許鵬飛 公徐路 李毅偉 靳艷飛

1) (山西農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系,太谷 030801)

2) (山西農(nóng)業(yè)大學(xué)軟件學(xué)院,太谷 030801)

3) (北京理工大學(xué)力學(xué)系,北京 100081)

研究了外部周期信號(hào)和內(nèi)部噪聲共同激勵(lì)下,含記憶阻尼函數(shù)的周期勢系統(tǒng)的隨機(jī)共振.針對(duì)具有多穩(wěn)態(tài)特征的周期勢系統(tǒng),推導(dǎo)出適用于一般多穩(wěn)態(tài)模型的系統(tǒng)響應(yīng)振幅和功率譜放大因子.研究結(jié)果表明,功率譜放大因子隨溫度的變化曲線出現(xiàn)單峰,說明含記憶阻尼函數(shù)的周期勢系統(tǒng)存在隨機(jī)共振現(xiàn)象,并且系統(tǒng)的記憶特性和穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量對(duì)共振行為有著顯著影響.此外,利用隨機(jī)能量法進(jìn)一步分析了系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)共振效應(yīng)隨著記憶時(shí)間的增加先減弱再增強(qiáng).在適當(dāng)?shù)臏囟葪l件下,存在最優(yōu)記憶時(shí)間可以最大化外部周期力對(duì)系統(tǒng)所做的功.

1 引言

隨機(jī)共振的概念由Benzi 等[1]在研究古氣象冰川期問題時(shí)提出,其理論發(fā)展及應(yīng)用已經(jīng)在不同科學(xué)系統(tǒng)中取得顯著成果[2?4],但較少涉及含記憶阻尼的動(dòng)力系統(tǒng).該系統(tǒng)描述了一類處于無序介質(zhì)或復(fù)雜環(huán)境下的non-Markovian 過程[5?8],例如處于生物細(xì)胞、湍流、生長表面、滲透媒介、黏性材料等背景中的粒子就展示出偏離Brown 運(yùn)動(dòng)的反常擴(kuò)散行為,它的運(yùn)動(dòng)速度所產(chǎn)生的記憶效應(yīng)歸因于空間和時(shí)間上的非局域特性.針對(duì)這類含記憶效應(yīng)的隨機(jī)系統(tǒng),廣義Langevin 方程(generalized Langevin equation,GLE)是研究其動(dòng)力學(xué)行為的主要手段之一[9?14].特別地,GLE 中的阻尼項(xiàng)取決于隨時(shí)間變化的記憶核函數(shù),其中記憶核的類型主要包括了冪函數(shù)型[9]、不同形式的指數(shù)函數(shù)型[10?12]以及Dirac delta 函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的混合型[13,14]等.在隨機(jī)模型中,外部噪聲主要源于系統(tǒng)所處的環(huán)境或?qū)嶒?yàn)內(nèi)的噪聲發(fā)生器,而GLE 中的內(nèi)部噪聲通過漲落耗散關(guān)系依賴于系統(tǒng)的記憶阻尼核函數(shù)[15],即內(nèi)部噪聲和耗散產(chǎn)生于同一隨機(jī)源,從而使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).在GLE 刻畫的動(dòng)力模型中,噪聲誘導(dǎo)行為以及記憶性對(duì)動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的影響已經(jīng)在不同學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)受到研究者們的關(guān)注,例如反常擴(kuò)散[9?11]、信息熵[16]、平均首次穿越時(shí)間[17]、隨機(jī)共振[18?22]等.其中,在含不同記憶阻尼函數(shù)的線性系統(tǒng)中,文獻(xiàn)[18?20]基于GLE分別詳細(xì)討論了時(shí)滯、固有頻率漲落噪聲及Mittag-Leffler 噪聲作用下的隨機(jī)共振現(xiàn)象.在攜有指數(shù)型記憶核的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中,Hasegawa[21]和Srokowski[22]均通過GLE計(jì)算了系統(tǒng)的功率譜放大因子,并分析了不同條件下記憶效應(yīng)對(duì)隨機(jī)共振的影響.在非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中,研究表明記憶時(shí)間抑制相干共振,卻增強(qiáng)隨機(jī)共振[13].由于廣義Langevin 系統(tǒng)存在著顯著的non-Markovian 性質(zhì),故導(dǎo)致它的動(dòng)力學(xué)特性復(fù)雜多變,分析困難.然而,在GLE 描述的周期勢系統(tǒng)中,尚未出現(xiàn)關(guān)于隨機(jī)共振現(xiàn)象的研究,尤其記憶效應(yīng)對(duì)共振行為的影響.

另一方面,具有多穩(wěn)態(tài)特征的周期勢模型已在物理、化學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域內(nèi)展示出了廣泛的應(yīng)用,如Josephson 隧道結(jié)[23]和分子馬達(dá)[24]等.周期勢系統(tǒng)中噪聲誘導(dǎo)動(dòng)力學(xué)的研究也呈現(xiàn)出豐碩的成果,例如:噪聲誘導(dǎo)的粒子輸運(yùn)[25]、棘輪效應(yīng)[26]、穩(wěn)定性[27]、相干共振[28]等.此外,Saikia[29]在二階欠阻尼的周期勢動(dòng)力系統(tǒng)中引入隨機(jī)能量法作為衡量隨機(jī)共振的特征指標(biāo),發(fā)現(xiàn)隨機(jī)共振出現(xiàn)在驅(qū)動(dòng)信號(hào)的高頻區(qū)域內(nèi),且兩個(gè)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的穩(wěn)定性與隨機(jī)共振效應(yīng)依賴于系統(tǒng)的阻尼參數(shù)和信號(hào)幅值.Reenbohn 等[30]研究了欠阻尼傾斜周期勢中的隨機(jī)共振,并基于兩個(gè)具有不同振幅和相位的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)解釋了共振行為的發(fā)生.Nicolis[3]將隨機(jī)共振理論拓展至過阻尼多穩(wěn)態(tài)模型中,解釋了系統(tǒng)在初始狀態(tài)與最終狀態(tài)的躍遷過程中可以同時(shí)存在任意數(shù)量的中間穩(wěn)定狀態(tài),發(fā)現(xiàn)適當(dāng)數(shù)量的穩(wěn)定狀態(tài)可使周期勢系統(tǒng)響應(yīng)最大化.在高斯白噪聲和輸入信號(hào)共同作用的周期勢模型中,通過矩方法[31]和仿真實(shí)驗(yàn)[32]詳細(xì)分析了隨機(jī)共振現(xiàn)象.周期勢系統(tǒng)的隨機(jī)共振還在多種形式的噪聲激勵(lì)下得到研究,例如多值噪聲[28]、Lévy 噪聲[33]、高斯色噪聲[34]等.但上述研究都是依據(jù)經(jīng)典的Langevin方程進(jìn)行,且多穩(wěn)態(tài)特征導(dǎo)致理論分析尤其缺乏,主要局限在數(shù)值和實(shí)驗(yàn)方面的研究.

本文研究了外部周期信號(hào)驅(qū)動(dòng)下含記憶阻尼函數(shù)的周期勢系統(tǒng)的隨機(jī)共振.首先介紹了GLE描述的含記憶阻尼函數(shù)的二階動(dòng)力學(xué)模型.然后,在多穩(wěn)態(tài)情形下,率先推導(dǎo)了系統(tǒng)功率譜放大因子的解析表達(dá)式,并進(jìn)一步計(jì)算了系統(tǒng)的輸入能量.最后,從這兩個(gè)角度研究了周期勢模型的隨機(jī)共振現(xiàn)象,詳細(xì)分析了記憶效應(yīng)和多穩(wěn)態(tài)特征對(duì)共振行為影響.

2 系 統(tǒng)

本文考慮的模型描述了單位質(zhì)量的粒子在周期勢U(x) 中的運(yùn)動(dòng),其中系統(tǒng)含有依賴于時(shí)間變化的記憶阻尼函數(shù),且受到內(nèi)部噪聲和外部周期信號(hào)的共同作用.該數(shù)學(xué)模型通過廣義Langevin 方程表示為如下形式[11]:

其中x(t) 代表粒子運(yùn)動(dòng)的位移;參數(shù)ε0和ω分別表示外部周期信號(hào)的振幅和頻率.特別地,內(nèi)部噪聲ζ(t)的均值為零,其自相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的記憶阻尼核γ(t) 之間滿足漲落耗散理論[15],即

這里kB是Boltzmann 常數(shù),T是環(huán)境的絕對(duì)溫度.記憶核函數(shù)γ(t) 是由一個(gè)Dirac delta 函數(shù)和一個(gè)含記憶時(shí)間τc的指數(shù)型函數(shù)構(gòu)成[13,14]:

從記憶核函數(shù)方程(3)中容易發(fā)現(xiàn)方程(2)中的內(nèi)部噪聲ζ(t) 可看作兩個(gè)相互獨(dú)立的噪聲項(xiàng)之和,即Delta 關(guān)聯(lián)的高斯白噪聲和指數(shù)關(guān)聯(lián)的色噪聲.因此,系統(tǒng)(1)式具有短時(shí)間的Markovian 特征和相對(duì)長時(shí)間的non-Markovian 特征,其中記憶效應(yīng)由方程(3)中隨時(shí)間演化而指數(shù)衰減的函數(shù)項(xiàng)來刻畫,這里參數(shù)Γ代表系統(tǒng)的記憶強(qiáng)度.含此類記憶核的廣義Langevin 方程廣泛應(yīng)用于研究復(fù)雜環(huán)境下非線性系統(tǒng)的物理現(xiàn)象,典型案例包括在具有均勻靜磁場的平面上,受雙諧方式約束的帶電粒子的軌道磁矩[11];過阻尼雙穩(wěn)態(tài)模型中的隨機(jī)共振現(xiàn)象[35];帶電粒子在黑體輻射中的彈道擴(kuò)散行為[36].當(dāng)記憶性不存在時(shí)(Γ=0),系統(tǒng)(1)式退化成了一個(gè)傳統(tǒng)的高斯白噪聲激勵(lì)的二階動(dòng)力系統(tǒng)模型.

針對(duì)系統(tǒng)(1)式引入新變量y(t) 和z(t) 進(jìn)行變換,則原系統(tǒng)等價(jià)地描述為具有Markovian 特性的Langevin 方程組:

其中噪聲項(xiàng)ζ1(t)和ζ2(t) 是兩個(gè)無關(guān)聯(lián)的高斯白噪聲,滿足統(tǒng)計(jì)性質(zhì):〈ζi(t)〉=0,〈ζi(t)ζj(t′)〉=δi,j(t ?t′)(i,j=1,2).特別地,方程組(4)中的新變量z(t) 具有如下形式:

令ρ(x,y,z,t) 表示方程(1)在t時(shí)刻處于狀態(tài) (x,y,z) 的概率密度函數(shù),則獲得其滿足的Fokker-Planck 方程:

對(duì)于(6)式中不含外部周期信號(hào)的情形(ε0=0),在細(xì)致平衡條件下,獲得平穩(wěn)概率密度函數(shù)ρst(x,y,z)的解析表達(dá)式:

其中N表示全概率歸一化的常數(shù).

當(dāng)系統(tǒng)(1)式受外部周期信號(hào)ε0cos(ωt) 作用時(shí),假定其振幅ε0充分小以致能夠進(jìn)行小參數(shù)展開計(jì)算,且信號(hào)為閾下激勵(lì).同時(shí),限制頻率ω ?1,使得系統(tǒng)在一個(gè)信號(hào)周期內(nèi)有足夠長的時(shí)間達(dá)到局域平衡態(tài),即滿足絕熱驅(qū)動(dòng).從而可獲得Fokker-Planck 方程(6)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)解[37],其中廣義勢函數(shù)結(jié)合方程(7)整理為如下形式:

本文考慮系統(tǒng)(1)為周期勢系統(tǒng),即勢函數(shù)U(x)=?cos(m0x),從而確定性系統(tǒng)(4)存在多個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)sn(xsn,0,xsn) 和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是un(xun,0,xun),其中xsn=2nπ/m0,xun=(2n+1)π/m0,m0和n均為正整數(shù).如圖1(a)所示,隨著m0的變化,勢阱的寬度發(fā)生變化,設(shè)置m0的值可改變給定位移區(qū)間內(nèi)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的個(gè)數(shù).圖1(b)給出了離散狀態(tài)下該周期勢系統(tǒng)在n個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)之間躍遷的示意圖.可見,周期勢系統(tǒng)在兩端狀態(tài)之間的噪聲誘導(dǎo)躍遷過程中同時(shí)存在多個(gè)中間穩(wěn)定狀態(tài),有必要進(jìn)一步研究穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量、溫度及記憶效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響.

圖1 (a)周期勢函數(shù);(b)離散的多穩(wěn)態(tài)過程Fig.1.(a) Periodic potential;(b) discrete multi-stable process.

3 隨機(jī)共振

本節(jié)首先依據(jù)線性響應(yīng)理論推導(dǎo)系統(tǒng)關(guān)于外部周期信號(hào)的響應(yīng)振幅及功率譜放大因子的解析表達(dá)式;再利用隨機(jī)能量法進(jìn)一步計(jì)算系統(tǒng)的輸入能量;然后,從這兩個(gè)方面分別驗(yàn)證周期勢模型(1)式中隨機(jī)共振現(xiàn)象的產(chǎn)生,詳細(xì)討論記憶效應(yīng)、溫度及系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特征對(duì)共振行為的影響.

3.1 功率譜放大因子

在絕熱近似條件下[2],系統(tǒng)在每個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)的吸引域內(nèi)達(dá)到局域平衡所需的時(shí)間遠(yuǎn)小于系統(tǒng)在不同吸引域之間整體平衡需要的時(shí)間,即單個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處的局域平衡時(shí)間可以忽略,故連續(xù)系統(tǒng)(4)式可近似轉(zhuǎn)化為一類離散的多穩(wěn)態(tài)Markov 過程.如圖1(b)所示,系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)si處的吸引域內(nèi)的概率φi可通過方程(6)中的概率密度函數(shù)表示為

其滿足概率交換的主方程:

其中βv(si) 表示無噪聲和信號(hào)激勵(lì)的方程(4)在穩(wěn)態(tài)狀態(tài)si(2iπ/m0,0,2iπ/m0) 處的線性化矩陣的特征值;λ1(ui)和λj(ui) (j=2,3) 分別表示無噪聲和信號(hào)激勵(lì)的方程(4)在不穩(wěn)定狀態(tài)ui((2i+1)π/m0,0,(2i+1)π/m0)處的線性化矩陣的正特征值和負(fù)特征值.

根據(jù)線性響應(yīng)理論[39],在長時(shí)間極限下,方程(9)的穩(wěn)態(tài)解可分解為如下形式:

矩陣C和 ?φ分別滿足下列形式:

其中α0為方程(9)中無外部周期信號(hào)(ε0=0)的概率躍遷速率.

方程(11)中的解δφi可以表示為如下形式:

其中Ai和Bi決定了系統(tǒng)關(guān)于外部周期信號(hào)的響應(yīng)振幅和相位.替換方程(14)進(jìn)入方程(12),再比較方程兩邊正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的系數(shù)得到Ai和Bi的表達(dá)式,從而獲得系統(tǒng)關(guān)于外部周期信號(hào)的響應(yīng)振幅ri=即

其中Ek和Θk分別表示方程(13)中矩陣C的特征值和特征向量,Fk是方程(13)中矩陣 ?φ在特征向量Θk的展開系數(shù),即具體地,

當(dāng)系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),根據(jù)方程(11)表示出依賴時(shí)間變化的位移一階矩:

其中R和ψ分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)位移的振幅和相位.進(jìn)一步,根據(jù)方程(15)—方程(17)得到系統(tǒng)功率譜放大因子的解析表達(dá)式:

功率譜放大因子(18)式適用于一般的周期勢模型,其依賴于周期勢中連續(xù)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù),與位置無關(guān).在真實(shí)環(huán)境中,受噪聲和信號(hào)激勵(lì)的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)軌跡通常局限在一定的范圍內(nèi),如圖1(b)所示的多穩(wěn)態(tài)模型.為分析多穩(wěn)態(tài)特征及固定區(qū)間內(nèi)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量對(duì)隨機(jī)共振的影響,本節(jié)主要考慮周期勢系統(tǒng)(1)式的有限穩(wěn)態(tài)點(diǎn)情形.

根據(jù)方程(15)和方程(18),圖2 展示了記憶時(shí)間τc對(duì)周期勢模型的功率譜放大因子η1和響應(yīng)振幅ri的影響.在圖2(a)中,η1隨溫度T的變化出現(xiàn)了顯著的共振峰,標(biāo)志著隨機(jī)共振現(xiàn)象的發(fā)生.隨著τc的增大,η1的峰值逐漸升高,共振效應(yīng)增強(qiáng),且共振峰位置向T減小的方向移動(dòng),即噪聲表現(xiàn)出對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的建設(shè)性角色得到增強(qiáng).因此,在周期勢系統(tǒng)(1)中,記憶時(shí)間對(duì)關(guān)于外部周期信號(hào)的輸出響應(yīng)具有積極的增強(qiáng)作用,而相反的情形發(fā)生在含記憶阻尼的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中[35],其中記憶性抑制了隨機(jī)共振.該現(xiàn)象可通過圖2(b)得到解釋,對(duì)于固定的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)n=30 和不同的τc值,繪制了各個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)對(duì)應(yīng)響應(yīng)振幅ri的變化曲線.在兩個(gè)邊界的穩(wěn)定狀態(tài)處(s1和sn),響應(yīng)振幅得到最大化,并且朝向中間的穩(wěn)定狀態(tài)對(duì)稱性減弱,最終達(dá)到最小值.這是由于處于中間狀態(tài)的系統(tǒng)會(huì)等可能地躍遷到兩個(gè)相鄰的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處,而在邊界的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處躍遷是不對(duì)稱的.另外,各個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的響應(yīng)振幅均隨著τc的增加而增大,即在適當(dāng)?shù)挠洃洉r(shí)間作用下,外部的弱周期信號(hào)在該周期勢系統(tǒng)中得到進(jìn)一步放大.系統(tǒng)的記憶性是在復(fù)雜無序的非均勻環(huán)境下粒子運(yùn)動(dòng)所引發(fā)的,不同的介質(zhì)能夠使歷史速度產(chǎn)生不同的記憶時(shí)間,而在類似于該周期勢的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中利用記憶效應(yīng)將有助于增強(qiáng)隨機(jī)共振行為.

為分析隨機(jī)共振和驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性,數(shù)值計(jì)算了系統(tǒng)(1)的功率譜密度,如圖3 所示,其中選擇103條樣本軌跡,采樣頻率Fs=100 Hz 以及數(shù)據(jù)長度N=107.從圖3(a)中看到,功率譜密度在適中的溫度值(T=3)處呈現(xiàn)出顯著的峰值,且峰值對(duì)應(yīng)的頻率值(f=0.00101)近似等于外部周期信號(hào)的驅(qū)動(dòng)頻率ω,而在一定的低溫(T=0.4)和高溫(T=50)下峰結(jié)構(gòu)均減弱甚至消失.這說明存在最優(yōu)溫度可使得系統(tǒng)出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象,從而導(dǎo)致噪聲背景下的信號(hào)功率譜明顯增加.由于周期勢系統(tǒng)具有無窮多個(gè)平衡點(diǎn),所以需要足夠大的最優(yōu)溫度才能確保粒子連續(xù)地穿越勢壘,出現(xiàn)與驅(qū)動(dòng)頻率相一致的共振同步現(xiàn)象.此外,在給定的溫度下,圖3(b)揭示了功率譜密度的峰值隨著記憶時(shí)間τc的增加而逐漸升高,表明記憶阻尼的存在可優(yōu)化周期勢系統(tǒng)的信號(hào)放大性能,增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng),這與圖2 中的理論結(jié)果相一致.

圖2 記憶時(shí)間 τc 對(duì)隨機(jī)共振的影響 (a) 功率譜放大因子 η1 隨溫度T 的變化曲線(n=6);(b)第i 個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)振幅 ri 的變化曲線.其他參數(shù)取值為 Γ=4,γ0=1,ω=0.001 和m0=1Fig.2.The effects of memory time τc on stochastic resonance:(a) Spectral amplification η1 versus temperature T;(b) amplitude of the response ri versus i.Other parameter values are chosen as Γ=4,γ0=1,ω=0.001 and m0=1.

圖3 功率譜密度(PSD)作為頻率的函數(shù)曲線 (a)不同的溫度T 和 τc=1 ;(b)不同的記憶時(shí)間 τc 和 T=0.75 .其他參數(shù)取值為 Γ=4,γ0=1,ε0=0.3,ω=0.001 和m0=1Fig.3.Power spectrum density (PSD) of the system as a function of frequency with different values of (a) temperature T (τc=1);(b) memory time τc (T=0.75).Other parameter values are chosen as Γ=4,γ0=1,ε0=0.3,ω=0.001and m0=1 .

在圖4 中,分析了周期勢函數(shù)的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)n對(duì)功率譜放大因子η1以及響應(yīng)振幅r1和r2的影響.從圖4(a)中可觀察到,曲線η1?T的峰值隨著n的增加顯著上升,且共振峰位置向T增加的方向移動(dòng).可見,穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量的增多能夠明顯增強(qiáng)隨機(jī)共振現(xiàn)象.由于多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中兩個(gè)邊界穩(wěn)態(tài)點(diǎn)之間的距離隨著n的增加而變大,即粒子運(yùn)動(dòng)的位移區(qū)間長度 2nπ 變大,因此系統(tǒng)在兩個(gè)最外側(cè)勢阱之間可產(chǎn)生更大幅度的阱間響應(yīng),同時(shí)需要足夠大的溫度,這與圖3(a)中的分析一致.故在多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中,通過適當(dāng)增加穩(wěn)定狀態(tài)的數(shù)量,隨機(jī)共振現(xiàn)象將能夠在較大的噪聲強(qiáng)度處發(fā)生并顯著增強(qiáng),從而有效提升強(qiáng)噪聲環(huán)境中弱信號(hào)的探測能力.在圖4(b)中,繪制了邊界穩(wěn)態(tài)點(diǎn)s1對(duì)應(yīng)的最大響應(yīng)振幅r1隨溫度的變化曲線,其峰值隨著n的增加而下降,相反于圖4(a)中功率譜放大因子的變化趨勢.這是由于在給定的激勵(lì)條件下,隨著兩個(gè)邊界穩(wěn)態(tài)點(diǎn)之間的距離變大,粒子到達(dá)最外側(cè)勢阱的概率逐漸減小,響應(yīng)振幅減弱.但在圖4(c)中,穩(wěn)態(tài)狀態(tài)s2對(duì)應(yīng)的響應(yīng)振幅r2,其峰值隨n的增加先上升,再下降,即存在最優(yōu)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)使得響應(yīng)振幅最大化.這表明在噪聲和外部周期力的共同作用下,多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在不同穩(wěn)定狀態(tài)之間的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.值得注意的是,對(duì)于固定的穩(wěn)定狀態(tài)數(shù),功率譜放大因子和所有響應(yīng)振幅均在一致的溫度值處達(dá)到局部最大值,如圖4 中標(biāo)記的峰值.故在給定的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中,兩者均可用于衡量隨機(jī)共振現(xiàn)象.

圖4 穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)n 對(duì)隨機(jī)共振的影響 (a)功率譜放大因子 η1 隨溫度T 的變化曲線;(b)響應(yīng)振幅 r1 隨T 的變化曲線;(c)響應(yīng)振幅 r2 隨T 的變化曲線.其他參數(shù)取值為τc=3,Γ=5 ,γ0=1,ω=0.001 和m0=1Fig.4.The effects of the number of stable steady states n on stochastic resonance:(a) Spectral amplification η1 versus temperature T;(b) amplitude of the response r1 versus T;(c) amplitude of the response r2 versus T.Other parameter values are chosen as τc=3,Γ=5 ,γ0=1,ω=0.001and m0=1 .

考慮粒子在有限的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響.在周期勢U(x)=?cos(m0x)中選擇固定的位移區(qū)間,即x ∈[(2i ?1)π/m0,(2i+2n ?1)π/m0],其中i是任意整數(shù),區(qū)間長度為 2Lπ (L=n/m0).如圖1(a)所示,通過設(shè)置m0的值可控制固定區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的個(gè)數(shù),且勢壘高度保持不變.圖5 描述了在給定的區(qū)間范圍內(nèi)系統(tǒng)的功率譜放大因子η1隨區(qū)間內(nèi)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)n的變化情況.從圖5(a)中觀察到,對(duì)于固定的區(qū)間長度L,η1隨區(qū)間內(nèi)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加展示了一個(gè)非單調(diào)的變化趨勢.此結(jié)果揭示了在粒子運(yùn)動(dòng)的區(qū)間范圍內(nèi),存在最優(yōu)的穩(wěn)態(tài)數(shù)量使得共振強(qiáng)度達(dá)到最佳,優(yōu)化系統(tǒng)關(guān)于驅(qū)動(dòng)信號(hào)的輸出響應(yīng).隨著L的增加,η1的峰值依次升高且位置向n增大的方向移動(dòng),即粒子運(yùn)動(dòng)的有限區(qū)間長度與其內(nèi)部的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量對(duì)增強(qiáng)系統(tǒng)響應(yīng)的作用表現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系.在實(shí)際環(huán)境中,受噪聲或外部信號(hào)驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)通常局限在一定的區(qū)間內(nèi),考慮選取最優(yōu)的穩(wěn)態(tài)數(shù)量將有利于增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)外部弱信號(hào)的響應(yīng)強(qiáng)度.此外,在固定的區(qū)間長度下(L=10),圖5(b)展示了記憶強(qiáng)度Γ對(duì)功率譜放大因子的影響.隨著Γ的增加,η1-n曲線的峰值下降且形狀趨于平緩,即隨機(jī)共振效應(yīng)減弱,而共振區(qū)域變寬,同時(shí)峰值對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量也增多.因此,系統(tǒng)關(guān)于外部周期信號(hào)的響應(yīng)不僅依賴于多穩(wěn)態(tài)勢函數(shù),而且與記憶性密切相關(guān).增大的記憶強(qiáng)度對(duì)共振行為呈現(xiàn)抑制作用,但在合適數(shù)量的多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中共振現(xiàn)象又能得到增強(qiáng).在無序的媒介或復(fù)雜的環(huán)境中,記憶強(qiáng)度反映了介質(zhì)分子對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的記憶效應(yīng),合理協(xié)調(diào)記憶強(qiáng)度和多穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)的關(guān)系有助于提升系統(tǒng)的輸出.

圖5 功率譜放大因子 η1 作為區(qū)間內(nèi)穩(wěn)態(tài)點(diǎn) 個(gè)數(shù)n 的 函數(shù)曲線 (a)不同的區(qū)間長度L 和 Γ=3 ;(b)不同的記憶強(qiáng)度Γ 和固定的長度 L=10 .其他參數(shù)取值為 τc=4 ,γ0=1,ω=0.002 和T=0.8Fig.5.Spectral amplification η1 versus the number of stable steady states n with different values of (a) interval length L (Γ=3) and (b) memory strength Γ (L=10).Other parameter values are chosen as τc=4 ,γ0=1,ω=0.002and T=0.8 .

3.2 輸入能量

周期勢系統(tǒng)(1)具有無窮多個(gè)平衡點(diǎn),當(dāng)粒子呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)行為時(shí),可導(dǎo)致系統(tǒng)不滿足如圖1(b)所示的多個(gè)穩(wěn)態(tài)之間的躍遷情形,此時(shí)研究隨機(jī)共振需借助系統(tǒng)的輸入能量進(jìn)行衡量.在隨機(jī)漲落的環(huán)境中,分析外部周期力對(duì)系統(tǒng)做的功,其隨溫度或噪聲強(qiáng)度的變化可反映出能量在不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換.

依據(jù)隨機(jī)能量公式[29],外部周期信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)τω=2π/ω對(duì)系統(tǒng)所做的功或輸入能量W可計(jì)算為

其中有效勢函數(shù)Ue(x,t)=U(x)?ε0xcos(ωt),U(x)為圖1(a)中的周期勢函數(shù).

在給定的初始條件下,單一軌跡中N1個(gè)信號(hào)周期的平均輸入能量為

采用四階Runge-Kutta 算法對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行離散化,其中信號(hào)的周期個(gè)數(shù)設(shè)置為N1=104,時(shí)間步長 dt=0.01 .在103條不同初始條件的樣本軌跡下,對(duì)相應(yīng)的平均輸入能量方程(20)進(jìn)行平均,最終得到所有樣本軌跡的平均輸入能量

圖6 平均輸入能量 W 作為初始位置 x(0) 的函數(shù)隨不同溫度T 的變化情況,黑色線代表系統(tǒng)的輸入信號(hào) ε0 cos(ωt) (a) T=0.001;(b) T=0.003;(c) T=0.009;(d) T=0.018.其他參數(shù)取值為 τc=2.3 ,γ0=0.12,Γ=0.02 和ω=π/4Fig.6.Average input energy averaged over an entire trajectory with initial position x(0) for different values of temperature T,where the black line denotes the input signal ε0 cos(ωt) :(a) T=0.001;(b) T=0.003;(c) T=0.009;(d) T=0.018.Other parameter values are chosen as τc=2.3 ,γ0=0.12,Γ=0.02 and ω=π/4 .

圖7 記憶強(qiáng)度Γ 對(duì)輸入能量的影響 (a)平均輸入能量 隨溫度T 的變化曲線;(b)相位差 隨T 的變化曲線.其他參數(shù)取值為τc=2.3 ,γ0=0.12和ω=π/4Fig.7.The effects of memory strength Γ on input energy:(a) Average input energy versus temperature T;(b) phase lag versus T.Other parameter values are chosen as τc=2.3 ,γ0=0.12 and ω=π/4 .

圖8 記憶時(shí)間 τc 對(duì)輸入能量的影響 (a) 隨T 的變化曲線;(b) 隨 τc 的變化曲線.其他參數(shù)取值為 Γ=0.7,γ0=0.12和ω=π/4Fig.8.The effects of me mory time τc on input energy:(a) versus T;(b) versus τc .Other parameter values are chosen as Γ=0.7 ,γ0=0.12 and ω=π/4 .

4 結(jié)論

針對(duì)廣義Langevin 方程描述的含記憶阻尼的周期勢系統(tǒng),主要研究了該系統(tǒng)在外部周期力作用下的隨機(jī)共振.由于系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特征和non-Markovian 性質(zhì)導(dǎo)致理論分析困難,故引入變量變換將原始的non-Markovian 模型等價(jià)轉(zhuǎn)化為多維Markovian 系統(tǒng).根據(jù)線性響應(yīng)理論,推導(dǎo)出了適用于一般多穩(wěn)態(tài)模型的功率譜放大因子,揭示了記憶效應(yīng)和多穩(wěn)態(tài)特征對(duì)隨機(jī)共振的影響,并得到數(shù)值結(jié)果的驗(yàn)證.分析表明,記憶時(shí)間的延長和穩(wěn)態(tài)數(shù)量的增多均對(duì)共振行為有增強(qiáng)作用,但誘導(dǎo)共振產(chǎn)生的溫度變化不同.對(duì)于固定的系統(tǒng)位移區(qū)間,存在最優(yōu)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)數(shù)量使得共振效應(yīng)最佳,同時(shí)記憶強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響依賴于穩(wěn)定狀態(tài)的個(gè)數(shù).然而,當(dāng)周期勢系統(tǒng)呈現(xiàn)出更加復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)行為時(shí),通過輸入能量發(fā)現(xiàn),記憶時(shí)間對(duì)隨機(jī)共振起著先減弱再增強(qiáng)的作用,即在適當(dāng)溫度范圍內(nèi),合理控制記憶時(shí)間可優(yōu)化外部周期力對(duì)系統(tǒng)所做的功.

本文獲得的解析結(jié)果為周期勢系統(tǒng)中共振現(xiàn)象的研究及應(yīng)用提供理論指導(dǎo)作用.具有記憶阻尼的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)多用于描述粒子在復(fù)雜無序的非均勻環(huán)境中運(yùn)動(dòng),接下來可進(jìn)一步考慮外部噪聲及與內(nèi)部噪聲的互關(guān)聯(lián)性對(duì)共振行為的影響.由于周期勢系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特征,上述隨機(jī)共振理論可有效應(yīng)用于機(jī)械故障診斷中微弱信號(hào)的檢測.