江岸, 朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引言

框架是Hilbert空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基的推廣. 其與標(biāo)準(zhǔn)正交基的區(qū)別在于, 對(duì)于一個(gè)具體向量, 用框架表示出該向量的方式可能有無(wú)窮多種. 在信號(hào)傳輸中, 經(jīng)常會(huì)有傳輸信號(hào)遭到丟失, 而重新傳輸會(huì)帶來(lái)過(guò)大延遲而不可接受. 為此, 需要設(shè)計(jì)一個(gè)專業(yè)編碼方式, 以使得接收端能從不完整的傳輸結(jié)果部分或完全恢復(fù)原始信號(hào). 因此, 研究者尋求將信號(hào)建模成向量, 并通過(guò)框架編碼、傳輸、解碼這種做法, 以令信號(hào)具備相對(duì)于丟失的恢復(fù)能力[1]. 近年來(lái)研究者從編碼學(xué)的角度研究框架性質(zhì)[2-4], 以求找到編碼、傳輸以及解碼領(lǐng)域上的最佳框架. 與一般框架相比, 緊框架由于在框架重構(gòu)時(shí)容易計(jì)算框架算子的逆算子, 在許多實(shí)際問(wèn)題, 諸如信號(hào)處理中有非常重要的應(yīng)用, 因此越來(lái)越多的人重視對(duì)緊框架的研究.

Parseval框架是一種特殊的緊框架, 其框架算子為恒等算子.N維Hilbert空間HN的各種Parseval框架中, 有一類被稱為幾何等?？蚣艿目蚣芸梢酝ㄟ^(guò)將構(gòu)成循環(huán)交換群的算子迭代作用到單個(gè)向量生成[5], 這些框架可按酉等價(jià)性分類, 每類可選一個(gè)調(diào)和框架作為代表元. 調(diào)和框架由于其特殊性質(zhì)被廣泛研究[4]. 有限維空間中的框架或者緊框架的具體構(gòu)造是框架理論在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié), 因此有限維空間中的框架或者緊框架的具體構(gòu)造是一個(gè)研究的熱點(diǎn). 文獻(xiàn)[4] 中提出了四種緊框架構(gòu)造方法, 其中有些相當(dāng)復(fù)雜. 文獻(xiàn)[6]從一個(gè)序列延拓成緊框架, 文獻(xiàn)[6-9]利用 Tetris 譜塊來(lái)構(gòu)造框架或者緊框架. 文獻(xiàn)[10]提出了用Hadamard矩陣構(gòu)造緊框架的方法, 而文獻(xiàn)[11]提出了用奇異值分解構(gòu)造酉矩陣的方法等.

1 預(yù)備知識(shí)

下面將介紹有限維的框架、調(diào)和框架與一般調(diào)和框架的相關(guān)基本概念, 并引入準(zhǔn)調(diào)和序列及準(zhǔn)調(diào)和框架.由于一般的N維復(fù)Hilbert空間HN等距同構(gòu)于CN[13], 討論集中于空間CN.

定義4[14]稱算子U∈B(CN)為酉算子, 若U*=U-1在CN中可以定義調(diào)和框架, 及其推廣一般調(diào)和框架.

可以看到, 調(diào)和框架、 一般調(diào)和框架和一般準(zhǔn)調(diào)和序列在通過(guò)生成的方式上具有十分類似的形式, 這使得繼續(xù)推廣得到以下的正規(guī)迭代式序列的概念.

則其分析算子T在自然標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為

合成算子T*在自然標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示

框架算子S在自然標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為

2 主要結(jié)論及其證明

2.1 正規(guī)迭代式框架的構(gòu)造方式

按照前述引言中的內(nèi)容, 已得每個(gè)一般準(zhǔn)調(diào)和序列都是正規(guī)迭代式序列.下面將利用Vandermonde行列式, 得到正規(guī)迭代式框架的生成矩陣刻畫(huà).

為了得到主要結(jié)果, 先給出幾個(gè)引理：

引理3[15]設(shè)A為CN中的N階矩陣, 以下條件等價(jià):

Ⅰ)A是正規(guī)的, 即A*A=AA*;

Ⅱ)A可酉對(duì)角化, 即存在N階酉矩陣U使得:A=Udiag(λ1,λ2, …,λN)U-1.這里，λ1,λ2, …,λN為A的特征值;

Ⅲ)A有N個(gè)彼此正交的特征向量.

引理4給定C中的N階矩陣V是正規(guī)的, 設(shè)其特征值為λ1,λ2, …,λN, 則存在一組分別與這些特征值對(duì)應(yīng)的單位的特征向量v1,v2, …,vN, 彼此正交.稱這些向量為V的一組特征標(biāo)準(zhǔn)正交基.令矩陣U=(v1,v2, …,vN), 則U為酉矩陣, 且V=Udiag(λ1,λ2, …,λN)U-1.

證明 由于V是正規(guī)的, 由引理3得V存在N個(gè)彼此正交的特征向量, 從而存在彼此正交的單位特征向量v1,v2, …,vN分別與特征值λ1,λ2,…,λN對(duì)應(yīng).

由于v1,v2, …,vN彼此正交, 且均為單位向量, 有p=q時(shí) 〈vq,vp〉=1, 而p≠q時(shí)〈vq,vp〉=0.故而U*U=I, 所以U為酉矩陣.由于v1,v2, …,vN為V的特征值λ1,λ2, …,λN所分別對(duì)應(yīng)的特征向量, 可得：

所以V=Udiag(λ1,λ2, …,λN)U-1.

(1)

令矩陣

2.2 正規(guī)迭代式的緊框架的構(gòu)造方式

由于一般調(diào)和框架均為等模Parseval框架, 而作為其推廣的一般準(zhǔn)調(diào)和框架, 以及更一般的正規(guī)迭代式框架均為等模序列, 所以本研究考慮符合哪些條件的正規(guī)迭代式框架能成為緊框架乃至Parseval框架. 下面的結(jié)論說(shuō)明除了在空間維數(shù)N為 2的特殊情況, 正規(guī)迭代式框架為Parseval框架當(dāng)且僅當(dāng)其為一般調(diào)和框架.

(3)

其中:

(4)

從而可以得到正規(guī)迭代式的緊框架的等價(jià)刻畫(huà).

定理2設(shè)α∈CN為非零向量,V為C上的N階非零矩陣, 且V是正規(guī)的.當(dāng)M≥N≥3或V為N階酉矩陣時(shí), 以下條件等價(jià):

注2在定理2中取A=1時(shí), 用另一種方式得到了文獻(xiàn)[2]中的定理4.1, 從而可以說(shuō)明本研究的定理2對(duì)文獻(xiàn)[2]的結(jié)論進(jìn)行了推廣.

推論2CN的一般準(zhǔn)調(diào)和序列為緊框架當(dāng)且僅當(dāng)其為一般調(diào)和框架, 此時(shí)亦為Parseval框架.

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得其框架算子S=I, 則該序列為CN的Parseval框架.但該框架不是等?？蚣? 從而不是一般調(diào)和框架.