周愛琴

平面向量問題的命題方式較多，常見的有根據(jù)已 知條件求向量的大小、求向量的數(shù)量積、求兩個(gè)向量 的夾角的大小、求向量的模長等.其中，求向量的模長 問題的難度不大，常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).此類 問題側(cè)重于考查平面向量的模長公式、運(yùn)算法則及幾 何意義.本文重點(diǎn)談一談求解平面向量的模長問題的 方法.

一、代數(shù)法

1.平方

由 a 2 = |a|?|a|cos 0 = |a| 2 可得：|a| 2 = a 2 = a?a ，則平 面向量的模長為：|a| = a?a ，該式為平面向量的模長 公式.在求解平面向量的模長問題時(shí)，可根據(jù)題意和向 量的模長公式，將向量平方，把模長問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量 積問題，這樣便于建立所求向量的模長與已知向量、 夾角之間的聯(lián)系.建立關(guān)系式后，靈活運(yùn)用平面向量中 的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，數(shù)量積公式、模長公式， 即可順利解題.

例1

解：

題目中所給條件與向量的模、數(shù)量積相關(guān)，其中 涉及的幾何關(guān)系較少，所以將 | | | | a+ b - c 平方，把問題 轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，通過平面向量運(yùn)算，根據(jù)向量夾 角的取值范圍（0，180°）求得向量的模的最值.將向量 平方并計(jì)算出結(jié)果后，一定要記得將其開方.

2.坐標(biāo)法

a= （x，y） ，則由平面向量的模長公式：|a| = a?a 可得 |a| = x 2 + y2 .在求解平面向量的模長問題 時(shí)，可根據(jù)題目中涉及的圖形的特性，尋找垂直的兩 條直線，將其視為平面直角坐標(biāo)系的兩條坐標(biāo)軸，據(jù) 此建立平面直角坐標(biāo)系，分別求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及 所求向量的方向向量，即可根據(jù)平面向量的模長公式 和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則解題.若題目中沒有直接 給出相應(yīng)的圖形，則需根據(jù)平面向量的幾何意義構(gòu)造 幾何圖形，再建立平面直角坐標(biāo)系，通過平面向量的 坐標(biāo)運(yùn)算解題.

例2

解：

我們結(jié)合題目中的垂直關(guān)系： AB ⊥AC ，建立平 面直角坐標(biāo)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題.通過 坐標(biāo)運(yùn)算，利用柯西不等式即可求得 | |AM 模長的范圍.對于與平面向量的模長有關(guān)的最值問題或范圍問 題，通?？煽紤]建立平面直角坐標(biāo)系，得到向量的模 長與變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為求 函數(shù)最值問題來求解.

二、幾何法

運(yùn)用幾何法解答平面向量問題，需先根據(jù)平面向 量的幾何意義：三角形法則和平行四邊形法作出相應(yīng) 的圖形，將向量的模長看作平面幾何圖形的一條邊長 或弦長，然后根據(jù)等腰三角形、等邊三角形、圓、平行 四邊形等幾何圖形的性質(zhì)，利用正弦定理： a sin A = b sin B = c sin C ，余弦定理：a2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，勾股 定理：a2 = b 2 + c 2 ，求得幾何圖形的邊長或者弦長.

例3

解：

若從代數(shù)角度討論向量 a- c，b - c 的夾角為 60° 的情形，運(yùn)算量較大，所以從幾何角度入手，根據(jù)題意 構(gòu)造圖形，并將 | c| 看作 | |AC ，然后利用弦定理、余弦 定理以及圓的性質(zhì)：直徑是圓內(nèi)最長的弦，求得 | |AC 的最大值.

可見，求解平面向量的模長問題可從代數(shù)和幾何 兩個(gè)方面入手，尋找不同的解題思路.但無論是運(yùn)用代 數(shù)法還是幾何法解題，都需靈活運(yùn)用向量的模長公 式，平面向量的運(yùn)算法則、定理、幾何意義.

（作者單位：甘肅省天水市田家炳中學(xué)）