吳 越

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130000）

0 引言

不確定性時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)系統(tǒng)源于工業(yè)生產(chǎn)等控制領(lǐng)域中的應(yīng)用，現(xiàn)在已經(jīng)成為現(xiàn)代控制科學(xué)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域.關(guān)于系統(tǒng)的濾波器設(shè)計(jì)已有了比較詳盡的研究，例如，文獻(xiàn)［1］研究了含有不確定結(jié)構(gòu)的時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題，文獻(xiàn)［2］得到了連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)滯依賴和時(shí)滯獨(dú)立兩種不同情形下的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別條件形式等等.在上述文獻(xiàn)中對(duì)連續(xù)系統(tǒng)的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析問題的討論較為詳細(xì)，眾多學(xué)者對(duì)線性時(shí)滯控制系統(tǒng)中的濾波器設(shè)計(jì)問題展開了研究，取得了許多成果［3-4］，但并未涉及濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)其他層面的研究.

本文運(yùn)用線性矩陣不等式方法，主要對(duì)奇異攝動(dòng)時(shí)滯濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題進(jìn)行研究，對(duì)帶有控制輸入的奇異攝動(dòng)時(shí)滯濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)無記憶狀態(tài)反饋控制器［5］，借助于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣分析，構(gòu)造一個(gè)新的Lyapunov 泛函，利用交叉項(xiàng)界定方法，推出控制器在時(shí)滯依賴和時(shí)滯獨(dú)立情況下的充分性判據(jù).

1 問題描述和引理

1.1 奇異攝動(dòng)時(shí)滯濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)概述

首先考慮帶有干擾輸入的不確定時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)

其中：τ，μ是已知實(shí)常數(shù)；F(t)∈Ri×j是范數(shù)有界的不確定系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣，具有如下范數(shù)有界不確定性結(jié)構(gòu)

在如下濾波器

的作用下，形成如下濾波誤差動(dòng)態(tài)方程為

考慮帶有控制輸入和干擾輸入的奇異攝動(dòng)時(shí)滯濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

其中：u(t)∈Rm是控制輸入向量；B是已知的適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常矩陣.

1.2 線性不等式理論及相關(guān)引理

引理2［7］對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣E，D和對(duì)稱矩陣Y，若不確定矩陣F(t)滿足FT(t)F(t)≤I，則Y+EF(t)D+DTFT(t)ET＜0的充分必要條件是存在常數(shù)η＞0，使得Y+ηEET+η-1DTD＜0.

2 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)一個(gè)無記憶狀態(tài)反饋控制器

其中：K為未知的控制器增益矩陣.則閉環(huán)系統(tǒng)為

2.1 時(shí)滯依賴的控制器設(shè)計(jì)

證明 構(gòu)造函數(shù)V(x?(t))=V1(t)+V2(t)+V3(t)，

其中：

其中：

因此

其中：

令ΔAd=DF(t)Ed，則由引理1，G(ε)＜0等價(jià)于

由線性矩陣不等式條件知，G( 0 )＜0，G()＜0.根據(jù)引理3，得G(ε)＜0，因此?((t))＜0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

為了求得控制器參數(shù)，需要去掉不確定函數(shù)F(t)，使得G(ε)＜0.對(duì)G(ε)＜0 左乘對(duì)角矩陣diag{ZT(ε)ZT(ε)ZT(ε)}，右乘其轉(zhuǎn)置，記KZ(ε)=?，再由引理1，存在一個(gè)常數(shù)γ＞0，得

2.2 時(shí)滯獨(dú)立的控制器設(shè)計(jì)

定理3 給定＞0，濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)對(duì)?ε∈( 0,)是漸近穩(wěn)定的.若存在對(duì)稱正定矩陣Q＞0，適當(dāng)維數(shù)的矩陣P，對(duì)稱陣N，P，以及≥0，矩陣Zi(i= 1,2,3,4,5 )且Zi=(i= 1,2,3,4 )，使得不確定性函數(shù)滿足條件( 3 )，則下列矩陣不等式條件可行

則u(t)=Kx(t)為系統(tǒng)( 6 )的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器，其中：K=?Z-1(ε)，?ε∈( 0,].

證明 構(gòu)造函數(shù)V(x?(t))=V1(t)+V2(t)，

將V((t))沿著閉環(huán)系統(tǒng)的任意軌跡微分，得

證明方法與定理1類似，故略.

定理4 給定＞0，濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)對(duì)?ε∈( 0,)是漸近穩(wěn)定的.若存在對(duì)稱正定矩陣Q＞0，適當(dāng)維數(shù)的矩陣P，對(duì)稱陣N，R以及≥0，γ＞0，矩陣Zi(i= 1,2,3,4,5 )且則下列矩陣不等式條件可行

3 結(jié)論

本文對(duì)奇異攝動(dòng)時(shí)滯濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行無記憶狀態(tài)反饋控制器系統(tǒng)設(shè)計(jì)研究，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，使濾波誤差動(dòng)態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，推出時(shí)滯依賴和時(shí)滯獨(dú)立情形下的濾波誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)定理，該系統(tǒng)綜合性較高，盡可能減弱了時(shí)滯相關(guān)結(jié)論保守性的問題.