殷敬偉 馬丁一 張宇翔? 生雪莉

1) (哈爾濱工程大學(xué),水聲技術(shù)重點實驗室,哈爾濱 150001)

2) (哈爾濱工程大學(xué),海洋信息獲取與安全工信部重點實驗室,哈爾濱 150001)

3) (哈爾濱工程大學(xué)水聲工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

全球性氣候變暖的持續(xù)使極地科學(xué)成為國際科研熱點.極地聲學(xué)技術(shù)研究在近年國內(nèi)學(xué)者的努力下取得了長足進展,但在基礎(chǔ)理論研究方面還有很多需要攻堅的難題.極地冰聲傳播受彈性波導(dǎo)影響嚴重,特殊的材料物理特性、復(fù)雜的邊界條件以及極端惡劣的環(huán)境均給相關(guān)研究推進帶來挑戰(zhàn).針對冰聲波導(dǎo)模型精細化構(gòu)建難題,本文從海冰物理特性概述、冰聲傳播理論模型構(gòu)建、冰聲傳播特征方程數(shù)值求解以及冰聲參數(shù)評估與選取四個方向出發(fā),回顧并梳理了極地海冰聲波導(dǎo)建模關(guān)鍵技術(shù)的發(fā)展歷程與研究現(xiàn)狀,分析了國內(nèi)外冰聲傳播研究進展,討論并展望了冰聲波導(dǎo)建模技術(shù)的未來研究重點以及其在極地開發(fā)中的應(yīng)用潛力,以期為后續(xù)極地聲學(xué)理論與應(yīng)用研究的開展提供有益參考.

1 引言

北極是指北緯66°34'(北極圈)以北的廣袤高寒地區(qū).區(qū)域年平均氣溫僅為–22.3 ℃[1],其內(nèi)陸域、海域的大部地區(qū)均常年為冰雪所覆蓋.其中,北極海冰的覆蓋范圍達全球海洋面積的7%,所引起的海氣間熱量、動量和物質(zhì)交換變化顯著,是全球氣候變化的驅(qū)動器[2,3].

海冰具有比海水更高的反照率[4],是北極海氣交換的熱力絕緣層,對于維持北冰洋的低能量狀態(tài)意義重大[5].在全球氣候變暖背景下,海冰驅(qū)動的北極放大效應(yīng)導(dǎo)致該地區(qū)氣溫上升速度達全球平均水平的3 倍.同時,作為海洋系統(tǒng)關(guān)鍵要素,海冰的凍結(jié)和消融還同時影響著全球海洋溫鹽環(huán)流的形成和強度[6];文獻[7]指出,極地海冰減少將嚴重影響熱帶地區(qū)氣候并導(dǎo)致中緯度地區(qū)的極端天氣.在上述背景需求牽引下,北極海冰及其變化觀測技術(shù)已成為當前科研熱點.

聲學(xué)技術(shù)是實現(xiàn)海冰觀測及信息獲取的主要方法[8?13],但當前極地聲學(xué)研究多聚焦于冰下水聲傳播與應(yīng)用:Kinda 等[11]探討了波弗特海域海冰變形引起的冰下噪聲形成機理;Tian 等[12]提出冰裂脈沖噪聲環(huán)境下的北極水聲信道估計算法;Yin等[13]結(jié)合極地冰下水聲環(huán)境提出了基于低秩稀疏理論的動目標檢測信號實時處理方法等.相較而言,針對海冰中聲傳播機理的研究成果則相對較少.作為海冰聲學(xué)領(lǐng)域的重要研究方向,海冰聲波導(dǎo)研究對于明確冰聲傳播機理、發(fā)展冰基聲學(xué)觀測與通信技術(shù)、構(gòu)建極地立體化觀監(jiān)測平臺意義顯著.本文以海冰聲波導(dǎo)理論建模與求解方法為視角,回顧并梳理冰聲波導(dǎo)研究歷程,分析國內(nèi)外冰聲傳播研究進展,以期為后續(xù)海冰聲傳播相關(guān)研究工作的開展提供有益參考.

2 海冰物理特性概述

區(qū)別于冰山、冰川及冰架,本文涉及的海冰指凍結(jié)、生長與消散的全生命周期均在海洋環(huán)境下實現(xiàn)的冰體.海冰主要由海水在冬季低溫下凍結(jié)形成,物理特性與內(nèi)部結(jié)構(gòu)時變性明顯,依海冰存續(xù)時長可簡單分為一年新冰和多年冰[14],本節(jié)將從聲學(xué)建模角度出發(fā)對其物性與結(jié)構(gòu)的特點及差異進行簡述.

海水鹽度導(dǎo)致海冰形成緩慢,多變的極地海洋環(huán)境(風、浪、雪等)則進一步加劇了該過程的復(fù)雜性,導(dǎo)致初生海冰存在多種不同形態(tài)[15].由于初生海冰阻隔了海-氣直接熱交換,海冰的進一步生長需要大氣冷源穿透冰層將海水溫度降至冰點(約–1.8 ℃),故海冰厚度與大氣低溫持時(freezing degree days)呈高度正相關(guān)[16].因此,隨著大氣溫度季節(jié)性的往復(fù)變化,海冰厚度嚴重受限[17]:一年冰的厚度不超過3 m,多年冰的厚度多在6 m 以下[18].相較之下,冬季海冰的水平尺度與海冰厚度存在若干數(shù)量級的差別,常見為數(shù)百米至數(shù)千米不等.由于具有上述薄板狀宏觀幾何構(gòu)型且自由漂浮于海面,極地海冰是最為接近自由彈性板的天然結(jié)構(gòu).因此,冰聲學(xué)領(lǐng)域多將海冰簡化為薄板狀彈性介質(zhì)以開展研究[19].

介觀至微觀尺度的海冰觀測指出,極地海冰多樣的形成機理與復(fù)雜的生長環(huán)境導(dǎo)致其內(nèi)部存在多種不同微結(jié)構(gòu)且整體呈水平分層特點:表層初生海冰的形成常伴隨海表水層凍結(jié)后的堆疊、擠壓以及上方雪層的積累、滲透等,因此呈現(xiàn)等徑顆粒(isometric granular)材料特性;中層海冰的主要構(gòu)成是重力作用下自由水低溫冷凝、結(jié)晶所形成的柱狀冰,其晶體結(jié)構(gòu)常見為Ih 型且水平截面具有典型類六邊形特點[20];在表層與中層之間存在過渡層海冰,材料微結(jié)構(gòu)介于二者之間;海冰下表層的骨架層(skeleton layer)主要為柱狀過冷水凝結(jié)過程形成的棱柱狀顆粒結(jié)構(gòu)(prismatic granular).需要指出的是,表層與過渡層海冰多在夏季融化消逝,因此僅見于一年海冰結(jié)構(gòu).從冰層構(gòu)成角度出發(fā),由于表層、過渡層及骨架層海冰厚度有限,中層柱狀冰不論是體積占比(95%)還是機械特性均占絕對主導(dǎo)地位.因此,前期針對海冰冰層所開展的力學(xué)、電學(xué)等工程特性研究結(jié)果指出,海冰結(jié)構(gòu)可被簡化為單層均勻介質(zhì)[21?25].

在垂向熱對流及重力作用下,海冰中層柱狀冰的結(jié)晶生長過程存在顯著的方向選擇性,從而導(dǎo)致海冰彈性特征中的各向異性[20].此外,夏季海冰融化過程中,重力作用下的鹵水析出在海冰內(nèi)部形成了垂向生長的毛細網(wǎng)絡(luò)[14,20],在進一步加劇其材料各向異性的同時還帶入了一定程度的多孔特性.上述海冰材料特征會不同程度影響冰聲波導(dǎo)特性,然而現(xiàn)有研究成果雖涉及冰中晶體結(jié)構(gòu)分析、彈性波波速計算與測量等[26?29],但尚未將上述特征計入冰聲波導(dǎo)模型的構(gòu)建與計算.原因在于:海冰作為天然材料,其材料特性高度依賴于形成環(huán)境以及歷史狀態(tài),因而對相關(guān)物理參數(shù)的統(tǒng)一量化難以實現(xiàn).以較為基礎(chǔ)的海冰彈性特征為例,多年冰內(nèi)部的鹽分存在周期性變化,導(dǎo)致其機械強度的浮動;而同樣鹽度的海冰在不同溫度下的機械特征也存在顯著差異[30].海水鹽度與大氣溫度作為時空間四維變量難以簡單量化,從而給海冰基本參數(shù)的確定帶來挑戰(zhàn),本文將針對海冰聲參數(shù)的選擇與評估方法進行介紹,以期初步提供海冰聲波導(dǎo)建模所必需的聲學(xué)參數(shù).

從聲學(xué)研究角度出發(fā),冰聲波導(dǎo)相對于傳統(tǒng)板殼結(jié)構(gòu)波導(dǎo)研究的主要區(qū)別在于其邊界條件的復(fù)雜性.海冰薄板狀構(gòu)型導(dǎo)致其內(nèi)部彈性導(dǎo)波的存在,而極地海水-海冰-空氣/積雪系統(tǒng)帶來的邊界條件進一步加劇了該復(fù)雜性.冰-氣界面聲阻抗差異顯著,在冰內(nèi)聲傳播研究中可被簡化為自由邊界.雪層的存在會顯著改變上述邊界條件,然而其影響在現(xiàn)有研究中多被忽略不計:不同于南極陸冰上厚達數(shù)米的積雪,北極海冰上部積雪厚度通常僅在厘米級別[31],遠小于海冰厚度和冰聲波導(dǎo)研究所涉頻段內(nèi)的彈性波波長.在海冰下部的冰-水界面上,流固兩相介質(zhì)的聲阻抗接近且流體密度反大于固體密度,嚴重影響了其彈性波導(dǎo)特性,導(dǎo)致特有QS 模態(tài)的出現(xiàn)以及高階模態(tài)頻散曲線間的拓撲結(jié)構(gòu)變化.

綜上所述,在海冰聲波導(dǎo)建模研究中,多將海冰近似為各向同性且均勻的薄板狀彈性傳播介質(zhì),重點針對其流固耦合邊界條件導(dǎo)致的非對稱聲能量泄漏開展建模方法研究,并就其對聲波導(dǎo)特性的影響開展討論.

3 冰層波導(dǎo)理論建模

彈性介質(zhì)中的體波可分為3 類:縱波(P 波)、垂直偏振剪切波(SV 波)以及水平偏振剪切波(SH波).基于海冰幾何構(gòu)型與邊界條件,對應(yīng)聲波導(dǎo)研究選擇在平面應(yīng)變假設(shè)下構(gòu)建二維傳播平面,其中P 波與SV 波的質(zhì)點振動與傳播均在該平面內(nèi)完成并基于相互作用形成P-SV 導(dǎo)波;而SH 波則對應(yīng)出平面質(zhì)點振動,并在邊界條件作用下獨自構(gòu)成SH 導(dǎo)波.早期理論研究指出,SH 波在低頻段內(nèi)(例:冰厚約1 m、頻率 <900 Hz)不存在顯著頻散現(xiàn)象[32],前期極地實驗研究中也沒有觀測到SH 波的頻散現(xiàn)象[33,34].因此,本節(jié)將冰層聲波導(dǎo)研究范圍局限在P-SV 波波導(dǎo),在介紹彈性板波導(dǎo)理論的基礎(chǔ)上,對流固耦合條件帶來的聲泄漏現(xiàn)象及分層海冰波導(dǎo)的建模方法及其發(fā)展歷程進行簡述.

3.1 自由彈性板波導(dǎo)模型

針對各向同性介質(zhì)中彈性波的大規(guī)模研究始于19 世紀初,進而形成了經(jīng)典彈性波動理論的基本知識體系[35,36].1917 年,Lamb[37]引入了板間導(dǎo)波(Lamb 波)的概念.相對于體波,導(dǎo)波的產(chǎn)生與傳播過程更加復(fù)雜:由彈性波在有邊界限制的介質(zhì)中多次反射、干涉、波型轉(zhuǎn)換、幾何頻散重構(gòu)而成[38],在傳播過程中還會呈現(xiàn)頻散、多模態(tài)特征等現(xiàn)象.彈性材料與真空介質(zhì)近乎無窮的聲阻抗對比度使得Lamb 波可利用其更低維度的空間擴散效果實現(xiàn)遠距離傳播,因此被廣泛應(yīng)用于諸多聲學(xué)領(lǐng)域.

Lamb 波問題的初始研究對象為上下表面均為零應(yīng)力邊界條件的各向同性理想自由板,在縱波、橫波能量的相互轉(zhuǎn)換作用下存在無窮多個Lamb 波模態(tài).Lamb 波波導(dǎo)建模多采用位移勢函數(shù)法[39],利用其上下邊界的對稱性將其分解為對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)(圖1),所得到的Rayleigh-Lamb 頻散方程作為自由板問題的通解一直沿用至今.同時,針對各向異性板狀傳播介質(zhì)中的聲傳播模型建立問題,Solie 和Auld[40]提出了部分波分析法,其原理為:諧波在兩個邊界面處不斷反射、疊加,在穩(wěn)定狀態(tài)下,形成沿板延伸方向的行波和厚度方向的駐波,直接利用這兩種波的位移建模,能夠直觀的給出各向異性介質(zhì)波傳播的物理特性相關(guān)信息[16].

3.2 計入流固耦合邊界條件的彈性板波導(dǎo)模型

浸沒式彈性板波導(dǎo)模型是上述自由彈性板模型的延伸,關(guān)鍵區(qū)別在于,自由板模型的零應(yīng)力邊界阻斷了能量傳輸,而浸沒式模型中外部流體帶來的法向應(yīng)力連續(xù)邊界條件導(dǎo)致波導(dǎo)內(nèi)聲能量的外泄,其形成過程物理模型如圖2(a)所示.

圖2 彈性波導(dǎo)物理模型 (a)浸沒式彈性板波導(dǎo);(b)浮冰波導(dǎo)Fig.2.Physical model of the elastic waveguide:(a) Immersed elastic plate;(b) floating ice floe.

1945 年,Osborne 等[41]將Lamb[37]所提方法推廣到浸入無限液體空間的彈性板中.雖然上下表面邊界呈現(xiàn)法向壓力、位移連續(xù),但仍保持了空間對稱性,因此依舊可以分為對稱、反對稱模態(tài)進行簡化求解,獲得對稱模態(tài)((1)式)和反對稱模態(tài)((2)式)的三階行列式:

Dayal 和Vinay[42]用部分波分析法給出了浸沒于液體中的各向異性板頻散方程,并結(jié)合實驗討論了泄漏Lamb 波的衰減問題;Wu 和Zhu[43]通過給液體空間加以厚度限制,討論了有限厚度液層中彈性板的頻散特性,后給出了有限厚度黏性液體空間中彈性板的頻散方程.需要指出,超聲研究領(lǐng)域常以金屬材料為研究對象,其材料聲阻抗與液體差異極大,這與海冰聲學(xué)的應(yīng)用場景存在顯著差異,故其研究結(jié)果雖具有指導(dǎo)意義但不適于直接闡釋海冰聲波導(dǎo)現(xiàn)象.

3.3 計入非對稱流固耦合邊界條件的浮冰波導(dǎo)模型

不同于3.1 和3.2 節(jié)所述問題,浮冰上下邊界條件的不對稱性導(dǎo)致對應(yīng)頻散方程的建立過程不能簡化為對稱模態(tài)和反對稱模態(tài),增加了建模復(fù)雜度,其內(nèi)聲傳播及波導(dǎo)形成過程如圖2(b)所示.Press 和Ewing[19]首次在二維空間推導(dǎo)了彈性波在浮冰中傳播的特征方程((3)式),并表明與自由彈性板彎曲波相比,浮冰中流體耦合彎曲波、空氣耦合彎曲波發(fā)生了顯著變化[44,45].1995 年,Yang和Yates[46]基于Graff[47]的液體負載薄板理論建模方法代入冰的彎曲剛度和任意泊松比計算了垂直沖擊力作用下的冰振動:

其中

式中ρi為冰層密度.

3.4 分層海冰波導(dǎo)模型

在各向同性、均勻、水平無限假設(shè)下,分層海冰波導(dǎo)模型與固體多層板問題本質(zhì)上類似,將多層固體介質(zhì)中聲傳播建模方法遷移至分層海冰甚至更復(fù)雜的冰雪層狀模型具有極高的可行性.Thomson[48]率先提出了用于多層介質(zhì)建模的傳遞矩陣法,其基本原理為將多層系統(tǒng)的位移和應(yīng)力關(guān)系濃縮成一個四維方程組,從而將第一分界面的邊界條件和最后一個分界面的邊界條件聯(lián)系起來,得到多層介質(zhì)頻散方程(圖3).Haskell[49]對Thomson 提出的矩陣進行修正,將應(yīng)變連續(xù)的邊界條件改為應(yīng)力連續(xù),得到了更準確的Thomson-Haskell 矩陣,但其在數(shù)值求解過程中面臨大頻厚積問題 (largefdproblem),使矩陣呈現(xiàn)病態(tài).隨后,Knopoff[50]提出了Thomson-Haskell 傳遞矩陣法的替代方法—全局矩陣法,依據(jù)不同介質(zhì)分界面處的邊界條件,將各層方程均詳盡列出并聯(lián)立以完成對波傳播問題的完整描述.Randall[51]對Knopoff 矩陣法進行簡化,將依賴于頻率的變量從矩陣運算中分離出來,提高了頻散曲線的計算速度,并考慮了液體負載.全局矩陣法魯棒性強,能夠克服傳遞矩陣法的大頻厚積問題,但是在處理多層結(jié)構(gòu)或復(fù)雜成層介質(zhì)時,物理模型層數(shù)增加導(dǎo)致全局矩陣體積龐大且構(gòu)建困難,其建模與求解難度均顯著提高.

圖3 多層介質(zhì)物理模型示意圖[52]Fig.3.Schematic diagram of physical model of multilayered medium[52].

Lowe[52]進一步討論了傳遞矩陣法和全局矩陣法對流固兩相多層介質(zhì)的適用性,提出可通過設(shè)置極低的剪切波波速來近似流體中剪切運動忽略不計的情況,從而構(gòu)建聲傳播模型,但并未對結(jié)果進行展示.Yu 和Tian[53]以上述方法為依據(jù),應(yīng)用全局矩陣法建立了一面浸水的鋼板導(dǎo)波傳播模型,證明了該方法對于一側(cè)浸液薄板的適用性.

對比上述海冰建模方法,Press 法僅適用于兩層介質(zhì)模型,而對于更貼合實際的精確模型,則需考慮空氣、積雪或海冰內(nèi)部聲速梯度,傳遞矩陣法和全局矩陣法更為適用.

4 冰層波導(dǎo)模型求解

海冰中的彈性波導(dǎo)模型已經(jīng)將各層內(nèi)連續(xù)體動力學(xué)理論與各層之間界面處的相互作用條件結(jié)合在一起,要想獲得海冰內(nèi)部的頻散響應(yīng)并進一步分析其內(nèi)部導(dǎo)波的多模態(tài)特征,實現(xiàn)對頻散方程的高精度求解十分必要.頻散方程本質(zhì)為超越方程,即其內(nèi)所含函數(shù)因變量無法基于自變量用多項式直接標識,使用解析方法對其求解難以實現(xiàn),須采用數(shù)值方法進行求解.

頻散方程數(shù)值求解的基本思路大致分為兩種:1)固定相速度求頻率[49,51,53,54],能夠簡化頻散方程,使計算量變小,但由于不同模態(tài)頻散曲線存在相速度近似的區(qū)域,該方法容易出現(xiàn)模態(tài)混淆,導(dǎo)致求解錯誤;2)固定頻率求相速度[55?62]則能夠確保各模態(tài)頻散曲線的求解準確度.求解頻散方程的常用方法包括經(jīng)典二分法、Muller 法、局部峰值搜索法、譜方法,二分法通常用于求解實數(shù)根,而后3 種方法可以解決浮冰聲能量泄漏帶來的復(fù)數(shù)根求解問題.

4.1 經(jīng)典二分法

作為求解Lamb 波頻散方程實數(shù)根的最經(jīng)典方法,二分法的原理為連續(xù)函數(shù)的介值定理,是一種逼近零點法.Schwab 和Knopoff[58]介紹了求解彈性波頻散方程的二分法,得到了精度較高的頻散曲線;Barshinger[61]對比指出二分法相對于牛頓法在求解可靠性上具有顯著優(yōu)勢.因此,對于自由彈性板模型求解,二分法已被廣泛應(yīng)用;對于全浸沒彈性板,由于邊界條件滿足對稱性,可套用二分法思路完成常見金屬材料全浸沒頻散方程的求解.

圖4 所示為自由彈性冰層(星狀)和全浸沒彈性冰層(點狀)頻散曲線:藍色表示對稱模態(tài),紅色表示反對稱模態(tài).可見,上下表面水層的引入使低階波導(dǎo)模態(tài)產(chǎn)生明顯變化,并帶來新模態(tài).但是由于無法計入聲能量泄漏帶來的衰減效果,其結(jié)果的正確性與完備性尚難以滿足要求.

圖4 經(jīng)典二分法繪制自由彈性冰層(*)及全浸沒彈性冰層(·)頻散曲線Fig.4.Dispersion curves of ice floe in vacuum (*) and immersed in water (·) calculated using the bisection method.

綜上所述,二分法不需要嚴格的收斂條件,易于實現(xiàn),魯棒性強,應(yīng)用十分廣泛.但其求解速度緩慢,且只能在實數(shù)空間內(nèi)求解彈性波頻散方程,不能滿足介質(zhì)有阻尼、黏彈性、存在泄漏等情況下的復(fù)數(shù)域模型求解.

4.2 復(fù)空間求解方法

上述經(jīng)典二分法雖應(yīng)用廣泛,但無法求解頻散方程的復(fù)數(shù)根,因此進一步介紹能在復(fù)數(shù)域求解頻散方程的Muller 法和局部峰值搜索法.

Muller 法是線性插值的進一步延伸,采用經(jīng)過3 個已知點所確定的拋物線計算下一個近似解,因此也稱拋物線法.首先對復(fù)平面進行劃分,直到某一網(wǎng)格內(nèi)只有一個根,Muller 法才適用.2000 年,Rose[36]采用Muller 法實現(xiàn)了復(fù)空間內(nèi)的彈性波頻散方程求解.隨后,Barshinger 和Rose[61]進一步指出在求解頻散方程的復(fù)數(shù)根時雖然可采用Muller法,但其是一種斜率跟蹤程序,面臨尋根不全的問題.2010 年,龔家元[63]給出了基于輻角原理的Muller 法的具體步驟,與常用Muller 法相似,其能在單一劃分網(wǎng)格內(nèi)只有唯一根的前提下實現(xiàn)頻散方程的復(fù)空間求解.

局部峰值搜索法由極小值概念拓展而來:假設(shè)復(fù)函數(shù)除有限極點外在復(fù)平面上處處解析,那么其每個極點處都可以形成一個局部峰.因此,只需要在整個復(fù)平面內(nèi)搜索每個局部峰值的位置,即可得到極點所在的復(fù)區(qū)間,再采用迭代或其他方法找到極點的準確值.龔家元[63]給出了局部峰值搜索法繪制的自由板實相速度頻散曲線結(jié)果圖,與二分法結(jié)果完全重合,證明了局部峰值搜索法的可靠性.

由于浮冰與全浸沒彈性冰層類似,均存在冰水耦合面,慮及由此產(chǎn)生的能量泄漏,在數(shù)值求解頻散方程過程中需要在復(fù)數(shù)空間對波數(shù)k進行取值,實部表示波分量,虛部表示能量衰減.基于局部峰值搜索法,馬丁一等[64]求解得到了浮冰波導(dǎo)頻散曲線,分析了波數(shù)虛部帶來的能量泄漏問題,其結(jié)果與譜方法結(jié)果的對比如圖5 所示,藍色表示波數(shù)實部,紅色表示波數(shù)虛部.

局部峰值搜索法雖可實現(xiàn)復(fù)數(shù)空間內(nèi)的頻散曲線求解,但其存在模態(tài)混淆問題,即求解所得的方程根在參數(shù)空間上為一組散點而非數(shù)條連續(xù)曲線,難以確定每個根的模態(tài)歸屬.若將其與斜率法或外推法等快速收斂方法結(jié)合,則可以完成模態(tài)分離,以便逐一進行模態(tài)分析,并得到群速度頻散曲線.

除此之外,基于線性插值及極小值方法延伸得到的其他頻散曲線復(fù)數(shù)空間求解方法也被使用.趙夙文[65]將最陡下降法與牛頓迭代法相結(jié)合,實現(xiàn)了頻散方程在復(fù)數(shù)域的求解,既保證了收斂性又提高了收斂速度.劉增華等[62]用極小值法得到許多離散的頻率-相速度點,再用斜率法將這些點連起來構(gòu)成不同的模態(tài),得到群速度頻散曲線.

4.3 譜方法

譜方法是20 世紀70 年代發(fā)展起來的一種數(shù)值求解偏微分方程的方法,它具有“無窮階”收斂性,算法速度較快.區(qū)別于上述兩類求解頻散方程的方法,譜方法通過譜函數(shù)數(shù)值插值直接求解微分方程,其譜函數(shù)一般選擇Chebyshev 多項式函數(shù).通過正交展開未知函數(shù),實現(xiàn)微分算子的矩陣化,從而將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗芯€性方程組,使問題轉(zhuǎn)化為矩陣本征值和本征向量求解的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題.

上述多種尋根法已能夠滿足大部分應(yīng)用場景的計算需求.但對于有阻尼、非均勻及明顯各向異性的傳播介質(zhì)等不易尋根的情況,譜方法的優(yōu)勢得以顯現(xiàn).2004 年,Adamou 和Craster[66]將譜方法用于彈性波頻散曲線計算,并將譜方法與尋根法進行對比,證明了譜方法在有阻尼、非均勻和各向異性介質(zhì)中的優(yōu)越性,其具備編碼工作量小、速度高、精度高、模態(tài)自動生成等優(yōu)點,并且沒有特征根丟失.此后,譜方法在彈性波理論求解研究中被廣泛應(yīng)用.Karpfinger 等[67,68]將譜方法應(yīng)用于任意層數(shù)流體和固體層的均勻柱狀結(jié)構(gòu)頻散曲線計算.王獻忠等[69]將譜方法擴展到求解有阻尼負載的圓柱殼結(jié)構(gòu)頻散問題.Zharnikov 等[70]將譜方法用于各向異性波導(dǎo)中頻散曲線的計算,并用實驗驗證了該方法的準確性和有效性.Quintanilla 等[71]使用譜方法計算了各向異性板狀、柱狀多層結(jié)構(gòu)頻散曲線,并提出譜方法具備處理能量泄漏問題的能力.

上述研究證明,譜方法克服了常規(guī)尋根法的固有限制,除了配置點數(shù)優(yōu)選尚有欠缺外,相對傳統(tǒng)尋根法在具有較好分析精度的同時還具有極高的分析效率,在求解黏彈性材料、多孔材料、各向異性結(jié)構(gòu)等波導(dǎo)中的彈性波頻散問題方面具有良好的應(yīng)用前景.圖5 所示為作者在復(fù)數(shù)空間求解浮冰頻散方程所得結(jié)果,可以看出,兩種方法求解結(jié)果基本一致,且相同精度下譜方法速度更快.

當然,除上述應(yīng)用較為廣泛的方法之外,還有一些求解復(fù)雜超越方程的其他方法被提出以應(yīng)對特定場景下的需求:針對黏彈性帶來的衰減問題,Sinha 和Tiersten[72]提出了微擾法,Jen 等[73]在此基礎(chǔ)上進一步優(yōu)化并提出了泰勒級數(shù)逼近法;Porter和Reiss[74]用有限差分法數(shù)值計算了成層海洋介質(zhì)中的簡正波傳播問題;Brazier-Smith 和Scott[75]將繞數(shù)積分法應(yīng)用于頻散方程求解,即在復(fù)平面上圍繞閉合路徑的輪廓積分,以確定封閉區(qū)域中是否存在零點和極點;何世平等[76]基于繞數(shù)積分法提出了自適應(yīng)繞數(shù)積分法,而Ivansson[77]提出了一種適用于流固介質(zhì)的高階自適應(yīng)積分方法,實現(xiàn)了超越方程的復(fù)數(shù)域求解.Wang 等[78,79]提出了一種針對淺水波導(dǎo)中法向模態(tài)復(fù)本征值的Hamilton 求解方法,通過保持相函數(shù)為實,跟蹤其在復(fù)平面的路徑.該方法較Krakan 方法性能更優(yōu),可以推廣至底部為流體/彈性體的Pekeris 波導(dǎo)頻散曲線求解.

5 冰聲參數(shù)選取

5.1 海冰聲速評估與取值

冰聲波導(dǎo)模型的構(gòu)建目的是準確描述海冰聲傳播規(guī)律與特點,為極地冰聲研究與應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).從模型準確性角度出發(fā),除上述波導(dǎo)理論建模與數(shù)值求解方法外,模型聲參數(shù)的選擇同樣起著決定性作用.上述浮冰波導(dǎo)模型構(gòu)建過程共涉及兩個海冰物理參數(shù),即冰厚與聲速,其中冰厚與頻率通常作為“頻厚積”聯(lián)合作用,不受其絕對取值影響.故接下來將圍繞海冰聲速的評估與取值展開介紹.

冰中聲速是最重要的海冰物理參數(shù)之一,是海冰彈性特征的直接體現(xiàn).其傳統(tǒng)測定方法包括:基于靜力加載的靜態(tài)彈性表征法;基于諧振頻率測量的動態(tài)彈性表征法;基于時差法(TOF)的聲速直接測量法.上述3 種方法能夠準確測量/評估常規(guī)彈性介質(zhì)中的聲速,然而在面對極地海冰聲速表征需求時,由于須對冰芯進行提取和保存導(dǎo)致其應(yīng)用效果受限.自然環(huán)境下極地海冰的彈性特征對其溫度依賴性極高,且內(nèi)部存在非線性溫度梯度[80],冰上表面溫度在寒冷空氣影響下可達零下數(shù)十度,而冰下表面溫度與海水接近,僅為–2 ℃.因此,冰樣提取后暴露于室外空氣或進入室內(nèi)進行測試時的溫度波動會給測量結(jié)果帶來較大的不確定性.學(xué)者們針對此問題開展了一系列研究以發(fā)展穩(wěn)定、高效的海冰聲速原位測量技術(shù).

1934 年,Ewing 等[81]在淡水冰面開展實驗,通過人工敲擊并記錄冰層表面震動評估了冰中板間縱波和彎曲波傳播速度.Crary[82]在北冰洋弗萊徹冰島上使用爆炸聲源進行冰聲參數(shù)原位測量實驗,測得剪切波速度為1841 m/s,縱波速度為3780 m/s.1957—1958 年,Hunkins[83]在北極中部測站開展長期觀測,測得剪切波波速區(qū)間為1552 m/s(夏季)—1862 m/s(冬季);縱波速度區(qū)間為2802 m/s(夏季)—3401 m/s(冬季).Yang 等[34]通過結(jié)合使用指向性人工振源與三分量地震儀,在北極測量并評估得到剪切波速度為1620 m/s,縱波速度為2900 m/s.作者團隊通過改進Yang 等[34]所提方法,于2019 年冬季在松花江哈爾濱段測得剪切波速度1855 m/s,縱波速度3419 m/s.前期冰力學(xué)研究成果[14,84]指出,在低溫條件下海冰與河冰的彈性特征存在一致性,而實驗期間大氣溫度接近–20 ℃,滿足上述條件,因此該結(jié)果對于海冰聲參數(shù)選擇與評估具有實際指導(dǎo)意義.

基于上述結(jié)果整理得到可用于建模的北極海冰聲速參數(shù)為:夏季剪切波波速為1600 m/s,縱波波速為2900 m/s;冬季剪切波波速為1850 m/s,縱波波速為3500 m/s.

5.2 海冰內(nèi)部聲速梯度影響因素分析

聲速在垂向上的復(fù)雜剖面受到海冰物理及環(huán)境參數(shù)變化(密度、鹽度、溫度等)的顯著影響.在眾多海冰物理參數(shù)中,對其聲速梯度及彈性特征影響比較明顯的是密度及鹽度變化.海冰密度一定程度上受到冰中以氣泡形式出現(xiàn)的空氣含量影響,冰層的氣泡含量越大,密度越小.研究發(fā)現(xiàn),冰層密度隨冰的類型和冰齡變化較大,且吃水線上方和吃水線下方的海冰密度差異明顯,而同一類冰在垂直方向上的密度剖面變化不大[85].相比于密度,鹽度是海冰與湖冰生長過程中的最顯著差別,受海水鹽度及冰生長速率的影響,海冰的鹽度梯度分布復(fù)雜且具有明顯的分層結(jié)構(gòu).并且,鹽度對深度的依賴性隨溫度變化十分顯著,多年冰的平均鹽度存在年度周期性變化:生長季末達到最大值,融化季末達到最小值[86,87].在連續(xù)凍結(jié)的冰層內(nèi),海冰鹽度呈“C”型分布,即冰層的表層及底層鹽度偏高,且底層的鹽度略高于表層[88].通常情況下,海冰的平均鹽度在6‰以下,明顯低于海水的鹽度(通常為32‰—35‰).

除在海冰的形成、生長過程中由于其物質(zhì)構(gòu)成及微結(jié)構(gòu)特性差異所導(dǎo)致的物理水平分層結(jié)構(gòu)外,溫度等環(huán)境因素也會加劇其內(nèi)部彈性特征的垂向非均勻性.事實上,溫度是決定海冰內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的關(guān)鍵性因素.本文所提及的在海上形成、生長、消融的極地海冰,上方空氣與下方海水層的高溫度差不容忽視.冬季的極地海冰上表面溫度接近環(huán)境空氣溫度,而下表面溫度始終處于海水的冰點(通常為–1.8 ℃),導(dǎo)致其內(nèi)部存在溫度梯度[89],通常接近線性.特別是在海冰下表面與海水相鄰處,較高的溫度影響了其物態(tài)的穩(wěn)定存在,直接影響海冰鹽度、密度、厚度等物理特性[14].上述海冰內(nèi)部溫度、鹽度變化導(dǎo)致彈性波波速的劇烈變化,使其產(chǎn)生垂向聲速梯度,在海冰聲波導(dǎo)建模過程中需將其視為分層結(jié)構(gòu).

6 總結(jié)

本文首先針對極地海冰聲波導(dǎo)的理論建模與求解思路進行了梳理.

1)極簡化條件下,冰層可被視為自由板進行建模,并使用傳統(tǒng)二分法完成求解,建模與求解過程簡單高效.然而,所得頻散特性中QS 模態(tài)缺失且低頻模態(tài)失真明顯,無法實現(xiàn)對海冰聲學(xué)特性的準確描述.

2)計入冰水耦合界面后,針對冰-水宏觀分層結(jié)構(gòu),需調(diào)整邊界條件建立適用的浮冰模型.同時,冰、水間聲阻抗接近帶來了聲能量泄漏,針對由此出現(xiàn)的頻散方程復(fù)數(shù)域求解需求,對比介紹了Muller 法、局部峰值搜索法和譜方法等潛在求解方法.同時指出,面對聲阻抗與常見液體差別明顯的金屬板殼問題時,由于其聲能量泄漏微弱,可用傳統(tǒng)二分法快速完成近似求解.

3)若進一步引入空氣、雪或聲速梯度等因素,建模對象即變?yōu)槎鄬咏Y(jié)構(gòu),需采用傳遞矩陣法或全局矩陣法.基于隱性邊界條件的傳遞矩陣法靈活、高效,面對不需計算內(nèi)部各分界面處響應(yīng)細節(jié)的場景優(yōu)勢顯著,但存在“大頻厚積”問題;基于顯性邊界條件的全局矩陣法魯棒性強,能夠獲得各層分界面處的響應(yīng),并克服“大頻厚積”問題,但物理模型層數(shù)增加導(dǎo)致全局矩陣體積龐大且構(gòu)建困難,其建模與求解難度均顯著提高.

如前所述,聲波導(dǎo)研究中常將海冰簡化為水平板狀結(jié)構(gòu),而現(xiàn)實海冰在其上下表面會呈現(xiàn)不同尺度的隨機起伏.上述隨機起伏主要源于海洋環(huán)境下的海冰相互作用,其統(tǒng)計分布特性差異明顯,即使相同海域內(nèi)的海冰也可能存在較大差別[90,91].本文從聲學(xué)角度出發(fā)討論上述表面起伏對冰聲波導(dǎo)研究的影響,以1 kHz 以內(nèi)低頻段波長為基本單位將上述變化簡單分為3 類.1)粗糙下表面.冰下表面柱狀過冷水凝結(jié)導(dǎo)致的典型棱柱狀隨機起伏,多存在于未變形冰;由于其水平/垂向尺度變化范圍遠小于波長[92],對于聲波導(dǎo)的影響可忽略不計.2)近線性緩慢變化.常見于中等變形冰,其水平與垂向尺度上的變化范圍均可達到米級,然而其空間變化速率緩慢(在以波長為單位的水平范圍內(nèi),海冰厚度變化遠小于波長)且接近線性[93,94].根據(jù)前期針對線性緩變截面材料中的Lamb 波研究結(jié)果[95]可知,上述表面起伏并不改變冰聲波導(dǎo)的頻散特性,僅需對觀測位置的實際冰厚進行線性修正.3)大尺度突變.屬于強變形冰,水平與垂向尺度上的變化范圍均可達波長的數(shù)倍,多見于海冰相互擠壓、堆疊所形成的冰脊[96].Marical 等[97,98]基于實驗數(shù)據(jù)分別討論了具有高斯變化的變截面彈性平板中的導(dǎo)波問題,其研究指出:變截面區(qū)域內(nèi)導(dǎo)波模態(tài)的相速度和波數(shù)雖會在傳播過程中不斷變化,但僅取決于局部厚度;隨傳播進入厚度減小區(qū)域,還會出現(xiàn)反向傳播現(xiàn)象.但需要指出的是,上述結(jié)果對于變厚度海冰波導(dǎo)建模具有指導(dǎo)意義,但不完全適用.而由常規(guī)海冰擠壓、破裂、堆疊以及再次凍結(jié)所形成的冰脊,其內(nèi)部結(jié)構(gòu)較前文所述冰層結(jié)構(gòu)及物理特性均存在較大差異,聲傳播特性尚不明確.

本文針對海冰聲速的評估與取值方法進行了總結(jié),論證了海冰聲速原位測量技術(shù)的必要性,并整理大量極地海冰聲速數(shù)據(jù),給出一組可用于建模的北極海冰聲速參數(shù),同時討論了海冰溫度、鹽度、密度對海冰分層結(jié)構(gòu)的影響.

海冰聲波導(dǎo)的準確建模一方面依賴于冰聲參數(shù)選取,另一方面則可以反哺于冰聲參數(shù)的原位表征,如將試驗測得特定模態(tài)頻散曲線與理論曲線對比即可反演冰厚等聲參數(shù).1954 年,Oliver 等[99]通過北冰洋波弗特海冰中測得的彎曲波和空氣耦合彎曲波頻散曲線推測冰厚,但其結(jié)果的誤差較大.2016 年,Sutherland 等[100]提出冰中裂縫影響彎曲波傳播.2012 年,Marsan 等[101]僅布放4 臺地震儀,利用彎曲波在北極海冰中傳播的頻散特性實現(xiàn)了冰厚的局部測量,又于2019 年從北極環(huán)境地震噪聲記錄中觀測到了水平剪切波[102].2017 年,Moreau 等[103]從實驗室實驗數(shù)據(jù)中提取出冰層彈性波頻散曲線,證明了其具備推測冰層厚度及其他彈性性質(zhì)的能力,并于2020 年將該方法應(yīng)用于北極斯瓦爾巴群島附近的外場海冰實驗[104],布放247 臺地震儀組成接收陣列,基于頻散信息估算海冰厚度和彈性性質(zhì),進一步驗證了該方法的可用性.

需要指出,雖然上述基于各向同性、均勻、水平無限假設(shè)的模型已能夠滿足常規(guī)冰聲波導(dǎo)的研究與應(yīng)用需求,但為了獲得更貼合極地海冰真實情況的模型,需進一步計入海冰介質(zhì)的復(fù)雜性(如黏彈性、多孔特性及各向異性等).這不僅會大大增加建模與求解難度,其對應(yīng)冰聲參數(shù)(阻尼系數(shù)、孔隙率及各向異性彈性參數(shù)等)的評估與表征方法也有待進一步的研究與發(fā)展.因此,如何建立并求解更貼合極地海冰真實情況的精細化模型,是未來極地冰聲研究的重點之一.

相比美、俄等北極國家,中國極地聲學(xué)研究起步較晚,且海冰聲學(xué)以及冰層波導(dǎo)理論與應(yīng)用領(lǐng)域的研究相比于極地水聲學(xué)略顯遲滯.現(xiàn)有冰聲波導(dǎo)的建模與求解方法多借鑒于超聲彈性波導(dǎo)研究,而傳播介質(zhì)物理特性的差異導(dǎo)致上述方法在復(fù)雜冰結(jié)構(gòu)中的適用性與正確性尚需深入討論.另一方面,冰聲傳播與冰聲波導(dǎo)研究對了解和開發(fā)極地具有重要的積極意義:冰聲波導(dǎo)正演模型可用于海冰聲參數(shù)的反演;泄漏模態(tài)導(dǎo)波與冰層聲反射透射系數(shù)結(jié)合能夠加快冰下水聲學(xué)研究進程;與冰聲激發(fā)技術(shù)研究相結(jié)合可提高跨冰介質(zhì)聲通信質(zhì)量,進而為冰下目標探測與定位提供幫助并服務(wù)于極地探通一體化網(wǎng)絡(luò)的最終構(gòu)建.