胡東明 周堯

(湖北省武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)(陽邏校區(qū)))

所謂關(guān)聯(lián)速度模型,就是兩個(gè)物體通過繩、桿或直接接觸發(fā)生聯(lián)系,求兩物體速度之間的關(guān)系.解決問題的基本方法是微元法,即兩物體在相同的極小時(shí)間內(nèi)發(fā)生極小位移,由于繩、桿不可伸長(zhǎng),或直接接觸的物體不可形變,兩物體沿繩、桿或垂直于接觸面方向的分位移相同,即分速度相同.在微元法的基礎(chǔ)上,還可以衍變出效果分解法、瞬時(shí)功率法、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法等方法,這些研究方法適用于經(jīng)典物理學(xué)中一般繩、桿和剛體模型.通過對(duì)此類問題的研究,可以加深對(duì)運(yùn)動(dòng)的合成與分解方法的理解.下面舉例分析.

1 繩連接物體模型

用輕繩連接的兩物體,將兩物體的速度沿繩方向和垂直于繩方向正交分解,由于輕繩不可伸長(zhǎng),兩物體沿繩方向速度相同.

例1如圖1 所示,某人站在岸上通過繞過定滑輪的繩子向岸邊拉船,他拉繩子的速率v不變,當(dāng)拉船的繩子與水平面成θ角時(shí),船前進(jìn)的速度u為多大?

圖1

解析

解法1效果分解法

將船的速度u沿繩和垂直于繩兩個(gè)方向正交分解,沿繩方向的分速度與人拉繩的速度相同,即ucosθ＝v,解得u＝.

點(diǎn)評(píng)

為什么要將船的速度正交分解?船有沿繩斜向上運(yùn)動(dòng)和垂直于繩繞定滑輪的接觸點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效果.以繩與定滑輪的接觸點(diǎn)為參照物,船在沿繩方向的分速度與繩的速度相同,另一分速度使船繞接觸點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),即垂直于繩方向.

解法2微元法

如圖2,取極短的時(shí)間Δt,在這一小段時(shí)間內(nèi),人和船的速度都不變,船從A運(yùn)動(dòng)到B,位移為Δx＝uΔt,繩拉過的位移為Δl＝vΔt.這個(gè)運(yùn)動(dòng)可設(shè)想為由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成:小船先被繩拉過Δl到C點(diǎn),再隨繩繞滑輪O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn).在OA上取OC＝OB,則AC＝Δl,由于時(shí)間Δt極短,∠BOC趨近于零.

圖2

點(diǎn)評(píng)

微元法很有說服力,能讓學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的角度很好地理解船速與繩速的關(guān)系.

解法3瞬時(shí)功率法

從能量的角度理解,繩既不會(huì)提供能量,也不會(huì)消耗能量,即繩兩端彈力的瞬時(shí)功率大小相等.設(shè)人對(duì)繩的拉力和繩對(duì)船的拉力大小均為T,人對(duì)繩的拉力的瞬時(shí)功率大小為P1＝Tv,繩對(duì)船的拉力的瞬時(shí)功率大小為P2＝Tucosθ,由P1＝P2可解得u＝.

點(diǎn)評(píng)

根據(jù)能量守恒,繩或桿連接體間相互作用力的瞬時(shí)功率相等.如果中間是用彈簧或橡皮筋連接,由于有彈性勢(shì)能變化,兩端連接體間的相互作用力的瞬時(shí)功率就不相等了.

例2如圖3 所示,懸線一端固定在天花板上的O點(diǎn),另一端穿過一張光盤的中央小孔后拴著一個(gè)小球,小球靜止時(shí),豎直懸線剛好挨著水平桌面的邊緣.現(xiàn)將光盤按在桌面上,并沿桌面邊緣以速度v勻速移動(dòng),移動(dòng)過程中,光盤中央小孔始終緊挨桌面邊緣,當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為θ時(shí),小球移動(dòng)的速度大小為().

圖3

解析

解法1效果分解法

光盤有沿懸線方向斜向下運(yùn)動(dòng)和垂直于懸線繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效果.將光盤水平向右移動(dòng)的速度v分解為沿懸線方向的速度和垂直于懸線方向的速度,而小球上升的速度大小與光盤沿懸線方向斜向下的分速度大小相等,為vsinθ,故小球的運(yùn)動(dòng)速度大小為,故選項(xiàng)A 正確.

解法2微元法

如圖4 所示,取極短的時(shí)間Δt,在這一小段時(shí)間內(nèi),光盤和小球的速度都不變,光盤從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),位移為Δx＝vΔt,在OC上取OD＝OB,則小球上升的位移為Δl＝uΔt,u為小球豎直方向的分速度,且CD＝Δl,由于時(shí)間Δt極短,∠BOD趨近于零,∠BCD趨近于90°－θ.

圖4

在△BCD中,∠BDC≈90°,CD＝BCcos(90°－θ),即u＝vsinθ.

小球在水平方向與光盤同步,速度為v,故小球的實(shí)際速度為水平方向速度v與豎直方向速度u的合成,即為,故選項(xiàng)A正確.

點(diǎn)評(píng)

微元法雖然復(fù)雜些,但是能將原理分析得清清楚楚,注意本題只分析出了小球豎直方向的分速度u.由于小球合速度方向不容易分析,因此,本題用瞬時(shí)功率法求解難度較大.

例3(多選)(2013年上海卷)如圖5為在平靜海面上,兩艘拖船A、B拖著駁船C運(yùn)動(dòng)的示意圖.A、B的速度分別沿著纜繩CA、CB方向,A、B、C不在一條直線上.由于纜繩不可伸長(zhǎng),因此C的速度在CA、CB方向的投影分別與A、B的速度相等,由此可知C的().

圖5

A.速度大小可以介于A、B的速度大小之間

B.速度大小一定不小于A、B的速度大小

C.速度方向可能在CA和CB的夾角范圍外

D.速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內(nèi)

解析

將C的速度沿CA方向和垂直于CA方向正交分解,根據(jù)C的速度在CA、CB方向的投影分別與A、B的速度相等可知,C的速度沿CA方向的分速度等于A的速度,所以C的速度大小一定大于A的速度大小;同樣的,將C的速度沿CB方向和垂直于CB方向正交分解,可知C的速度大小一定大于B的速度大小.故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確.若C的速度方向在CA和CB的夾角范圍外,如圖6-甲所示,將C的速度沿CA方向及垂直于CA方向正交分解,也可以如圖6-乙所示,將C的速度沿CB方向及垂直于CB方向正交分解,這兩種分解都是滿足題意的,故C的速度方向可能在CA和CB的夾角范圍內(nèi),也可能在CA和CB的夾角范圍外,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.

圖6

點(diǎn)評(píng)

有同學(xué)想當(dāng)然地認(rèn)為將C的速度沿兩繩方向分解,這是不對(duì)的.根據(jù)微元法分析可知,這里只能正交分解,即C速度應(yīng)該分別沿著兩繩的方向和垂直于兩繩的方向分解,這是因?yàn)閺男Ч峡?C既有沿CA運(yùn)動(dòng)和垂直于CA運(yùn)動(dòng)的效果,又有沿CB運(yùn)動(dòng)和垂直于CB運(yùn)動(dòng)的效果,這就是效果分解法.

2 桿連接物體模型

用輕桿連接的兩物體,將兩物體的速度沿桿方向和垂直于桿方向正交分解,由于輕桿不可伸長(zhǎng),兩物體沿桿方向速度相同,垂直于桿方向角速度相同.

例4如圖7所示,一輕桿連接兩個(gè)小球A和B(可視為質(zhì)點(diǎn)),在一豎直直角形墻角開始運(yùn)動(dòng),當(dāng)桿與豎直墻壁的夾角為θ時(shí),球B的速度大小為vB,求此時(shí)球A的速度大小vA.

圖7

解析

解法1效果分解法

小球A、B分別具有沿桿運(yùn)動(dòng)和垂直于桿轉(zhuǎn)動(dòng)的效果.將vA、vB均沿桿和垂直桿方向分解,由圖8知兩球沿桿方向速度大小相等,即vAcosθ＝vBsinθ,得vA＝vBtanθ.

圖8

解法2相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

以球B為參考系,即假定B球靜止,則A球繞B球做圓周運(yùn)動(dòng).將A球的速度vA沿vB的方向和垂直于桿方向分解如圖9所示,其沿vB方向的分速度與vB相同,由矢量圖可知,vA＝vBtanθ.

圖9

點(diǎn)評(píng)

許多同學(xué)認(rèn)為運(yùn)動(dòng)的合成與分解一定要正交分解,從這一例子可以看出,不一定要正交分解.同樣的,斜拋運(yùn)動(dòng)也可以分解成沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直向下的自由落體運(yùn)動(dòng).

例5一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個(gè)小球A和B(可視為質(zhì)點(diǎn)),將其放在一個(gè)光滑球形容器中從位置1開始下滑,如圖10所示,當(dāng)輕桿到達(dá)位置2時(shí),球A與球形容器球心等高,其速度大小為v1,已知此時(shí)輕桿與水平方向成θ＝30°角,球B的速度大小為v2,則().

圖10

解析

解法1效果分解法

小球A、B分別具有沿桿運(yùn)動(dòng)和垂直于桿轉(zhuǎn)動(dòng)的效果.將v1、v2分別沿桿和垂直于桿方向分解,由圖知兩球沿桿方向速度大小相等,即v1sinθ＝v2sinθ,得v1＝v2,故選項(xiàng)C正確.

圖11

解法2相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

以球B為參考系,即假定B球靜止,則A球繞B球做圓周運(yùn)動(dòng).將A球的速度v1沿v2方向和垂直于桿方向分解如圖12所示,其沿v2方向的分速度與v2相同,由矢量圖可知v1＝v2.

圖12

解法3瞬時(shí)功率法

如圖13所示,桿對(duì)兩球的作用力大小分別為F1和F2,由牛頓第三定律知F1＝F2.兩個(gè)力的瞬時(shí)功率的大小分別為P1＝|F1v1cos(90°＋θ)|,P2＝F2v2cos(90°－θ),由P1＝P2得v1＝v2.

圖13

例6如圖14所示,一輕質(zhì)細(xì)桿OA長(zhǎng)為L(zhǎng),一端可繞固定在水平面上的軸轉(zhuǎn)動(dòng),另一端固定一小球A.一高為h的木塊B夾在水平面與細(xì)桿之間,此時(shí)桿OA與水平面成θ角,木塊向右的速度為v,求此時(shí)A球的速度.

圖14

解析

桿與木塊的接觸點(diǎn)是C點(diǎn),C點(diǎn)的速度與木塊B的速度相同,如圖15所示,將木塊B的速度沿桿和垂直于桿方向分解,得v1＝vsinθ,v2＝vcosθ,在任意時(shí)刻,細(xì)桿OA上各點(diǎn)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同,可得,解得

圖15

點(diǎn)評(píng)

桿連接物體在沿桿方向速度相同,垂直于桿方向角速度相同.這就是效果分解法.

例7如圖16 所示,細(xì)桿ABC靠在固定的半圓上,兩者處于同一豎直平面內(nèi),桿的中點(diǎn)B恰好落在半圓上.已知A端沿半圓直徑方向移動(dòng)的速度大小為vA,試求C端的運(yùn)動(dòng)速度大小vC.

圖16

解析

桿A端速度方向已知,此時(shí)桿中點(diǎn)B的法向速度為零,合速度方向沿桿方向,如圖17 所示,分別作A、B速度垂線AD和BD交于D點(diǎn),D點(diǎn)是A、C兩點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)圓心,即此時(shí)桿AC可認(rèn)為在繞過D點(diǎn)且垂直于紙面的軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng),桿上各點(diǎn)的速度方向均垂直于其到D點(diǎn)的連線.由速度公式有vC＝ω×rCD,vA＝ω×rDA,因?yàn)椤鰿DB≌△ADB,所以rCD＝rAD,可得vC＝vA.

圖17

點(diǎn)評(píng)

若某瞬時(shí)剛體上A、B兩點(diǎn)的速度方向已知,且方向互不平行,可分別作兩點(diǎn)速度矢量的垂線,使之交于一點(diǎn),該點(diǎn)就是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)圓心,稱為速度瞬心.

3 物物直接接觸剛體模型

直接接觸的兩物體,由于兩物體不發(fā)生形變,它們?cè)诖怪苯佑|面方向的分速度和分加速度相等,若兩物體在接觸面無相對(duì)滑動(dòng),則它們沿接觸面的切向分速度相同,反之,則不相同.

例8如圖18所示,一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向以速度v0向右做直線運(yùn)動(dòng),帶動(dòng)直桿沿豎直方向上升.桿與柱體的接觸點(diǎn)為P,當(dāng)P點(diǎn)和柱心O點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí),求直桿的速度v.

圖18

解析

解法1效果分解法

桿上P點(diǎn)速度v沿OP方向的分量為vcosθ,柱體上P點(diǎn)的速度為v0,它沿OP方向的速度為v0sinθ,因桿與柱體始終接觸,有vcosθ＝v0sinθ,得直桿的速度v＝v0tanθ.

點(diǎn)評(píng)

若兩物體運(yùn)動(dòng)過程中是直接接觸,則兩物體在垂直接觸面方向的分速度和分加速度相等,否則兩物體將分離或形變.至于沿接觸面的切向是否有相同的分速度,則取決于兩物體在該方向上有無相對(duì)滑動(dòng),若沿接觸面切向沒有相對(duì)滑動(dòng),則接觸雙方將具有完全相同的分速度.

解法2相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

以柱體為參考系,桿的速度沿切線向上,將桿的速度分解如圖19所示.其水平分速度與柱體速度相同,另一分速度v1沿切線向上.由矢量圖得,直桿的速度v＝v0tanθ.

圖19

解法3瞬時(shí)功率法

圖20

設(shè)桿向上的速度為v,彈力FN對(duì)桿做功的瞬時(shí)功率大小為P1＝FNvcosθ,柱體克服彈力做功的瞬時(shí)功率大小為P2＝|0cos(90°＋θ)|,由P1＝P2得v＝v0tanθ.

4 小結(jié)

求解關(guān)聯(lián)速度的方法一般有效果分解法、微元法、瞬時(shí)功率法,其中分解法主要基于繩或桿不可伸長(zhǎng),故沿繩或桿方向的分速度相同;微元法原理充分,但是相對(duì)復(fù)雜;瞬時(shí)功率法的根據(jù)是能量守恒定律,兩連接體間的相互作用力的瞬時(shí)功率大小相等.當(dāng)涉及桿轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí),要找到轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)圓心,桿上各點(diǎn)相對(duì)于圓心的角速度相同.直接接觸的兩物體沿接觸面法向的分速度必定相同,沿接觸面切向的分速度在無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)亦相同.

(完)