徐應(yīng)建

圓錐曲線問題的考查方式很多，如求圓錐曲線的 方程，求圓錐曲線上的點到直線的最小距離，求某個 動點的軌跡方程，求某個目標(biāo)式的取值范圍等.其中， 圓錐曲線中的取值范圍問題較為復(fù)雜，且具有較強(qiáng)的 綜合性，在解答時，通常需利用圓錐曲線的方程、幾何 性質(zhì)，并結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)、直線與圓錐曲線 的位置關(guān)系、方程的判別式、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等 式等.下面，結(jié)合實例來談一談求解圓錐曲線中取值范 圍問題的三種個“妙招”.

一、巧用判別式求解

圓錐曲線均為二次曲線，其方程也均為二次方程. 在求解圓錐曲線中的取值范圍問題時，可通過聯(lián)立方 程組、消元、換元、設(shè)元等方式，構(gòu)造一元二次方程；再 根據(jù)直線與圓錐曲線的交點的個數(shù)，明確方程的解的 個數(shù)，建立有關(guān)判別式的不等式；最后解關(guān)于參數(shù)的 不等式，即可求得問題的答案.

例1

解：

要求參數(shù)m的取值范圍，需先求出點A、B的坐標(biāo) 以及直線 l 的方程；然后將直線與橢圓的方程聯(lián)立，通 過消元，構(gòu)造一元二次方程；再根據(jù)直線與橢圓有兩 個交點，建立有關(guān)判別式的不等關(guān)系式 Δ > 0 ，即可得 到有關(guān)參數(shù) m 的不等式.

二、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解

有些圓錐曲線中的取值范圍問題較為復(fù)雜，在求 得目標(biāo)式后，仍無法求得其取值范圍，此時，可將目標(biāo) 式看作關(guān)于某個變量的函數(shù)式，對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖?形，將其轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、二次函數(shù)、對勾函數(shù)，以利 用一次函數(shù)、二次函數(shù)、對勾函數(shù)的單調(diào)性來求得函 數(shù)的最值，進(jìn)而求得目標(biāo)式的取值范圍.

例2

解：

根據(jù)韋達(dá)定理和三角形的面積公式求得△ BOM 面積的表達(dá)式，可發(fā)現(xiàn)該式可變形為對勾函數(shù)的形 式，于是利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，進(jìn) 而求得△ BOM 面積的取值范圍.

例3

解：

根據(jù)已知條件，求得關(guān)于t的關(guān)系式后，構(gòu)造出關(guān) 于 x0 的函數(shù)，便可將取值范圍問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)的 最值問題，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性解題.

三、利用基本不等式求解

若 a、b > 0 ，則 a + b ≥ 2 ab ，該式稱為基本不等 式.運用基本不等式求解圓錐曲線中的取值范圍問題， 通常需在求得目標(biāo)式后，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，將其進(jìn)行 適當(dāng)?shù)淖冃?，如湊系?shù)、添項、去項等，以配湊出兩式 的和或積，并使其中之一為定值，這樣便可運用基本不 等式求得目標(biāo)式的最值或取值范圍.值的注意的是，在 求得最值后，還需驗證等號成立的情況是否滿足題意.

例4

解：

解答本題，需先通過向量運算，根據(jù)三角形的面 積公式求得 △ABO 與 △AFO 面積的表達(dá)式；再通過 化簡變形，將該式化為兩式之和，其積為定值的形式， 便可運用基本不等式，順利求得 △ABO 與 △AFO 面 積之和的取值范圍.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，求解圓錐曲線中的取值 范圍問題，需根據(jù)已知條件和所求的目標(biāo)式或關(guān)系式 的特點來構(gòu)造一元二次方程、函數(shù)、不等式，將問題轉(zhuǎn) 化為一元二次方程、函數(shù)、不等式問題，以利用判別 式、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式來求目標(biāo)式的取值范 圍.

（作者單位：安徽省桐城市江淮工業(yè)學(xué)校）