史多動(dòng)

(甘肅省高臺(tái)縣職業(yè)中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校，734300)

一、試題呈現(xiàn)

這是2021年1月清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試(THUSSAT)新高考第15題.本文從柯西不等式及其變式多角度揭示求解這類(lèi)問(wèn)題常用的基本思路和方法.

二、解法探析

1.基礎(chǔ)知識(shí)

二維柯西不等式 設(shè)a,b,c,d∈R,則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a∶c=b∶d時(shí)成立.

變式設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),則

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a∶c=b∶d時(shí)成立.

2.多視角求解

(1)配湊視角

分析1根據(jù)已知式和所求式的結(jié)構(gòu)特征,利用柯西不等式配湊,將已知等式的兩邊都加上3,使含有a的項(xiàng)的分子出現(xiàn)a+1,然后進(jìn)行常數(shù)代換,利用二維柯西不等式求得最值.

分析2根據(jù)已知式和所求式的結(jié)構(gòu)特征利用柯西不等式的變式配湊,將所求式變形、配湊出含有已知式中的項(xiàng),利用二維柯西不等式變式求解。

(2)消元視角

分析3由條件消去a,得到關(guān)于b的式子,再按柯西不等式的形式配湊、求解.

評(píng)注(1)亦可消去b轉(zhuǎn)化為a的式子進(jìn)行求解(此處從略).

(2)消去b得到關(guān)于a的式子后，亦可用柯西不等式的變式求解.具體過(guò)程如下：

(3)換元視角

分析4根據(jù)已知式進(jìn)行和差換元(均值換元),并代入所求式,得到關(guān)于新元的式子,進(jìn)行“1”的代換,利用柯西不等式求解.

分析5根據(jù)已知式結(jié)合平方關(guān)系進(jìn)行三角換元,再利用柯西不等式的變式求解.

由上可見(jiàn),對(duì)典型試題進(jìn)行多解探究,既能梳理解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法,尋求解答此類(lèi)問(wèn)題的通性通法,揭示問(wèn)題的本質(zhì)和一般規(guī)律,又能拓寬學(xué)生的知識(shí)面,權(quán)衡解法優(yōu)劣,積累解題經(jīng)驗(yàn),提高解題效率.此外還能溝通知識(shí)間的聯(lián)系,厘清知識(shí)脈絡(luò),構(gòu)建完整的知識(shí)體系,使知識(shí)、方法、能力融為一體,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題,開(kāi)發(fā)智能,優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).