徐建國，陳志豪，王 壬，徐一鳴

（1.鄭州大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院，河南鄭州 450000；2.中水東北勘測設(shè)計研究有限責(zé)任公司，吉林長春 130000；3.機械工業(yè)第六設(shè)計研究院有限公司，河南鄭州 450000）

引言

高聚物注漿修復(fù)技術(shù)通過向管道結(jié)構(gòu)脫空滲漏處注射高聚物注漿材料來達到填充脫空、封堵滲漏和抬升沉降管道的目的，作為一種微創(chuàng)高效的地下管道非開挖修復(fù)技術(shù)，目前該技術(shù)已成功應(yīng)用于多種地下管道修復(fù)工程項目中［1-3］。對于高聚物修復(fù)管道的地震響應(yīng)也有學(xué)者進行了相關(guān)研究［4-6］，但上述研究采用的地震輸入均為一致激勵。對于小跨度結(jié)構(gòu)來說，不考慮地震動的空間變化是合理的，然而研究表明，對于管道等大跨度結(jié)構(gòu)采用一致激勵的地震輸入不符合實際情況，可能會導(dǎo)致抗震設(shè)計的不合理［7-8］。因此對于高聚物注漿修復(fù)地下排水管道進行非一致激勵地震響應(yīng)分析是十分必要的。

地震動的差異性包括時間和空間上的差異，主要有行波效應(yīng)，局部場地效應(yīng)和部分相干效應(yīng)等，以行波效應(yīng)為主［9］。因此文中將主要考慮行波效應(yīng)下高聚物修復(fù)管道的動力響應(yīng)，依據(jù)彈性地基梁理論建立考慮行波效應(yīng)的高聚物修復(fù)管道振動方程，地震輸入采用人工生成的隨機地震波，進而分析不同視波速對于行波效應(yīng)的影響。

1 行波效應(yīng)下高聚物修復(fù)管道振動方程求解

對于高聚物修復(fù)管道在行波效應(yīng)下的動力響應(yīng)問題，文中將地下管道假定為彈性地基上的無限長均質(zhì)長梁，結(jié)合作者之前提出的管-土-高聚物相互作用分析模型［10］，忽略管道內(nèi)部阻尼，得到高聚物修復(fù)管道地震響應(yīng)計算模型。如圖1所示。

圖1 高聚物修復(fù)管道地震響應(yīng)計算模型Fig.1 Seismic response calculation model of polymer repair pipeline

1.1 管道縱向振動反應(yīng)方程求解

地下連續(xù)管線通常很長，當(dāng)實際計算時，可取其中一段管段來計算，當(dāng)計算管段長度取得足夠大時，邊界條件對計算管段中間部分的影響就很小，可將計算管段看作自由邊界，當(dāng)管道產(chǎn)生縱向振動時，其計算模型和邊界條件如圖2所示。

圖2 管道縱向振動計算模型和邊界條件Fig.2 Pipeline longitudinal vibration calculation model and boundary conditions

假設(shè)地下管道周圍介質(zhì)沿管軸線方向分布均勻，則管道縱向振動方程如式（1）所示：

式中：m為管道質(zhì)量；c為周圍介質(zhì)阻尼系數(shù)；k為周圍介質(zhì)縱向剛度；EA為管道的軸向剛度；u(x,t)為管道縱向位移；u g(x,t)為縱向地面位移。

對式（1）振動方程進行求解時，采用擬靜力位移法［11］來考慮行波效應(yīng)的影響，將式（1）中的管道縱向位移u(x,t)進行分解，如式（2）所示，分別是由地面運動引起的擬靜力位移u s(x,t)和由結(jié)構(gòu)慣性和阻尼引起的動態(tài)位移ud(x,t)。

去掉式（1）中的動態(tài)項，得到擬靜態(tài)位移常微分方程如式（3）所示：

式（3）所對應(yīng)的齊次方程的通解為：

將場地位移和管道位移在區(qū)間（0，l）上展開為余弦級數(shù)，從而可得式（3）的特解為：

將式（4）和式（5）相加并代入邊界條件可得微分方程的解為：

然后將式（1）中的動態(tài)項提出，可得：

對于動態(tài)位移可以采用振型疊加法［12］求解，首先在式（7）中去掉阻尼項和非齊次項，利用分離變量法，代入邊界條件，可得自振頻率和振型如下：

然后令

將上式代入方程（7）中，可得：

利用振型疊加法對式（11）解耦：

兩端同時在區(qū)間（0，l）上積分，根據(jù)振型正交性，可得：

計算時可取前N個振型，求出對應(yīng)的qn(t)后根據(jù)式（10）可近似求出動態(tài)位移如式（14）所示：

最后將擬靜態(tài)位移和動態(tài)位移相加，即可得到行波效應(yīng)下管道縱向振動方程的位移解，由位移可進一步得到管道的應(yīng)變及內(nèi)力。

1.2 管道橫向振動反應(yīng)方程求解

管道橫向振動計算模型和邊界條件如圖3所示，橫向振動方程為：

圖3 管道橫向振動計算模型和邊界條件Fig.3 Pipeline lateral vibration calculation model and boundary conditions

雖然縱向振動和橫向振動的運動方程和邊界條件均不同，但求解思路相同，因此這里就不再贅述，按上述縱向振動中的替換為，即可得到橫向振動擬靜力位移為：

相應(yīng)的其求解q n(t)的微分方程為：

2 人工隨機地震波生成

地震輸入采用人工生成的隨機地震波，其生成方法以平穩(wěn)地震動過程的Clough-Penzien功率譜［13］為基礎(chǔ)，引入非平穩(wěn)地震動加速度過程的廣義演變功率譜模型和相關(guān)參數(shù)，廣義演變功率譜模型充分考慮了地震動的持續(xù)時間、地震動峰值加速度、場地土圓頻率和阻尼比的時變特性，該功率譜密度函數(shù)表達式為：

式中：A(t)稱為強制調(diào)制系數(shù)；c為加速度峰值對應(yīng)的時刻；d為調(diào)制系數(shù)形狀控制指數(shù)；S0(t)為表示地震動強度的譜參數(shù)；aˉmax為平均峰值加速度；γ為等效峰值因子。ωg(t),ξg(t)分別表示場地土自振圓頻率和阻尼比；ωj(t),ξj(t)分別為過濾參數(shù)、場地參數(shù)和過濾參數(shù)均為時間的線性函數(shù)。

對于零均值非平穩(wěn)地震動加速度時程a(t)，若其演變功率譜密度函數(shù)為Sa(ω,t)，則非平穩(wěn)地震加速度時程可模擬為：

利用MATLAB編制計算程序，同時對幅值譜按照式（22）進行反復(fù)迭代修正，即可使得計算反應(yīng)譜Sa(ω,ζ)向設(shè)計反應(yīng)譜STa(ω,ζ)逼近，從而滿足對地震動加速度時程的模擬。

文中采用的廣義演變功率譜密度函數(shù)Sa(ω,t)，可由水工設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜確定，相關(guān)參數(shù)可根據(jù)SL 203-97《水工建筑物抗震設(shè)計規(guī)范》［14］確定。然后依據(jù)上述過程生成的人工地震波如圖4所示。

圖4 采用MATLAB生成的人工地震波Fig.4 Artificial seismic waves generated by MATLAB

3 計算結(jié)果分析

依據(jù)上述求解過程，采用MATLAB編制了計算程序，對算例進行了計算和分析。算例選取計算管道長度為1 000 m，沿管軸線方向200、500、800 m處分別選取3個測點，分析管道在正常、脫空和修復(fù)狀況下的變形。脫空假設(shè)發(fā)生在整個管道底部（占整個管道約1/8圓環(huán)區(qū)域），沿管軸線方向貫穿整個管道底部。

人工隨機地震波設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)譜根據(jù)SL 203-97《水工建筑物抗震設(shè)計規(guī)范》［14］確定，加載方向分為縱向和橫向2個方向。地震波在軟土層中的傳播速度一般為50～250 m/s，隨土層深度的增加而增加［15］。因此文中地震波采用100、200、500 m/s這3種波速來分析。

對于振動方程中管道周圍介質(zhì)剛度在正常、脫空和修復(fù)3種工況下的取值，可根據(jù)之前研究成果［10］中的公式計算，具體數(shù)據(jù)可見表1，由于篇幅原因，詳細(xì)求解過程就不再贅述。阻尼則采用粘滯阻尼，文中所取阻尼比取為0.05。

表1 正常、脫空和修復(fù)3種工況下計算剛度取值Table 1 Calculated stiffness values under three working conditions：normal，void and repaired

3.1 管道縱向振動計算結(jié)果分析

圖5為正常、脫空和修復(fù)3種工況下，不同地震波速時，3個對應(yīng)觀測點處的縱向振動位移最大值的對比。由圖5（b）可以看出，在相同地震波作用下，不同位置處的管道位移最大值相差不大。在脫空條件下波速500 m/s時，500 m測點處的位移最大值為21.012 mm，與200 m測點處的14.461 mm和800 m測點處的15.338 mm相比，差值分別為6.551 mm和5.674 mm，此時差值最大，其余工況差值均在1～4 mm之間。

對于同一測點，當(dāng)?shù)卣鸩úㄋ俨煌瑫r，其縱向振動位移最大值均隨波速的增加而增大。由圖5（a）可以看出正常條件下測點200 m處，隨著地震波波速的增大，管道位移最大值分別為2.030 mm，5.240 mm和10.139 mm，波速200 m/s和波速500 m/s的位移最大值與波速100 m/s時相比，分別增大了2.58倍和4.99倍。同樣的由圖5（c）可以看出，修復(fù)后測點200 m處位移最大值分別為2.548，6.733、11.634 mm，與波速100 m/s時相比分別增大了2.64倍和4.56倍。

由圖5可以看出，相對于管道正常埋置條件，針對管道脫空情況下，管道的位移最大值會明顯增大。如500 m測點處，與正常條件相比，波速100、200、500 m/s時脫空管道的位移最大值分別增加了3.374、5.226、9.156 mm。修復(fù)后管道的位移最大值與正常狀態(tài)相比，差值較小，在500 m測點處，高聚物修復(fù)后管道的位移最大值分別為2.442，5.856、14.793 mm，與相同波速時正常條件下的位移最大值相比，誤差分別為20%、21%和13%，誤差較小。從上述分析也可以看出，脫空對管道有較大的影響，會使管道地震反應(yīng)明顯增大，經(jīng)高聚物修復(fù)后，管道位移最大值會顯著減小變形接近正常埋置管道的縱向位移變形，體現(xiàn)出高聚物注漿對管道脫空的修復(fù)效果。

圖5 不同波速下管道縱向振動位移最大值Fig.5 The maximum pipe longitudinal vibration displacement under different wave speeds

圖6為不同位置處管道的縱向振動位移時程曲線對比。由圖6可以看出，同一地震作用下，管道在正常、脫空和修復(fù)條件下不同位置處的位移時程曲線變化趨勢基本相同，同時管道各測點的反應(yīng)有明顯的相位特性。從圖6（a）中可以看出，波速為100 m/s時，測點800 m處的位移時程曲線相對于200 m處有明顯的滯后，滯后時間約等于地震波在兩者之間的傳播時間。波速為200 m/s時，從圖6（b）中也可以看出這種滯后現(xiàn)象，圖6（c）中由于波速較快，這種滯后現(xiàn)象不明顯，這與文獻［16］得到的結(jié)果基本一致。從圖6可以看出，同一地震波波速下，不同位置管道的峰值略有不同，這是因為實際計算采用的管道長度取為定值，相較于理論假設(shè)的無限長管道，無法完全消除邊界效應(yīng)的影響。

圖6 不同位置處管道的縱向振動位移時程曲線Fig.6 Longitudinal vibration displacement time history curves of pipeline at different positions

圖7為同一位置處不同波速條件下管道的縱向振動位移時程曲線對比。從圖7可以看出，管道在正常、脫空和修復(fù)情況下，同一位置處的位移時程曲線在不同波速條件下波形基本相同，位移幅值隨地震波速的增大而增大。圖7（a）為正常情況下200 m處的位移時程曲線，位移最大值隨波速增大而增加了392%和56%，圖7（b）中脫空情況下500 m處位移最大值增加了307%和111%，圖7（c）為修復(fù)后800 m處的位移時程曲線，相對于100 m/s的2.752 mm和200 m/s的7.789 mm，增加了281%和34%。由此可見，考慮行波效應(yīng)后，地震波波速對于管道的變形有著較大的影響。

圖7 不同波速條件下管道的縱向振動位移時程曲線Fig.7 Longitudinal vibration displacement time history curves of pipeline under different wave speed conditions

圖8為同一位置處正常、脫空和修復(fù)3種條件下管道的縱向振動位移時程曲線對比。從8可以看出，在不同位置和不同波速條件下，脫空管道的位移幅值相比正常情況均會明顯增大，而修復(fù)后管道的位移值會恢復(fù)到正常水平。圖8（a）為波速100 m/s時，800 m測點處的正常、脫空和修復(fù)位移時程曲線對比，可以看出，脫空后管道的位移值會整體增大，其最大值出現(xiàn)在36.7 s時為5.164 mm，此時正常情況位移為1.993 mm，修復(fù)后為2.494 mm，與正常情況相比，脫空管道位移增大了159%，修復(fù)后管道位移僅增大了25%。如圖8（b）所示，當(dāng)波速為200 m/s時，500 m測點處脫空管道位移最大值出現(xiàn)在31.1s時為6.975 mm，與正常情況（位移最大值為3.133 mm）相比，脫空管道位移增大了123%，修復(fù)后管道（位移最大值為4.352 mm）位移增大了38%。同樣的圖8（c）中，脫空管道位移在15.6 s時最大，為7.432 mm，此時與正常情況（位移最大值為4.045 mm）相比，脫空管道位移增大了83%，修復(fù)后管道（位移最大值為4.352 mm）位移增大了7%。由此說明底部脫空對于管道的變形會有很大的影響，脫空條件下管道整體的變形會增大，而高聚物注漿后管道的變形較正常埋置情況相比僅增加20%左右，使管道變形接近恢復(fù)到正常水平。

3.2 管道橫向振動計算結(jié)果分析

圖9為正常、脫空和修復(fù)3種工況下，不同地震波速時，3個測點處的橫向振動位移最大值的對比。通過與圖5對于可以看出，在橫向振動條件下，3個測點處的位移最大值變化規(guī)律與縱向振動基本相同。在相同地震波作用下，由圖9（b）所示，在修復(fù)條件下波速500 m/s時，500 m測點處的位移最大值為37.462 mm，與200 m測點處的27.61 8 mm和800 m測點處的26.423 mm相比，差值分別為9.834 mm和11.039 mm，此時差值最大，其余工況差值均在1～7 mm之間，不同位置處的管道位移最大值相差不大。對于同一測點，當(dāng)?shù)卣鸩úㄋ俨煌瑫r，其縱向振動位移最大值均隨波速的增加而增大。脫空對管道有較大的影響，會使管道位移最大值出現(xiàn)明顯的增大，經(jīng)高聚物修復(fù)后，管道的位移最大值會顯著減小，與正常狀況相比，誤差也較小，變形接近正常使用時的變形。

圖9 不同波速下管道橫向振動位移最大值Fig.9 The maximum pipe lateral vibration displacement under different wave speeds

圖10為不同位置處管道的橫向振動位移時程曲線對比。由圖10可以看出，同一地震作用下，管道在正常、脫空和修復(fù)條件下不同位置處的橫向振動位移時程曲線變化趨勢也基本相同，同時管道各測點的反應(yīng)與縱向振動有同樣的相位特性。從圖10（a）中可以看出，波速為100 m/s時，這種滯后現(xiàn)象最明顯，圖10（c）中，波速為500 m/s時，不同位置處波形大致重疊，由此可見隨波速的增大，滯后現(xiàn)象愈發(fā)不明顯。

圖10 不同位置處管道的橫向振動位移時程曲線Fig.10 Lateral vibration displacement time history curves of pipeline at different positions

圖11為同一位置處不同波速條件下管道的橫向振動位移時程曲線對比。從圖中可以看出，管道橫向振動位移幅值隨地震波速的增大而增大。圖11（c）為修復(fù)后800 m處的位移時程曲線，當(dāng)波速為500 m/s時，地震位移峰值最大，此時位移最大值為26.423 mm，相對于100 m/s的4.907 mm和200 m/s的11.403 mm，分別增加了438%和131%。同樣的，圖11（a）為正常情況下200 m處的位移時程曲線，位移最大值增加了257%和166%，圖11（b）中脫空情況下500 m處位移最大值增加了717%和166%。由此可見，考慮行波效應(yīng)后，地震波速對于管道的橫向變形有著較大的影響。

圖11 不同波速條件下管道的橫向振動位移時程曲線Fig.11 Lateral vibration displacement time history curves of pipeline under different wave speed conditions

圖12為同一位置處正常、脫空和修復(fù)3種條件下管道的橫向振動位移時程曲線對比。從圖12可以看出，在不同位置和不同波速條件下，脫空管道的位移幅值相比正常情況均會明顯增大，而修復(fù)后管道的位移值會恢復(fù)到正常水平。圖12（a）為波速100 m/s時，800 m測點處的正常、脫空和修復(fù)位移時程曲線對比，可以看出，脫空后管道的位移值會整體增大，其最大值出現(xiàn)在36.7 s時為12.541 mm，此時正常情況位移為3.993 mm，修復(fù)后為4.913 mm，與正常情況相比，脫空管道位移增大了214%，修復(fù)后管道位移增大了23%。如圖12（b）所示，當(dāng)波速為200 m/s時，500 m測點處脫空管道位移最大值出現(xiàn)在28.8 s時為42.557 mm，此時與正常情況（位移最大值為14.506 mm）相比，脫空管道位移增大了193%，修復(fù)后管道（位移最大值為11.805 mm）位移增加大了18%。同樣的圖12（c）中，脫空管道位移在24.8 s時最大，為72.459 mm，此時與正常情況（位移最大值為18.013 mm）相比，脫空管道位移增大了302%，修復(fù)后管道（位移最大值為24.352 mm）位移增大了35%。說明底部脫空對于管道的變形會有很大的影響，脫空條件下管道整體的變形會增大，而高聚物注漿可使管道變形基本恢復(fù)到正常水平。

圖12 正常、脫空和修復(fù)3種條件下管道的橫向振動位移時程曲線Fig.12 Lateral vibration displacement time history curves of pipeline under three conditions：normal，void and repaired

4 結(jié)論

文中將地下管道假定為彈性地基上的無限長均質(zhì)長梁，結(jié)合提出的管-土-高聚物相互作用分析模型，忽略管道內(nèi)部阻尼，建立了高聚物修復(fù)管道地震響應(yīng)計算模型，同時利用振型疊加法進行了管道縱向和橫向振動方程的求解，最后依據(jù)上述求解過程，輸入人工隨機地震波，開展了行波效應(yīng)下管道高聚物修復(fù)地震響應(yīng)分析。得到的結(jié)論如下：

（1）在相同地震波作用下，管道在正常、脫空和修復(fù)條件下不同位置處的位移時程曲線變化趨勢基本相同，不同位置處的管道正向位移最大值和負(fù)向位移最大值相差不大。同時管道各測點的反應(yīng)有明顯的相位特性，距離較遠(yuǎn)測點的波形有明顯的滯后現(xiàn)象，但隨波速的增大，滯后現(xiàn)象愈發(fā)不明顯。

（2）管道在正常、脫空和修復(fù)情況下，同一位置處的位移時程曲線在不同波速條件下波形基本相同，位移幅值隨地震波波速的增大而增大?？紤]行波效應(yīng)后，地震波波速對于管道的變形有著較大的影響。

（3）在不同位置和不同波速條件下，脫空管道的位移幅值相比正常情況均會明顯增大，而修復(fù)后管道的最大位移值基本恢復(fù)到正常水平。脫空后管道位移峰值會比正常情況下增加100%～300%，而高聚物注漿后管道的變形與正常情況相比僅增大約20%左右?？梢哉J(rèn)為底部脫空對于管道的變形會有很大的影響，而在高聚物注漿修復(fù)后可使管道變形恢復(fù)到接近正常水平。