鐘東洲，徐喆，趙可可，胡亞蘭，鄧萬安，侯鵬，張金波

（五邑大學(xué) 智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020）

0 引言

文獻(xiàn)［1-3］提出的光泵浦自旋垂直腔表面發(fā)射激光器（Spin-Vertical Cavity Surface-Emitting Laser，Spin-VCSEL）比電泵浦VCSEL 表現(xiàn)出更優(yōu)越的性能。例如，它們有更快的調(diào)制動(dòng)態(tài)、更大的調(diào)制帶寬，更低的閾值電流。與常規(guī)的VCSEL 相比，它們有更強(qiáng)的偏振控制性［4-6］。利用這些特性，光泵浦VCSEL 在高速光通信、光信息處理、數(shù)據(jù)存儲、量子計(jì)算、生物傳感領(lǐng)域中有著新的應(yīng)用前景。在光泵浦自旋VCSEL中，不同形式的超快不穩(wěn)定現(xiàn)象（包括周期性振蕩、偏振轉(zhuǎn)換和混沌動(dòng)態(tài)）被觀察［7-8］。光泵浦自旋VCSEL 的混沌動(dòng)態(tài)被應(yīng)用于精準(zhǔn)測距［9-10］、保密通信［11］等領(lǐng)域。

由于弱材料性和激光腔的各向異性，電泵浦VCSEL 輸出通常包含兩個(gè)垂直偏振分量（Polarization Component，PC），x偏振分量（x-PC）和y偏振分量（y-PC）［12-13］。這兩個(gè)偏振分量有利于實(shí)現(xiàn)雙信道光通信。近年來，基于電泵浦VCSEL 的雙信道保密通信受到廣泛關(guān)注［14-16］。在這些工作中，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)電泵浦VCSEL 系統(tǒng)常用于保密通信。在這個(gè)系統(tǒng)中，通過引入驅(qū)動(dòng)VCSEL 的外部擾動(dòng)和光反饋，能夠產(chǎn)生混沌x-PC 和y-PC。當(dāng)響應(yīng)VCSEL 的參數(shù)與驅(qū)動(dòng)VCSEL 參數(shù)一致時(shí)，響應(yīng)VCSEL 能夠發(fā)射相似的混沌x-PC和y-PC。此外，每一對PC（如兩個(gè)x-PC 或兩個(gè)y-PC）之間的混沌同步在保密通信的安全性和加密信息解碼中扮演重要的角色。然而，高質(zhì)量混沌同步依賴于如下條件：驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)電泵浦VCSEL 結(jié)構(gòu)上完全對稱，并且它們的參數(shù)完全匹配。以前工作表明，由于驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)VCSEL 中的兩個(gè)PC 的存在，這些激光器的結(jié)構(gòu)對稱性被破壞，這導(dǎo)致了混沌同步質(zhì)量的惡化［17］。在這個(gè)不對稱結(jié)構(gòu)條件下，通過限制驅(qū)動(dòng)VCSEL 自反饋延時(shí)和信道延時(shí)之間時(shí)延差，高質(zhì)量的混沌同步可能被實(shí)現(xiàn)［14］。但是，上面描述的條件和限制在實(shí)際中不可持續(xù)。由于實(shí)際中驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)VCSEL 之間不可避免地不完美匹配和時(shí)延差的瞬時(shí)變化，高質(zhì)量混沌同步的實(shí)現(xiàn)面臨許多實(shí)際的挑戰(zhàn)。

近年來，深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于光通信的性能監(jiān)測以及非線性均衡［18］。2007年，一個(gè)帶有單隱層人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于預(yù)測混沌時(shí)間序列［19］。2019年，基于對混沌同步的深度學(xué)習(xí)，KE Junxiang 和YI Lilin 等實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了32 Gb/s 的混沌光通信［20］。上述文獻(xiàn)報(bào)道的深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過軟件程序來實(shí)現(xiàn)混沌時(shí)間序列和混沌同步的預(yù)測。然而，使用深度學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對更為復(fù)雜的混沌光通信的相關(guān)性能進(jìn)行預(yù)測時(shí)，需要消耗大量的計(jì)算機(jī)硬件。2012年，APPELTANT 等提出了基于延時(shí)反饋的儲備池計(jì)算（Reservoir Computing，RC）［21］。與深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法相比，基于延時(shí)反饋的RC 的中心思想是：一個(gè)非線性系統(tǒng)作為一個(gè)物理節(jié)點(diǎn)，通過時(shí)間復(fù)用方法，實(shí)現(xiàn)空間和時(shí)間的交換，是一種有效的方法用來簡化硬件結(jié)構(gòu)，不需要形成復(fù)雜的內(nèi)部連接結(jié)構(gòu)。因此基于延時(shí)反饋的RC 是一種簡單而有效的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算硬件實(shí)現(xiàn)方法［22］。它由非線性系統(tǒng)和延時(shí)反饋環(huán)路組成。其中，非線性系統(tǒng)的瞬時(shí)動(dòng)態(tài)被采樣后，考慮為虛擬節(jié)點(diǎn)狀態(tài)。最先由非線性電路系統(tǒng)構(gòu)成時(shí)延RC，應(yīng)用于處理時(shí)間相關(guān)的信號，其性能可與基于復(fù)雜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軟件結(jié)構(gòu)的RC 性能相比擬［23-24］。隨后，人們相繼使用光電反饋系統(tǒng)［25］、有源非線性光學(xué)器件（半導(dǎo)光放大器等）［26］和光反饋半導(dǎo)體激光器［27］等非線性光學(xué)系統(tǒng)構(gòu)建基于延時(shí)反饋的RC。特別注意的是，針對時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)測學(xué)習(xí)，基于非線性半導(dǎo)體激光器的延時(shí)反饋RC 具有如下優(yōu)勢：快速、高效和并行計(jì)算能力。許多工作的研究結(jié)果表明，這種方法可以有效地預(yù)測電路或非線性光學(xué)系統(tǒng)的混沌軌跡［28-32］、而且能很好預(yù)測混沌軌跡的同步。例如，2018年，ANTONIK 等實(shí)驗(yàn)證明了一個(gè)訓(xùn)練的儲備池可以產(chǎn)生與驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)相似的動(dòng)力學(xué)行為（相似譜、Lyapunov 指數(shù)等）［33］。2019年，THOMAS 與合作者利用RC 對耦合混沌系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)，其重構(gòu)范圍跨越一系列動(dòng)態(tài)關(guān)系，包括廣義同步［34］。我們最近的研究工作表明，基于延遲的儲備池計(jì)算方法可以實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的混沌同步［35］。因此，基于時(shí)延的RC 方法為保密通信中混沌同步質(zhì)量差、不穩(wěn)定等問題的解決提供了一種有效的途徑。

吳正茂等提出基于一個(gè)帶有光注入和光反饋的VCSEL 的延時(shí)儲備池計(jì)算系統(tǒng)［36］。這種RC 被稱為基于VCSEL 的RC 系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，利用VCSEL 輸出的非線性動(dòng)態(tài)x偏振和y偏振實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)并行儲備池計(jì)算機(jī)。它們能夠很好地并行預(yù)測兩個(gè)獨(dú)立的混沌時(shí)間序列。在上述基于VCSEL 的RC 方案中，使用的激光器幾乎都是電泵浦Spin-VCSEL，這種VCSEL 的輸出x偏振和y偏振在外部擾動(dòng)和光學(xué)反饋的作用下被不斷地轉(zhuǎn)換，從而影響兩個(gè)并行RC 的預(yù)測性能。與電泵浦Spin-VCSEL 相比，光泵浦Spin-VCSEL 除了能對激光器的輸出進(jìn)行靈活的自旋控制之外，還增加了兩個(gè)關(guān)鍵控制參數(shù)，如光泵浦強(qiáng)度和橢圓極化率。基于此，光泵浦Spin-VCSEL 具有更好的偏振可控性［4-6］，這有利于實(shí)現(xiàn)并行儲備池計(jì)算。此外，在較短延遲反饋或沒有反饋的情況下，它可以產(chǎn)生超快的混沌響應(yīng)。在足夠的虛擬節(jié)點(diǎn)情況下，它可以形成非常短的虛擬節(jié)點(diǎn)間的間距。這些說明，基于光泵浦VCSEL 的兩個(gè)混沌偏振的兩個(gè)儲備池可以并行處理高速混沌時(shí)間序列。

本文利用基于帶有光注入和光反饋的光泵浦Spin-VCSEL 發(fā)射的兩個(gè)混沌偏振分量作為兩個(gè)非線性節(jié)點(diǎn)，形成兩個(gè)并行的RC。其中，非線性節(jié)點(diǎn)的間距被設(shè)置為超短長度。利用這兩個(gè)RC，論述兩對PC 的混沌同步質(zhì)量表現(xiàn)。利用基于兩個(gè)并行RC 的良好的混沌同步，探討雙信道混沌光通信實(shí)現(xiàn)方案和性能。其次，探討采樣周期和虛擬節(jié)點(diǎn)間距對訓(xùn)練誤差的影響，并且評估不同參數(shù)空間中混沌同步的預(yù)測學(xué)習(xí)表現(xiàn)。最后，詳細(xì)分析基于延遲的RC 系統(tǒng)被攻擊時(shí)的安全性。

1 理論和模型

圖1 給出了利用兩個(gè)并行RC 實(shí)現(xiàn)雙信道混沌光通信的方案圖。VCSEL1和VCSEL2都是光泵浦Spin-VCSEL。受到光反饋的VCSEL1產(chǎn)生的兩個(gè)混沌偏振分量用于預(yù)測學(xué)習(xí)，其目的是為了實(shí)現(xiàn)VCSEL1和VCSEL2之間的通信和同步。為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)并行RC，同時(shí)受到光注入和光反饋的VCSEL2產(chǎn)生的兩個(gè)混沌偏振分量被考慮為非線性節(jié)點(diǎn)。CW 是連續(xù)激光器。6 個(gè)光隔離器（ISs）（s=1，2，…，6）用于避免光反饋。中性密度濾波器被用來控制光強(qiáng)度?？勺児馑p器（VOAs）（s=1，2）被用來控制反饋強(qiáng)度。PM1和PM2是相位調(diào)制器。偏振控制器（PCs）（s=1，2，…，6）用于控制光的偏振。光纖分束器（FBSs）（s=1，2）用于分離光為兩個(gè)相同的分量。下標(biāo)為1～3 的光纖偏振分束器（FPBS）用于分離光為兩個(gè)偏振分量。OSC1和OSC2是示波器。DL1和DL2是延遲線。光電探測器（PDs）（s=1，2，…，6）用于將光波轉(zhuǎn)為電流信號。OC 是光環(huán)形器。FC 是光纖耦合器。此外，假設(shè)實(shí)驗(yàn)方案中所用的光纖長度不足1 km，以致光纖的色散效應(yīng)和非線性效應(yīng)可以忽略。

圖1 使用基于光泵浦Spin-VCSEL 的兩個(gè)偏振分量的并行儲備池計(jì)算雙路混沌光通信方案示意圖Fig.1 Schematic diagram of dual-channel chaotic optical communication using two parallel reservoir computers based on two polarization components of the optically pumped spin-VCSEL

在該系統(tǒng)中，受到光反饋VCSEL1的輸出混沌通過FPBS1分離成x-PC1和y-PC1，其光強(qiáng)分別定義為cx（t）和cy（t）。解密信號1 和2 分別為mx（t）和my（t）。利用強(qiáng)度調(diào)制器（IM1和IM2），mx（t）和my（t）被分別調(diào)制到連續(xù)激光器（CW1和CW2）輸出的光波。通過FPC1和FPC2，mx（t）和my（t）被分別隱藏在cx（t）和cy（t）中。兩束混合光［mx（t）+cx（t）］和［my（t）+cy（t）］通過FPC3耦合到光纖中。這些從光纖尾部輸出的混合光再一次通過FPBS2分離。來自FPBS2的混合光［mx（t）+cx（t）］通過FBS1分離成兩束光，其中一束光通過PD3轉(zhuǎn)換為電流信號，另一束光注入到輸入層1。來自FPBS2的混合光［my（t）+cy（t）］也被分離成兩束光，其中一束光通過PD4轉(zhuǎn)換成電流信號，另一束光注入到輸入層2。

輸入層提供了與儲備池的輸入連接。兩路混合光首先通過PD5和PD6轉(zhuǎn)換成電流信號，接著被電放大器（EAs，s=1，2）放大，最后通過離散模塊（DMs）采樣而作為輸入數(shù)據(jù)。這兩路采樣數(shù)據(jù)分別定義為ux（n?Lx）和uy（n?Ly）.這里，ux（n?Lx）=mx（n?Lx）+cx（n?Lx），和uy（n?Ly）=my（n?Ly）+cy（n?Ly），n是離散時(shí)間指數(shù)，Lx和Ly是分別針對x-PC1和y-PC1的信道延時(shí)的離散長度。特別地，考慮cx（n?Lx）和cy（n?Ly）為兩個(gè)獨(dú)立預(yù)測目標(biāo)。這些采樣數(shù)據(jù)分別與一個(gè)掩模信號（Mask）相乘。這個(gè)Mask 是一個(gè)通過半導(dǎo)體激光器產(chǎn)生的混沌信號［30，37］。通過比例電路（SCs）（s=1，2）以比例系數(shù)γ進(jìn)行比例運(yùn)算后，產(chǎn)生兩個(gè)輸入層的輸出信號，其分別命名為Sx（t）和Sy（t）。然后，利用PM1和PM2，它們分別被調(diào)制到CW3和CW4光場的相位上。兩個(gè)調(diào)制光場的偏振被調(diào)整后，分別與VCSEL2的x-PC2和y-PC2相匹配，然后注入到VCSEL2。

在儲備池中，受到由雙反饋環(huán)（Loop1和Loop2）提供的雙反饋VCSEL2被用來作為非線性節(jié)點(diǎn)。從VCSEL2輸出的x-PC2和y-PC2的混沌狀態(tài)被用來作為虛擬節(jié)點(diǎn)，以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)并行儲備池。通過反饋環(huán)（Loop1和Loop2），兩個(gè)偏振分量x-PC2和y-PC2反饋回VCSEL2。在反饋環(huán)（Loop1和Loop2）中，光衰減器（VOA1和VOA2）和偏振控制器（PC1和PC2）分別用來控制反饋光束的光強(qiáng)和偏振。沿著延遲線（DL1和DL2）中任意一個(gè)的反饋時(shí)間考慮為τ2。在輸出層，x-PC2和y-PC2通過FPBS3進(jìn)行分離。它們輸出的光強(qiáng)（I2x=|E2x|2和I2y=|E2y|2）以間隔θ進(jìn)行提取后，考慮為虛擬節(jié)點(diǎn)狀態(tài)。于是，沿著每一個(gè)延遲線的虛節(jié)點(diǎn)數(shù)N有N=τ2/θ。沿著DL1和DL2虛節(jié)點(diǎn)狀態(tài)進(jìn)行加權(quán)和線性求和，其值分別為(n)和)。權(quán)重需要使用線性最小二乘法［37］進(jìn)行訓(xùn)練，使得每一個(gè)預(yù)測目標(biāo)與相應(yīng)RC 輸出之間的均方根誤差最小。在這樣一個(gè)系統(tǒng)中，通個(gè)訓(xùn)練輸出權(quán)重(n)和(n)可能分別同步于cx（n-Lx）和cy（n-Ly）。在這兩個(gè)良好的同步條件下，加密信號mx（n－Lx）通過ux（n－Lx）與(n)之間的同步相減而解密，相應(yīng)的解密信號定義為。另外一個(gè)解密信號可通過uy（n-Ly）與c'y(n)之間的同步相減速而獲得。

基于自旋翻轉(zhuǎn)模型（SFM），受到光反饋的VCSEL1的非線性動(dòng)態(tài)可以描述為［38］

假定連續(xù)激光器CW3與CW4有同樣的中心頻率，可以得到受到光反饋和光注的VCSEL2的非線性動(dòng)力學(xué)方程為［38］

式中，Ex和Ey分別是x-PC 和y-PC 的復(fù)慢變振幅。下標(biāo)1x和1y分別表示VCSEL1的x-PC 和y-PC。下標(biāo)2x和2y分別表示VCSEL2的x-PC 和y-PC。在這兩個(gè)激光器中，圓偏振電場分量通過晶體雙折射進(jìn)行耦合，其以速率γp和二色性γa為特征。式（1）～（8）中出現(xiàn)的歸一化載流子變M和n分別表示為M=（n++n?）/2 和n=（n?n?）/2，其中n+和n?分別為上旋和下旋的歸一化電子濃度；k為腔衰減速率；α為線寬增強(qiáng)因子；γ1和γ2為電子濃度衰減速率；γ1s和γ2s為自旋弛豫速率；η是歸一化泵浦率；p為泵浦偏振橢圓率［9］；k1f和k2f為反饋強(qiáng)度；kx和ky分別是x-PC2和y-PC2的注入強(qiáng)度；Ex，inj和Ey，inj分別是來自連續(xù)激光器CW3和CW4的注入光場復(fù)振幅。Δω是VCSEL2與CW3（CW4）之間的中心頻率失諧；ω1和ω2分別是VCSEL1和VCSEL2的中心頻率；βsp是自發(fā)輻射系數(shù)，也可以看作是噪聲強(qiáng)度。ξ1x，ξ2x，ξ1y和ξ2y均為獨(dú)立的高斯白噪聲，其均值為0 和方差為1，其中，<ξi(t)(t')>=2δijδ(t-t')。

注入的復(fù)電場振幅Ex，inj和Ey，inj可以描述為［36］

式中，Id為來自連續(xù)激光器CW3激光器或CW4輸出光強(qiáng)。Sj（t）表示掩模輸入信號，表示為

式中，掩模Mask 是混沌信號［30，37］。γ是比例因子。Lx=τx/h和Ly=τy/h，h為步長，τx和τy分別為x-PC1和y-PC1的信道延遲。

在如圖1 所給出的系統(tǒng)中，每對偏振分量（兩個(gè)x-PC 或者兩個(gè)y-PC）強(qiáng)度之間的混沌同步在安全性和加密信號恢復(fù)中起著關(guān)鍵作用。下面，使用儲備池計(jì)算方法，討論混沌同步問題。根據(jù)滯后混沌同步理論，得到滯后同步解為

其中與時(shí)間相關(guān)的輸出)和(n)考慮為來自x-PC2和y-PC2的輸出光強(qiáng)狀態(tài)的線性函數(shù)，表示為

式中，Wx和Wy都是輸出權(quán)重矩陣；Wx，i和Wy，i分別是Wx和Wy的第i個(gè)元素；I2x，i(n)和I2y，i(n)分別表示兩個(gè)偏振分量（x-PC2和y-PC2）光強(qiáng)的第i個(gè)輸出狀態(tài)；bout是一個(gè)常數(shù)且等于1。Wx和Wy可以通過線性嶺回歸方法計(jì)算，其表達(dá)式見文獻(xiàn)［32］。在完全的延遲同步下［見式（11）］，可以得到

2 結(jié)果與討論

在本文計(jì)算中，VCSEL1和VCSEL2的參數(shù)值見表1。VCSEL1和VCSEL2的中心波長均為1 550 nm。加密信息mx（n）和my（n）都是正交幅度調(diào)制信號（16QAM）。ux（n-Lx）和uy（n-Ly）的采樣頻率為1/T0。式（1）～（8）通過四階龍格-庫塔方法進(jìn)行數(shù)值解，其步長為0.1 ps。在這個(gè)系統(tǒng)中，16QAM 信號的速率和儲備池?cái)?shù)據(jù)處理速率依賴于VCSEL1和VCSEL2有效帶寬。圖2（a）和2（b）分別描述了VCSEL1輸出的x-PC1和y-PC1的功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）分布。這里，PSDx是x-PC1的PSD；PSDy是y-PC1的PSD。從圖2 中可以看出，x-PC1和y-PC1的有效3 dB 帶寬分別為160 GHz 和140 GHz。同樣，獲得x-PC2和y-PC2的有效帶寬分別約為160 GHz 和140 GHz，這表明在該系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)高速混沌光通信。

表1 文中用于計(jì)算的參數(shù)值Table 1 The parameter values used for calculation

圖2 VCSEL1輸出的x-PC1和y-PC1的功率譜密度分布Fig.2 PSD distributions of the x-PC1 and y-PC1 from the VCSEL1 output

這里，x-PC2和y-PC2用來分別執(zhí)行混沌x-PC1和y-PC1的預(yù)測。延遲輸出x-PC1和y-PC1中的11 000個(gè)采樣數(shù)據(jù)，作為兩個(gè)輸入數(shù)據(jù)，采樣10 ps 間隔進(jìn)行記錄。為了消除暫態(tài)，首先丟棄最前面的1 000 個(gè)采樣數(shù)據(jù)，然后使用后面的5 000 個(gè)采樣數(shù)據(jù)對儲備池進(jìn)行訓(xùn)練，最后使用余下5 000 個(gè)采樣數(shù)據(jù)對儲備池進(jìn)行預(yù)測。此外，兩個(gè)掩模信號都是由SL 產(chǎn)生的混沌信號，其見文獻(xiàn)［30，37］。調(diào)整這些掩模信號的振幅，使其標(biāo)準(zhǔn)差為1，平均值為0。每個(gè)儲備池的虛擬節(jié)點(diǎn)的間隔用θ表示，并設(shè)置為1 ps。輸入數(shù)據(jù)的采樣周期T0設(shè)置為200 ps，因此16 QAM 速率為5 Gb/s。虛擬節(jié)點(diǎn)數(shù)N為200。這里，N=τ2/θ和τ2=T0。比例因子γ設(shè)置為1。針對這兩個(gè)預(yù)測任務(wù)，計(jì)算目標(biāo)值cx（n-Lx）和儲備池輸出)之間的歸一化均平方誤差（Normalized Mean Squared Error，NMSE），以測量基于x-PC2儲備池的性能，此外，cy（n-Ly）和(n)之間的NMSE 被進(jìn)一步計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果是為了測量基于x-PC2的儲備池的性能。其描述為

式中，下標(biāo)x和y分別代表x-PC 和y-PC，L是測試數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)總數(shù)，var 表示方差；NMSEx或NMSEy表示目標(biāo)值與其相應(yīng)的儲備池輸出偏離程度。當(dāng)NMSEx、NMSEy=0 時(shí)，(n)和c'y(n)分別與cx（n-Lx）和cy（n-Ly）完全匹配。假如NMSEx、NMSEy=1，(n)和c'y(n)分別與cx（n-Lx）和cy（n-Ly）完全失配。此外，當(dāng)NMSEx和NMSEy均小于0.1 時(shí)，兩個(gè)儲備池對兩個(gè)目標(biāo)能良好的預(yù)測。

為了直觀地觀察基于VCSEL2的儲備池系統(tǒng)對x-PC1和y-PC1混沌動(dòng)力學(xué)的預(yù)測能力，圖3 給出了N=200 的預(yù)測結(jié)果。這里，T=200 ps，θ=1 ps；γ=1；τx=15 ns；τy=15 ns；η=10；k1f=3.5 ns-1；k2f=10 ns-1；kx，ky=12 ns-1。cx（n-Lx）和cy（n-Ly）是兩個(gè)預(yù)測目標(biāo)。(n)，c'y(n)分別是基于x-PC2的儲備池和基于y-PC2的儲備池的輸出。從圖中可以看出，cx（n-Lx）與(n)、以及cy（n-Ly）與c'y(n)的曲線基本一致。在T0=200 ps 和θ=1 ps 的條件下，對cx（n-Lx）預(yù)測的NMSEx為0.047，對cy（n-Ly）預(yù)測的NMSEy為0.044（見圖3（a））。這些意味著，這兩個(gè)儲備池可以分別準(zhǔn)確地預(yù)測x-PC1和y-PC1的混沌動(dòng)力學(xué)。

圖3 混沌序列預(yù)測軌跡Fig.3 Trajectory of chaotic sequence prediction

為了進(jìn)一步觀察兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)（T0和θ）對這兩個(gè)儲備池預(yù)測能力的影響，當(dāng)θ=1 ps 時(shí)，圖4 是兩個(gè)訓(xùn)練誤差（NMSEx和NMSEy）與采樣周期T0的依賴關(guān)系。這里，除T0外的參數(shù)與圖3 中的參數(shù)相同。從圖4 中可以看出，當(dāng)T0介于100 ps 到500 ps 之間時(shí)，NMSEx小于0.058 2，和NMSEy小于0.054 3。然而，這兩個(gè)訓(xùn)練誤差隨著T0的增加而振蕩減小。較長的采樣周期T0導(dǎo)致訓(xùn)練誤差振蕩減小的原因可以解釋為：在本文中，θ=T0/N固定在1 ps，較小的N伴隨著較小的T0。這意味著狀態(tài)空間有更低的維數(shù)，使得系統(tǒng)的訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)更加困難，從而導(dǎo)致更大的NMSE。

圖4 NMSEx，NMSEy與采樣周期T0的依賴關(guān)系Fig.4 Dependence of NMSEx and NMSEy on the sampling period T0

此外，NMSEx和NMSEy隨虛擬節(jié)點(diǎn)間距θ的依賴關(guān)系如圖5 所示，其中，除θ外的參數(shù)與圖3 中相同。

圖5 NMSEx，NMSEy與虛擬節(jié)點(diǎn)間距θ 的依賴關(guān)系Fig.5 Dependence of NMSEx and NMSEy on the virtual node interval θ

從圖5 中可以看出：當(dāng)θ從0.1 ps 增加到1 ps 時(shí)，NMSEx和NMSEy分別快速地增加到0.055 和0.051；當(dāng)θ從1 ps 進(jìn)一步增加到5 ps，NMSEx和NMSEy分別逐漸穩(wěn)定在0.059 和0.052 6。這可以解釋為：在圖1 所示的兩個(gè)超短反饋環(huán)中，當(dāng)T0=Nθ固定在200 ps 時(shí)，較大的θ伴隨著較小的N，說明此時(shí)具有較低的空間維數(shù)。在這種情況下，訓(xùn)練的儲備池對目標(biāo)信號的預(yù)測變得不穩(wěn)定和更加困難。此外，一個(gè)大的θ可以導(dǎo)致兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)之間不足夠耦合。結(jié)果，上述兩個(gè)因素的聯(lián)合作用可能會(huì)導(dǎo)致相對較差的性能。從圖5 可以看出，基于x-PC2的儲備池和基于y-PC2的儲備池可以分別復(fù)制x-PC1和y-PC1的延遲混沌動(dòng)力學(xué)行為。為了進(jìn)一步觀察基于VCSEL 的儲備池方法所獲得混沌同步質(zhì)量，相關(guān)系數(shù)被引進(jìn)并且表示為

當(dāng)T=200 ps，θ=1 ps，N=200，τx=15 ns，τy=15 ns 時(shí)，圖6 給出了相關(guān)系數(shù)（ρx和ρy）在兩個(gè)不同的參數(shù)空間中的演化。圖6（a）是在η和γ參數(shù)空間中的相關(guān)系數(shù)演化，其中，Δω=-80×109rad/s，k2f=10 ns-1，kx=ky=12 ns-1。從 圖6（a）可以看出，當(dāng)η介 于1 到5 之 間，γ介 于0.1 到2之間時(shí)，ρx和ρy分別大于0.943 和0.965。圖6（b）是在?ω和γ參數(shù)空間中相關(guān)系數(shù)演化，其中，η=10，k2f=10 ns-1，kx=ky=12 ns-1。從圖6（b）可以看出，當(dāng)?ω變化范圍介于-80×109rad/s 到80×109rad/s 間時(shí)，γ變化范圍介于0.1 到2 時(shí)，ρx和ρy分別大于0.943 和0.971。圖6（c）是在k2f和η參數(shù)空間中相關(guān)系數(shù)演化，這里，γ=1，Δω=-80×109rad/s，kx=ky=12 ns-1。從圖6（c）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k2f從1 ns-1增加到20 ns-1時(shí)，以及η從1 增加到15 時(shí)，ρx和ρy分別大于0.89 和0.92。此外，在k2f和η的非常大空間中，ρx和ρy均大于0.96。圖6（d）是在k2f和kx（ky）參數(shù)空間中相關(guān)系數(shù)演化，γ=1，Δω=?80×109rad/s，η=10。從圖6（d）可以看出，在1 ns-1到20 ns-1的范圍內(nèi)，kx（ky）在0.1 ns-1和20 ns-1的范圍內(nèi)，ρx和ρy分別超過0.935 和0.964。圖6（e）是在η和Δω參數(shù)空間中相關(guān)系數(shù)演化，其中k2f=10 ns-1，kx=ky=12 ns-1，γ=1。從 圖6（e）可以看出，ρx和ρy分別超過0.926 和0.965。這些結(jié)果表明，即 使VCSEL1和VCSEL2中的一些關(guān)鍵參數(shù)存在不匹配，基于x-PC2的儲備池和基于y-PC2的儲備池也可以分別與延遲的x-PC1和y-PC1能很好地同步。這里，當(dāng)系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化后，如T0=200 ps，θ=1 ps，γ=1，τx=15 ns，τy=15 ns，η=10，k1f=3.5 ns-1，k2f=10 ns-1，kx（ky）=12 ns-1，ρx和ρy分別為0.96 和0.97。

圖6 不同參數(shù)空間中相關(guān)系數(shù)（ρx，ρy）的演化Fig.6 Maps of the evolutions of the correlation coefficients（ρx，ρy）in different parameter spaces

為了觀察在帶有不同速率16QAM 情況下，不同參數(shù)變化對相關(guān)系數(shù)ρx和ρy的影響，圖7 給出了相關(guān)的結(jié)果。圖7（a）描述了ρx和ρy與?ω的依賴關(guān)系，可以看出，當(dāng)?ω從ρx和ρy從?80×109rad/s 增大到80×109rad/s 時(shí)，在16QAM 速率為5 Gb/s 情況下，ρx和ρy分別在0.978 和0.986 以及0.976 和0.989 之間振蕩變化。當(dāng)16QAM 速率增至10 Gb/s 時(shí)，ρx和ρy分別在0.956 和0.977 以及0.957 和0.978 之間振蕩變化。圖7（b）給出了ρx，ρy與kx（ky）的依賴關(guān)系，可以看出，當(dāng)kx（ky）從0.1 ns-1增大到20 ns-1時(shí)，對于速率為5 Gb/s 的16QAM，ρx和ρy分別在0.965 和0.982 以及0.981 和0.989 之間振蕩變化。而對于速率為10 Gb/s 的16QAM，ρx和ρy分別在0.938 和0.962 以及0.964 和0.978 之間振蕩變化。圖7（c）描述了ρx，ρy與k2f依賴關(guān)系，可以看出，當(dāng)k2f在1ns-1和20 ns-1之間變化時(shí)，在16QAM速率為5 Gb/s 情況下，ρx和ρy分別在0.968 和0.986 以 及0.977 和0.991 之間振蕩變化。在16QAM 速率為10 Gb/s 條件下，ρx和ρy分別在0.949 和0.978 以 及0.947 和0.98 之間振蕩變化。圖7（d）給出了ρx，ρy與η依賴關(guān)系，可以看出，當(dāng)η在1 和15 之間變化時(shí)，對于速率為5 Gb/s 的16QAM，ρx和ρy分別在0.964 和0.981 以及0.976 和0.988 之間振蕩變化。對于速率為10 Gb/s 的16QAM，ρx和ρy分別在0.942 和0.965 以及0.955 和0.974 之間振蕩變化。這些結(jié)果表明，隨著16QAM 信號速率的增加，基于x-PC2的儲備池與延遲的x-PC1之間的同步質(zhì)量以及基于y-PC2的儲備池與y-PC2之間的同步質(zhì)量開始略微降低。這是因?yàn)?6QAM 信號速率取決于采樣周期T0，隨著其速率增大，T隨之減小。根據(jù)T0=Nθ，在保證虛擬節(jié)點(diǎn)間隔θ不變情況下，T0的減小會(huì)導(dǎo)致虛擬節(jié)點(diǎn)數(shù)量N減小。此時(shí)，這兩個(gè)儲備池具有較低的空間維數(shù)。在這種情況下，這兩個(gè)儲備池對目標(biāo)信號的預(yù)測變得略為困難。

圖7 相關(guān)系數(shù)ρx和ρy與不同參數(shù)的依賴關(guān)系Fig.7 Dependences of ρx and ρy on different parameters

這里，為了獲得系統(tǒng)高的混沌同步質(zhì)量（ρx=0.96 和ρy=0.97），一些關(guān)鍵參數(shù)取值如下：T0=200 ps，θ=1 ps，γ=1，τx=15 ns，τy=15 ns，η=10，k1f=3.5 ns-1，k2f=10 ns-1，kx（ky）=12 ns-1，ρx和ρy分別取0.96 和0.97。在每對PC 之間的高質(zhì)量混沌同步通過使用兩個(gè)訓(xùn)練儲備池實(shí)現(xiàn)后，每一路16QAM 通過儲備池產(chǎn)生的混沌與混沌掩模信息相減而解調(diào)。圖8 給出了系統(tǒng)中編碼信號、混合信號、解碼信號的時(shí)間軌跡和星座圖。這里，圖8（a）是延遲加密信號mx（n?Lx），混合信號ux（n?Lx）和解密信息(n)的星座圖，圖8（b）是他們的時(shí)間軌跡；圖8（c）分別給出了my（n?Ly），uy（n?Ly）和(n)的星座圖，圖8（d）是他們的時(shí)間軌跡。從圖8 第二列可以看出，它們的星座軌跡和時(shí)間軌跡是完全混沌的。與延遲加密16 QAM 相比，如圖8 第三列所示，解密信號［(n)和(n)］質(zhì)量只有輕微地變差。此外，圖9 給出了延遲加密信息和它們的相應(yīng)的解密信號的眼圖。這里，圖9（a）-（b）分別給出了mx(n-Lx)及其解密信號(n)的眼圖，圖9（c）、（d）是my(n-Ly)是及其解密信號)的眼圖。從圖9 可以發(fā)現(xiàn)，延遲加密信號［mx（n?Lx）］眼圖中的“眼睛”張開度與解密信號的“眼睛”張開度幾乎一致。my（n?Lx）眼圖中的“眼睛”張開度與解密信號的“眼睛”張開度略有不同。其原因是：非常小的同步誤差可能被轉(zhuǎn)換成噪聲，這導(dǎo)致了信噪比輕微的惡化。

圖8 系統(tǒng)中編碼信號、混合信號、解碼信號的時(shí)間軌跡和星座圖Fig.8 Temporal traces and constellations of the encoded，chaos-masked，decoded 16 QAM messages in the system

圖9 延遲加密信號及其對應(yīng)的解密信號的眼圖Fig.9 Eye-diagrams of the delayed encoding messages and their corresponding decoded messages

圖10（a）～10（d）給出了在不同參數(shù)（例如，kx（ky），k2f，η和γ）條件下的誤比特率（Bit Error Rate，BER）表現(xiàn)。本實(shí)驗(yàn)預(yù)測序列包含5 000 個(gè)16QAM 信號，對應(yīng)20 000 個(gè)比特，誤比特率定義為錯(cuò)誤比特?cái)?shù)傳輸總比特?cái)?shù)的比值。如圖10（a）～（d）所示，隨著kx或ky從1 ns-1增加到20 ns-1，k2f從1 ns-1增加到20 ns-1，η從1 增加到15，γ從1 增加到15，和 的BER 始終為0，這意味著解密信號能有效地解調(diào)。

圖10 解密信號(n)和m'y(n)的誤比特率（BER）對不同參數(shù)的依賴關(guān)系Fig.10 Dependences of the BERs of the decoded messages m'x(n)and m'y(n)on different parameters

討論竊聽者是否有可能攻擊基于儲備池計(jì)算機(jī)的光混沌通信系統(tǒng)。首先，從VCSEL1輸出的混沌波形取決于其參數(shù)和初始值。這些參數(shù)的微小變化可能會(huì)導(dǎo)致完全不同的混沌波形。在不同的混沌波形訓(xùn)練下，基于VCSEL2的儲備池會(huì)產(chǎn)生不同的輸出。因此，帶有與表1 所示的保密參數(shù)相失配參數(shù)的VCSEL1輸出動(dòng)態(tài)不可能與基于VCSEL2的儲備池輸出的非線性行為相似，其中，這個(gè)儲備池通過VCSEL1發(fā)射的混沌波形進(jìn)行訓(xùn)練。這表明，通過重建VCSEL1的參數(shù)，幾乎不可能破譯加密信息。在圖11 中，證明了攻擊者不能使用與VCSEL1保密參數(shù)不匹配的第一組參數(shù)組合來破譯加密信息。圖11 給出了在帶有不同參數(shù)組合的VCSEL1中，通過經(jīng)由不同混沌掩模信號訓(xùn)練的兩個(gè)并行儲備池而獲得的混沌同步和眼圖。這里，針對圖11（a），第一組參數(shù)的組合為：k=250 ns-1；τ1=2 ns-1；a=3；η=4；γ1p=16 ns-1；P=1；γ1a=1 ns-1；k1f=10 ns-1；γ1=1 ns-1；w1=2e14；γ1s=80 ns-1；針對圖11（b），第二組參數(shù)組合為：k=200 ns-1；τ1=1ns；a=2；η=7；γ1p=10 ns-1；P=1；γ1a=0.4 ns-1；k1f=6 ns-1；γ1=1 ns-1；w1=2e14；γ1s=50 ns-1。圖11（a）表明，每個(gè)經(jīng)過訓(xùn)練的訓(xùn)練儲備池預(yù)測的混沌時(shí)間序列與VCSEL1輸出的偏振混沌時(shí)間序列完全不匹配，兩個(gè)解密信息眼圖中的“眼睛”完全關(guān)閉，這說明，信噪比被極大地提高，攻擊者對解密信號無法正確地解密。在另一組不匹配的組合參數(shù)下，圖11（b）證明了與上述相似的結(jié)果。此外，除了所提出的基于VCSEL2的儲層的參數(shù)外，作為傳統(tǒng)的硬件混沌接收器，如果要正確解密信息，信道延遲不得不知道，這提供了額外的密鑰空間［32］。因此，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)被認(rèn)為是安全的，能有效防止儲備池受到攻擊。最后，考慮是否有可能使用容易檢測到的混沌掩模信號來訓(xùn)練儲備池。圖12 進(jìn)一步給出了通過由混沌掩模信號訓(xùn)練的兩個(gè)并行的儲備池而獲得的混沌和眼圖。從這個(gè)圖可以證明，使用混沌掩模信號訓(xùn)練的基于VCSEL2的儲備池不能用來解調(diào)加密信號。圖12（a）給出了cx(n-Lx)和(n)之間的同步關(guān)系，圖12（b）給出了cy(n-Ly)和c'y(n)。從圖12（a）和12（b）可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)儲備池預(yù)測混沌時(shí)間序列可能與VCSEL1輸出偏振分量的混沌時(shí)間序列不同步和不匹配。另外，圖12（c）是通過基于x-PC2的儲備池而獲得的解密信號m'x的眼圖，圖12（d）是通過基于y-PC2的儲備池而獲得解密信號m'y的眼圖。從圖12（c）和12（d）可以看出，兩個(gè)解密信息［(n)和c'y(n)］眼圖中的“眼睛”完全關(guān)閉，表明攻擊者無法正確地解密信息。其原因是：檢測到的混沌掩模信號不能正確地訓(xùn)練儲備池，導(dǎo)致儲備池不能復(fù)制VCSEL1輸出兩個(gè)偏振分量的混沌動(dòng)態(tài)。因此，如果攻擊者沒擁有發(fā)射VCSEL1的物理參數(shù)，攻擊者通過信道中的混沌掩模信號不可能攻擊該系統(tǒng)。

圖11 在帶有不同參數(shù)組合的VCSEL1中，通過不同混沌掩模信號訓(xùn)練的兩個(gè)并行儲備池而獲得的混沌同步和眼圖Fig.11 Chaos synchronizations and eye-diagrams using two parallel reservoirs trained by different chaos-masked messages in the VCSEL1 with different parameter-combinations

圖12 通過由混沌掩模信號訓(xùn)練的兩個(gè)并行的儲備池而獲得的混沌同步和眼圖Fig.12 Chaos synchronizations and eye-diagrams using two parallel reservoirs trained by the chaos -masked messages

3 結(jié)論

本文提出了使用兩個(gè)并行光學(xué)儲備池計(jì)算機(jī)分別學(xué)習(xí)一個(gè)光泵浦Spin-VCSEL（發(fā)射激光器）的x-PC和y-PC 的復(fù)雜混沌動(dòng)態(tài)。這里，另一個(gè)光泵浦自旋VCSEL 輸出的x-PC 和y-PC 的非線性動(dòng)態(tài)實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)儲備池計(jì)算機(jī)。通過訓(xùn)練基于VCSEL 的儲備池，可以獲得發(fā)射PC 與其相應(yīng)的儲備池之間的高質(zhì)量混沌同步。此外，討論了兩種不同速率16QAM 下，不同參數(shù)變化對每一對PC 的混沌同步質(zhì)量的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨著16QAM 的速率增加，每一對PC 的混沌同步質(zhì)量略微減小。在這種高質(zhì)量同步條件下，論述了速率為2×5Gb/s 的16QAM 信息的雙信道保密通信。最后，研究了在不同參數(shù)下的兩種解密信息的誤比特率表現(xiàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，不同參數(shù)誘導(dǎo)的誤碼率均為0。由基于VCSEL 的儲備池實(shí)現(xiàn)的每一對PC 之間的混沌同步與傳統(tǒng)的同步方案具有相同的安全水平。因此，利用基于延遲的儲備池計(jì)算方法提出的混沌同步可以為光混沌同步保密通信應(yīng)用提供參考。