盧恩良

(江西省九江市第三中學，332000)

一、在數(shù)列中的應用

數(shù)列遞推技巧的核心本質(zhì)是同構(gòu),對于等差、等比型的數(shù)列問題,利用所給遞推公式依序同構(gòu),是解題思路形成的理論依據(jù).

(1)若數(shù)列{an+1+λan}是等比數(shù)列,求實數(shù)λ;

(2)略.

(1)證明:{bn}是等差數(shù)列;

(2)略.

解由bn=3nan,要證{bn}是等差數(shù)列,只要證3n+1an+1-3nan為常數(shù).由3n+1an+1與3nan結(jié)構(gòu)相同,為了配出3n+1an+1,對條件等式兩邊同乘以3n,得3n+1an+1=3nan+1,即3n+1an+1-3nan=1,所以{bn}為等差數(shù)列.

例3若數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1-(n+1)an=0(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式.

評注比較可見解法2顯得簡潔高效,這就是同構(gòu)思想的威力所在.

二、在方程中的應用

例5已知x,y∈R,且滿足(x-1)5+2x+sin(x-1)=3,(y-1)5+2y+sin(y-1)=1,求x+y的值.

解觀察發(fā)現(xiàn)兩個方程左邊結(jié)構(gòu)相同,但單個方程中的變量x和y結(jié)構(gòu)并不一致,因此考慮將題設(shè)方程化為

設(shè)h(x)=x5+2x+sinx,則h(x-1)=1,h(y-1)=-1.因為h(x)為奇函數(shù),所以h(x)+h(-x)=0.又h′(x)=5x4+2+cosx>0,h(x)為增函數(shù), 結(jié)合h(x-1)+h(y-1)=0,得x-1+y-1=0,即x+y=2.

例6已知x0是方程x2ex-2+lnx-2=0的一個根,求e2-x0+lnx0的值.

評注同構(gòu)思想在方程中的應用,往往會和函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性一起考察.當遇到含有指數(shù)和對數(shù)結(jié)構(gòu)的方程時,需要靈活運用指數(shù)對數(shù)運算公式.

三、在不等式中的應用

在遇到含有雙變量的不等式問題時,利用同構(gòu)思想將不等式兩邊化為結(jié)構(gòu)相同的兩部分,再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)處理,往往能達到意想不到的效果.

例7(2020年全國高考題)若2x-2y<3-x-3-y,則( )

(A)ln(y-x+1)>0

(B)ln(y-x+1)<0

(C)ln|x-y|>0

(D)ln|x-y|<0

解依題意,2x-3-x<2y-3-y,觀察不等式兩邊結(jié)構(gòu)一致,可設(shè)h(x)=2x-3-x,則h(x)1,有l(wèi)n(y-x+1)>0成立.故選A.

變式1(2020年全國高考題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

提示方程同構(gòu)變形得2a+log2a=22b+log2b.設(shè)h(x)=2x+log2x,利用h(x)單調(diào)增及l(fā)og2b

綜上,可得m≥1.

四、在函數(shù)與導數(shù)中的應用

含有參數(shù)的不等式成立問題是高考的熱點和難點問題. 求解此類問題有時候采用分離參數(shù)法或分類討論，難度較大,甚至無法將變量分離出來,但如果利用同構(gòu)思想考慮,能使解題難度大大降低.

例8(2020年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解因為f(x)=eln a+x-1-lnx+lna,故由f(x)≥1可得eln a+x-1+lna-1≥lnx,即eln a+x-1+lna+x-1≥lnx+x,亦即eln a+x-1+lna+x-1≥eln x+lnx.

設(shè)h(x)=ex+x,則h(lna+x-1)≥h(lnx).又h(x)為增函數(shù),故lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.由導數(shù)法易知函數(shù)φ(x)=lnx-x+1(x>0)的最大值是φ(1)=0.所以lna≥0,得a≥1.

變式若2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,求a的取值范圍.

五、在解析幾何中的應用

同構(gòu)思想在解析幾何中的應用也非常廣泛,尤其是在處理雙切線問題時,堪稱“解幾利器”.

變式(2020年全國高考題改編)已知圓M:(x-1)2+(y-1)2=4,直線l:2x+y+2=0,過l上動點P作圓M的兩條切線PA,PB,切點為A,B.求證:直線AB過定點.

同理,由MB⊥PB,可得(x2-1)(x0-1)+(y2-1)(y0-1)=4.于是點A(x1,y1),B(x2,y2)都滿足(x-1)(x0-1)+(y1-1)(y0-1)=4,即直線AB的方程為(x-1)(x0-1)+(y-1)(y0-1)=4.

綜上,點P的軌跡方程為x2+y2=4.

總之,利用同構(gòu)思想解題,不僅需要有同構(gòu)意識,還要善于觀察和對代數(shù)式的變形能力.運用同構(gòu)思想解題技巧性較強,對綜合能力要求較高.