■楊 漢

在空間幾何體的學(xué)習(xí)中,由于同學(xué)們?nèi)鄙佟翱臻g問題平面化,模型化和代數(shù)化”的意識,解題時(shí)容易出現(xiàn)思維誤區(qū),下面結(jié)合實(shí)例剖析之。

誤區(qū)1：三棱錐的體積求解中忽視“等積變換”

例1 如圖1,在棱長為5 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一條線段,且EF=2,Q是A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P是棱C1D1上的動點(diǎn),則四面體PQEF的體積( )。

圖1

A.是變量,且有最大值

B.是變量,且有最小值

C.是變量,且有最大值和最小值

D.是一個(gè)不變量

錯解：應(yīng)選A 或B或C。

剖析：上述解法錯選的原因是:忽視了三棱錐體積求解中的“合理變換底面和高”。

由AB⊥側(cè)面AA1D1D,可知QA為點(diǎn)Q到AB的距離。

由EF=2,可知S△QEF為定值。

由C1D1//AB,結(jié)合線面平行的判定定理得C1D1//面QEF,則C1D1到面QEF的距離為定值。而P是棱C1D1上的動點(diǎn),所以點(diǎn)P到平面QEF的距離也為定值。

由上可知,四面體PQEF的底面積和高均為定值,則四面體PQEF的體積為定值。應(yīng)選D。

警示：求三棱錐的體積問題,可任選一面作為底面,目標(biāo)是易求出該底面的面積和對應(yīng)的高。

誤區(qū)2：不善于將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,缺少割補(bǔ)法的意識

例2 如圖2,一個(gè)盛滿水的三棱錐容器,不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞D,E,F,且知SD∶DA=SE∶EB=CF∶FS=2∶1,若仍用這個(gè)容器盛水,則最多可盛原來水的( )。

圖2

當(dāng)平面EFD與水平地面平行時(shí),容器盛水最多。

由SD∶DA=SE∶EB=CF∶FS=2∶1,可設(shè)F,C在平面SAB上的射影分別為G,H,則FG∶CH=SF∶SC=1∶3。

警示：理解這個(gè)容器盛水最多的意義,再結(jié)合三角形的相似比是解答本題的關(guān)鍵。

誤區(qū)3：忽視題設(shè)或定理中的條件

例3 設(shè)a,b為兩條直線,α,β為兩個(gè)平面,且a?α,a?β,則下列結(jié)論中不成立的是( )。

A.若b?β,a//b,則a//β

B.若a⊥β,α⊥β,則a//α

C.若a⊥b,b⊥α,則a//α

D.若α⊥β,a⊥β,b//a,則b//α

錯解：應(yīng)選A。

剖析：上述解法錯選的原因是:不能準(zhǔn)確把握條件a?α,a?β,忽視了空間中平行、垂直關(guān)系的判定定理的條件。

對于A,由b?β,a//b,且已知a?β,根據(jù)線面平行的判定定理得a//β,A 正確。對于B,由a⊥β,α⊥β,根據(jù)線面位置關(guān)系得a?α或a//α,而已知a?α,所以a//α,B 正確。對于C,由a⊥b,b⊥α,可得a?α或a//α,而已知a?α,所以a//α,C正確。對于D,由a⊥β,b//a,可得b⊥β,因?yàn)棣痢挺?所以b?α或b//α,即不能得到b//α,D 錯誤。應(yīng)選D。

警示：利用直線與平面平行或垂直,平面與平面平行或垂直的判定定理時(shí),一定要注意定理成立的條件。

誤區(qū)4：兩直線位置關(guān)系判斷中忽視“反證法”的應(yīng)用

例4 已知m,n為異面直線,m?平面α,n?平面β,α∩β=l,則直線l( )。

A.與m,n都相交

B.與m,n中至少一條相交

C.與m,n都不相交

D.至多與m,n中的一條相交

錯解：應(yīng)選A。

剖析：忽視題設(shè)條件,缺少反證法研究問題的意識。

假設(shè)直線l與m,n都不相交,因?yàn)閙?平面α,n?平面β,所以m//l,n//l,所以m//n//l。這與m,n為異面直線矛盾,則假設(shè)錯誤,所以直線l與m,n中至少一條相交。應(yīng)選B。

警示：簡單的空間位置關(guān)系的判斷,可根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合反證法容易得到答案。

誤區(qū)5：線線、線面、面面平行關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)

例5 如圖3所示,平面α//平面β,AC與BD為異面直線,且AC?α,BD?β,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),求證MN//平面β。

圖3

錯解：由α//β,AC?α,可得AC//β。由BD?β,可得AC//BD。

因?yàn)镸,N分別為AB,CD的中點(diǎn),所以MN//BD。又MN?β,BD?β,所以MN//平面β。剖析：上述解法認(rèn)為兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線必平行,忽視了異面的情形。

由AB∩AC=A,可得AB,AC確定一個(gè)平面γ,則γ∩α=AC。

由B∈AB,AB?γ,B∈β,可得B是γ與β的公共點(diǎn),于是可設(shè)β∩γ=BE。取CE的中點(diǎn)P。由α//β,α∩γ=AC,β∩γ=BE,可得AC//BE。

由M,P分別為AB,CE的中點(diǎn),可得MP//BE。因?yàn)锽E?β,MP?β,所以MP//平面β。

在△CED中,P,N分別為CE,CD的中點(diǎn),可得PN//DE。

因?yàn)镻N?β,DE?β,所以PN//β。

又因?yàn)镸P∩PN=P,所以平面MNP//平面β。

因?yàn)镸N?平面MNP,所以MN//平面β。

警示：在證明線面平行時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi),否則會出現(xiàn)錯誤。在解決線面、面面平行時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”。