陳雪梅

(甘肅省清水縣第六中學(xué),741400)

排列組合教學(xué)中的不同元素與相同元素的分組問題是高中數(shù)學(xué)的一個難點,很多同學(xué)在解決這類問題時要么束手無策,要么一做就錯.本文將通過一些具體的例子,介紹如何利用四個相關(guān)結(jié)論解決這類問題.

一、不同元素的分組問題

例1將a,b,c,d四個不同的小球平均分成兩組,有多少種不同的分法?

變式1將a,b,c,d四個不同的小球分成三組,其中一組兩個小球,其余兩組各一個小球,有多少種不同的分法?

變式2將a,b,c,d四個不同的小球分成兩組,其中一組1個小球,另一組3個小球,有多少種不同的分法?

通過以上例題與變式,我們不難概括得到如下結(jié)論:

變式3將a,b,c,d四個不同的小球裝在甲、乙兩個不同的盒子中,求在下列條件下各有多少種不同的分配方法?

(1)每盒各兩球;

(2)一盒一球,一盒三球.

分析求解這類問題可以分兩個步驟:先分組后分配.

結(jié)論2一般地,如果把不同的元素分配給幾個不同對象,采用的方法是先分組后分配,則不同分法為分組方案數(shù)乘以不同對象數(shù)的全排列數(shù).

以上是我們以不同的小球分組問題為例總結(jié)的解題方法,同學(xué)們可以以此為模板解決所有不同元素的分組分配問題.

高考鏈接

1.(2020年全國高考題)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動,每位同學(xué)只去1個小區(qū),每個小區(qū)至少安排1位同學(xué),不同的安排方法有______種.

分析此題為不同元素的分組分配問題.4名同學(xué)分3組,其中一組兩位同學(xué),另外兩組各一位同學(xué),然后再分配給3個小區(qū)即可,可以按我們上面總結(jié)的結(jié)論1與2為模板直接解答.

2.(2021年全國高考題)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只分配到一個項目,每個項目至少分配一名志愿者,則不同的分配方案共有( )

(A)60種 (B)120種

分析本題實質(zhì)是將5個不同元素分配給4個不同對象,每個對象至少分配一個元素的問題.

二、相同元素的分組問題

例2把4個相同的小球裝在3個不同的盒子中,每盒至少一個,有多少種不同的裝法?

通過這個例子,我們可以總結(jié)出如下解題方法:

“你可找對了，這個就是我這批貨里最特別的了。這個叫電色假玉。是把劣質(zhì)玉電鍍上一層翠綠色的外表，讓人難辨真假。遇上這種偽玉，就需要你仔細(xì)去觀察了。”老道把玉舉到近前，“因為電鍍時會留下裂紋，電色假玉上面會有一些綠中帶藍(lán)的小裂紋。行家稱這個為‘蜘蛛爪’。但是這些花紋不起眼，一般用這個就足夠騙過大多數(shù)人了?！?/p>

利用此結(jié)論,大家可以解決“相同元素分組且每組至少1個型”的分組問題.例如:

練習(xí)有6個大學(xué)保送名額,計劃分到4個班級,每班至少一個名額,有______種不同的分法.

變式4把四個相同的小球裝在3個不同的盒子中,允許有空盒,則有多少種不同的裝法?

練習(xí)求方程a+b+c+d=15的自然數(shù)解的個數(shù).

分析本題可轉(zhuǎn)化為將15個小球裝在4個不同盒子中,允許有空盒時,有多少種不同裝法的問題,所以可用結(jié)論3或4解答.

值得注意的是,結(jié)論3和結(jié)論4只適用于相同元素分配給不同對象的問題,對于相同元素分配給相同對象的問題,元素數(shù)量較少時,可用列舉法,但元素數(shù)量較多時問題會很復(fù)雜,限于篇幅,本文不再提及.

通過上面的例1例2及其變式,我們可以發(fā)現(xiàn)在解決這類問題時,應(yīng)先搞清楚是不同元素的分組問題,還是相同元素的分組問題；如果是不同元素的分組問題,就要注意是均勻分組還是部分均勻分組還是全部非均勻分組.另外，還要注意是只要求分組,還是分組后再分配問題;若是相同元素分配給不同對象問題,就看是“至少一個型”,還是“允許0型”,再選用相應(yīng)的結(jié)論進(jìn)行解答.