17 Satisfaction degree matrix

表17 滿意度矩陣Table 17 Satisfaction degree matrix

images/BZ_97_304_3047_337_3088.pngB1 B2 B3 A1 0.93 0.72 0.43 A2 0.03 0.00 0.20 A3 0.97 1.00 0.80

步驟7使用線性加權(quán)和法將多目標(biāo)優(yōu)化模型M1轉(zhuǎn)化為模型M2。為便于下文進(jìn)行對(duì)比，取ω1=ω2=ω3=1/3，并且使用軟件Lingo11.0求解，可得x13=x21=x32=1，其余xij=0。即政府部門A1與承包公司B3匹配；政府部門A2與承包公司B1匹配；政府部門A3與承包公司B2匹配。

4.3 對(duì)比分析

分別用TODIM方法、PROMETHEE II方法、文獻(xiàn)[30][31]的方法及TODIM-PROMETHEE II法（不考慮公平性）對(duì)上述雙邊匹配問題進(jìn)行求解，不同方法下得到的匹配方案見表18。

表18 不同方法得到的匹配方案Table 18 Matching schemes obtained by different methods

由表18可知，利用文獻(xiàn)[30][31]的方法（文獻(xiàn)[30]通過構(gòu)建以最大化得分函數(shù)分值為目標(biāo)的多目標(biāo)雙邊匹配模型，進(jìn)而得到最優(yōu)的雙邊匹配結(jié)果；文獻(xiàn)[31]通過構(gòu)建以最大化規(guī)范化前景矩陣為目標(biāo)的多目標(biāo)雙邊匹配模型，進(jìn)而得到最優(yōu)的雙邊匹配結(jié)果）得到的匹配結(jié)果與本文方法的匹配結(jié)果一致，但這兩種方法都沒有考慮主體有限理性，且文獻(xiàn)[31]中利用累積前景理論涉及的參數(shù)更多，較為復(fù)雜。而利用TODIM方法、PROMETHEE II方法以及TODIMPROMETHEE II方法（不考慮公平性）求解得到的匹配結(jié)果與本文方法的匹配結(jié)果并不完全一致。這是因?yàn)?，TODIM方法雖然考慮了主體有限理性，但對(duì)決策屬性間級(jí)別優(yōu)先關(guān)系缺少考慮，可能會(huì)使得最終匹配結(jié)果存在差異；PROMETHEE II方法沒有考慮主體有限理性，相應(yīng)地會(huì)導(dǎo)致最終匹配結(jié)果存在不準(zhǔn)確和不滿意問題；TODIM-PROMETHEE II法在沒有考慮公平性的情形下，缺少使得雙方主體滿意度偏差最小這一條件，不足以降低雙方主體間的利益沖突，進(jìn)而也會(huì)使得匹配結(jié)果可能存在差異。

本文方法在考慮公平性的情形下，通過將TODIM方法和PROMETHEE II方法結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)避短，既考慮了主體有限理性心理行為，又避免了PROMETHEE II方法在計(jì)算凈流量的過程中因?yàn)槠煤瘮?shù)選取不恰當(dāng)從而造成最終的決策結(jié)果出現(xiàn)不夠精確的可能。概率不確定語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集與TODIM方法結(jié)合是將決策者有限理性納入決策的考慮范圍，概率不確定語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集與PROMETHEE II方法結(jié)合考慮了決策屬性之間的級(jí)別優(yōu)先關(guān)系的情況。此外，公平性的考慮也避免了獲得的雙邊匹配結(jié)果出現(xiàn)一方主體的滿意度較高，而另一方主體的滿意度較低的不公平匹配現(xiàn)象。因此，本文提出的考慮公平性的TODIM-PROMETHEE II方法更具有說服力，更適用于現(xiàn)實(shí)生活中的決策問題。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)概率不確定語(yǔ)言信息雙邊匹配決策問題，本文將TODIM方法和PROMETHEE II方法相結(jié)合，提出了一種基于TODIM-PROMETHEE II的雙邊匹配決策方法。TODIM方法考慮了主體的有限理性，但也存在缺陷，即準(zhǔn)則之間存在互補(bǔ)性，對(duì)于被選擇的一方主體而言，它的某個(gè)或者某些極好的準(zhǔn)則評(píng)價(jià)值可彌補(bǔ)它的另外一個(gè)或者另外一些評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的缺陷，相應(yīng)地就會(huì)導(dǎo)致決策結(jié)果的不準(zhǔn)確和不滿意；PROMETHEE II方法由于定義了方案的凈流量，可得到所有方案的完全序。故本文方法發(fā)揚(yáng)了兩者的優(yōu)點(diǎn)。此外，本文所提出的匹配決策方法思路清晰，具有較強(qiáng)的可操作性和實(shí)用性，為匹配決策問題研究提供了一條新途徑。