梁亮亮

在做立體幾何練習(xí)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到空間幾 何體的表面積和體積問題.這類問題的常見命題形式 是：（1）根據(jù)已知的邊角關(guān)系、三視圖，求空間幾何體的 表面積、體積及其最值；（2）根據(jù)空間幾何體的表面 積、體積，求幾何體的某一條邊長(zhǎng)或某一個(gè)角的大小. 下面結(jié)合實(shí)例，談一談空間幾何體表面積與體積問題 的幾種解法.

一、公式法

公式法是運(yùn)用柱體（棱柱和圓柱）、椎體（棱錐和圓 錐）、臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）、球體的表面積和體積公式解 題的方法.要求我們熟記柱體的表面積公式S表面積=S側(cè)+2S底、 體積公式 V=Sh，椎體的表面積公式 S 表面積=S 側(cè)+S 底、體 積公式V = 1 3 Sh ，臺(tái)體的表面積公式S 表面積=S 側(cè)+S 上+S 下、 體積公式 V = 1 3 （S上 + S下 + S上S下 ）h ，球的表面積公式 S=4πR2 、體積公式 V = 4 3πR3 .根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征 和邊角關(guān)系，利用勾股定理、正余弦定理、三角形的面 積公式、矩形的面積公式等，求得棱柱、圓柱、棱錐、圓 錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)的母線和高以及球的半徑，即可運(yùn)用公 式法求得空間幾何體的表面積和體積.

例1

解：

公式法的應(yīng)用范圍較廣，大部分空間幾何體的表 面積與體積問題都可采用公式法求解.

二、割補(bǔ)法

對(duì)于規(guī)則的棱柱、圓柱、棱錐、圓錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)、 球體等，可直接運(yùn)用其表面積公式和體積公式求解； 對(duì)于不規(guī)則的空間幾何體，需將其分割、補(bǔ)形為幾個(gè) 規(guī)則的棱柱、圓柱、棱錐、圓錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)、球體，分別 求得其表面積和體積，再根據(jù)空間幾何圖形的特點(diǎn)， 做加法或減法，即可求得原幾何體的表面積和體積.

例2

解：

為了便于解題，需采用割補(bǔ)法，將三棱錐補(bǔ)形為 立方體，根據(jù)立方體的對(duì)角線為其外接球的直徑，來 建立關(guān)系式，這樣就容易求出三棱錐 P - DCE 的外接 球的半徑.通過補(bǔ)形，可將不規(guī)則、陌生的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)?規(guī)則的、熟悉的圖形.

三、特殊位置法

特殊位置法是指根據(jù)題意和圖形，找到一些特殊 的位置，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.對(duì)于較為復(fù)雜的選擇、 填空題，或難以求得幾何體的表面積、體積問題，可采 用特殊位置法，將一些不確定、移動(dòng)的點(diǎn)放置在圖形 中的特殊位置上，如中點(diǎn)、端點(diǎn)、垂點(diǎn)、中心、邊緣處的 點(diǎn)等，通過討論點(diǎn)在特殊位置的幾何體的表面積和體 積，求得問題的答案.

例3

解：

為了便于計(jì)算，我們將三棱柱 ABC - A1B1C1 看作 直棱柱，將 P、Q 看作對(duì)應(yīng)側(cè)棱的中點(diǎn)，這樣便能快速 求得四棱錐 B - APQC 的體積.

可見，空間幾何體的表面積與體積問題的難度一般不大，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，只要熟練運(yùn)用簡(jiǎn)單空間幾 何體的表面積、體積公式，學(xué)會(huì)將不規(guī)則的幾何體進(jìn) 行割補(bǔ)、作特殊化處理，便能靈活運(yùn)用公式法、割補(bǔ) 法、特殊位置法等求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城市響水中學(xué)）