吳丹

[摘 要]增強(qiáng)學(xué)生空間感知能力有利于提高學(xué)生的空間想象能力，有助于學(xué)生學(xué)好立體幾何。教師可通過(guò)幫助學(xué)生建立立體幾何基礎(chǔ)模型庫(kù)，制作立體幾何基礎(chǔ)模型、畫(huà)直觀(guān)圖、利用數(shù)學(xué)軟件制作動(dòng)態(tài)立體圖形來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的空間感知能力。

[關(guān)鍵詞]空間感知能力;立體幾何;途徑

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）05-0017-03

空間感知是人對(duì)客觀(guān)物體的空間特性與空間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，包括對(duì)物體的大小、形狀、方位、距離等的知覺(jué)。在人教版教材（2019年版）高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)第96頁(yè)第八章“立體幾何初步”的前言中提到：“立體圖形是由現(xiàn)實(shí)物體抽象形成的。直觀(guān)感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算，是認(rèn)識(shí)立體圖形的基本方法?！奔訌?qiáng)空間感知教學(xué)，有助于提高學(xué)生的想象能力，也為其建立空間概念奠定基礎(chǔ)。在立體幾何的教學(xué)中，筆者歸納了增強(qiáng)學(xué)生空間感知能力的幾種途徑。

一、建立立體幾何基礎(chǔ)模型庫(kù)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程?！皵?shù)學(xué)建?！笔菙?shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。立體幾何模型是對(duì)立體幾何知識(shí)的集中概括，是凝結(jié)在學(xué)生頭腦中的一系列的加工和認(rèn)識(shí)對(duì)象，立體幾何就是跟各色各樣幾何模型“打交道”的學(xué)科。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法的過(guò)程，其實(shí)就是在建立一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模型，再用這些模型去解決一個(gè)個(gè)或抽象或有具體情境的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。要解決更為復(fù)雜的立體幾何問(wèn)題，就要先幫助學(xué)生建立好立體幾何基礎(chǔ)模型庫(kù)，增強(qiáng)他們的空間感知能力，讓他們有將空間問(wèn)題平面化的本領(lǐng)，有將立體幾何問(wèn)題化歸為平面幾何問(wèn)題來(lái)處理的能力。

幫助學(xué)生建立立體幾何基礎(chǔ)模型庫(kù)是一個(gè)積累的過(guò)程，積累的形式可以多樣化。比如，可以借助熟悉的實(shí)物來(lái)讓學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體，讓學(xué)生在實(shí)物觀(guān)察中培養(yǎng)空間感知能力。例如，在對(duì)“棱柱”的認(rèn)知教學(xué)中，我們可以設(shè)計(jì)如下例題。

[例1]下面命題中正確的是（ ）。

A.有一個(gè)側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱

B.有一個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

C.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

分析：此題需要用到的是直棱柱、斜棱柱的模型，當(dāng)教師列舉出一個(gè)符合選項(xiàng)中題設(shè)條件卻是斜棱柱的反例后，部分學(xué)生懵了。當(dāng)教師畫(huà)出斜棱柱的直觀(guān)圖后，還有部分空間感知能力比較弱的學(xué)生仍然無(wú)法理解。而反例中涉及的實(shí)物很難直接找得到，此時(shí)我們可以拿出一沓大小一致的作業(yè)本，將豎直立起來(lái)，由此就構(gòu)建出直棱柱模型;再把這疊作業(yè)本傾斜成斜棱柱，它的側(cè)面是2個(gè)相對(duì)的矩形與2個(gè)相對(duì)的平行四邊形，這樣學(xué)生就很容易理解了。

反思：通過(guò)斜棱柱的實(shí)物立體模型，學(xué)生對(duì)棱柱有了清晰的感知，他們能完成由抽象到具體的轉(zhuǎn)變。在立體幾何的學(xué)習(xí)中，不妨讓學(xué)生多儲(chǔ)備一些立體幾何基礎(chǔ)模型，讓學(xué)生在腦海中建立屬于他們自己的模型庫(kù)。

二、制作立體幾何基礎(chǔ)模型

傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，幾乎沒(méi)有數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。開(kāi)展恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)活動(dòng)，能加快學(xué)生感知、理解、轉(zhuǎn)化空間幾何體中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間位置關(guān)系的速度。

例如，在教學(xué)“簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積”時(shí)，不妨開(kāi)設(shè)一節(jié)數(shù)學(xué)模型制作活動(dòng)課，把學(xué)生分成幾個(gè)活動(dòng)小組，讓他們用硬卡紙制作常見(jiàn)的立體幾何模型，比如圓柱、圓錐、圓臺(tái)。小組成員先商議出合理的方案，教師對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)要確保自己裁剪出的矩形、扇形、扇環(huán)與剪出的底面圓粘貼時(shí)能做到嚴(yán)絲合縫。這就要求學(xué)生對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖有充分的認(rèn)識(shí)，且能較為精準(zhǔn)地度量與計(jì)算底面圓和側(cè)面展開(kāi)圖間的關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)。模型制作完成后，讓學(xué)生回顧整個(gè)制作過(guò)程，填寫(xiě)“立體幾何模型制作小組活動(dòng)研究報(bào)告”表格，并派代表談?wù)勚谱鬟^(guò)程中小組遇到的困難、解決方案和收獲，讓他們厘清立體圖和展開(kāi)圖之間的關(guān)系。

[例2]如圖1是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞頂點(diǎn)[S]滾動(dòng)，當(dāng)圓錐轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，其本身恰好滾動(dòng)了3周，則（ ）。

A.圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為18

B.圓錐的表面積為27π

C.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60°

D.圓錐的體積為[182π]

分析：此題考查了圓錐的表面積和體積公式、扇形弧長(zhǎng)和面積公式、圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖的聯(lián)系?？臻g感知能力不佳的學(xué)生難以轉(zhuǎn)化“圓錐在此平面內(nèi)繞頂點(diǎn)[S]滾動(dòng)，當(dāng)圓錐轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，其本身恰好滾動(dòng)了3周”這一已知條件，而用硬卡紙制作過(guò)圓錐的學(xué)生再做一下滾動(dòng)實(shí)驗(yàn)，就容易得到圓錐在平面內(nèi)繞頂點(diǎn)[S]滾動(dòng)轉(zhuǎn)回到原位置時(shí)平面內(nèi)留下的軌跡是以[S]為圓心，[SA]為半徑的圓，這個(gè)圓的面積等于圓錐側(cè)面積的3倍，即[πl(wèi)2=3×3πl(wèi)]，解得[l=9]。用硬卡紙制作過(guò)圓錐的學(xué)生更能理解圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖間的聯(lián)系，其他選項(xiàng)就不難判斷了。

反思：通過(guò)用硬卡紙制作幾何模型，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，提升了學(xué)生的動(dòng)手能力，增強(qiáng)了學(xué)生的空間感知能力，提高了學(xué)生對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和其側(cè)面展開(kāi)圖關(guān)聯(lián)性的認(rèn)知水平，也提升了解決此類(lèi)問(wèn)題的能力。

通過(guò)用硬卡紙制作正方體、長(zhǎng)方體模型，還可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解正方體、長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，這對(duì)解答“螞蟻爬行最短路線(xiàn)”問(wèn)題有很大幫助。

[例3]如圖2所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5 cm、4 cm、3 cm，一只螞蟻從[A]點(diǎn)沿著表面爬行到[C1]點(diǎn)的最短路程是多少？

分析：此題涉及的是長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，考查學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的空間感知能力和將空間問(wèn)題平面化處理的能力。如果學(xué)生用硬卡紙親手做過(guò)長(zhǎng)方體，那么對(duì)于長(zhǎng)方體的三種展開(kāi)方式，學(xué)生漏掉其中一種或兩種的概率將大大降低。依題意，長(zhǎng)方體[ABCD-A1B1C1D1]有如圖3所示的三種展開(kāi)圖。

學(xué)生自制實(shí)物模型并展開(kāi)后，可算得[A]，[C1]兩點(diǎn)間的距離[AC1=3+42+52=74]（cm），[5+32+42=45]（cm），[5+42+32=310]（cm）。三者進(jìn)行比較得[74] cm為螞蟻從[A]點(diǎn)沿著表面爬行到[C1]點(diǎn)的最短路程。

反思：通過(guò)用卡硬紙制作立體幾何模型，增強(qiáng)學(xué)生的空間感知能力和將空間問(wèn)題平面化處理的能力。

還可以讓學(xué)生用細(xì)木棍制作正方體、長(zhǎng)方體、正四面體、正四棱錐等常見(jiàn)的多面體的模型，從中讓學(xué)生直觀(guān)感受四棱錐的高與斜高的區(qū)別與聯(lián)系;在正方體的模型上加上細(xì)線(xiàn)可以分割出正四面體，從而促使學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，求正四面體的外接球可以化歸為求正方體的外接球。這些模型還有利于學(xué)生理解線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系。例如，有學(xué)生較難感知直觀(guān)圖中的異面直線(xiàn)，總認(rèn)為它們是相交的，這時(shí)拿出數(shù)學(xué)活動(dòng)中制作好的模型，在上面纏兩條細(xì)線(xiàn)就可讓學(xué)生感知兩線(xiàn)的位置關(guān)系。通過(guò)制作立體幾何模型可以訓(xùn)練、增強(qiáng)學(xué)生的形象思維和邏輯思維，提高學(xué)生的空間感知能力。

三、訓(xùn)練學(xué)生畫(huà)直觀(guān)圖

雖然學(xué)生親手制作了常見(jiàn)的立體實(shí)物模型，也具備了一定的空間感知能力，但是做題時(shí)還是需要將模型從實(shí)物中抽象出來(lái)，所以要培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力。以實(shí)物為依據(jù)，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，教師做引導(dǎo)，學(xué)生來(lái)模仿，在激發(fā)學(xué)生作圖熱情的同時(shí)，不斷糾正其錯(cuò)誤，規(guī)范其作圖。提高學(xué)生畫(huà)直觀(guān)圖的能力，是增強(qiáng)學(xué)生空間感知能力的有效方法。

[例4]畫(huà)出一個(gè)三棱臺(tái)[ABC-A'B'C']，再用兩個(gè)平面把它分成3個(gè)三棱錐。

分析：此題考查學(xué)生的作圖能力和空間感知能力?？臻g感知能力較差的學(xué)生對(duì)此手足無(wú)措，而對(duì)三棱臺(tái)、三棱錐、四棱錐有一定空間感知的學(xué)生則能順利解答此題。三棱臺(tái)可分割為一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，此四棱錐又可分割為兩個(gè)三棱錐（如圖4）。引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出對(duì)應(yīng)的兩個(gè)截面的過(guò)程，就是提高學(xué)生空間感知能力的過(guò)程。

反思：訓(xùn)練學(xué)生畫(huà)直觀(guān)圖，比照實(shí)物圖和直觀(guān)圖來(lái)想象，讓學(xué)生在頭腦中建立起點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，從而增強(qiáng)學(xué)生的空間感知能力。

四、利用數(shù)學(xué)軟件制作動(dòng)態(tài)立體圖形

學(xué)生通過(guò)手工制作常見(jiàn)的立體幾何基礎(chǔ)模型，就容易在頭腦中形成此模型的空間構(gòu)造，而對(duì)于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的幾何體，大部分學(xué)生很難光靠自己儲(chǔ)備的模型和邏輯推理來(lái)完成模型構(gòu)建。利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件（如3D MAX、GeoGebra等）可幫助學(xué)生建立復(fù)雜立體幾何模型的直觀(guān)形象。在課堂上，教師可以用數(shù)學(xué)軟件將動(dòng)態(tài)模型展示給學(xué)生，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)指令，讓學(xué)生多視角觀(guān)察和感知，這比單純地去想象更能培養(yǎng)學(xué)生的空間感知能力。

[例5]已知直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的棱長(zhǎng)均為2，[∠BAD=60°]。以[D1]為球心，[5]為半徑的球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線(xiàn)長(zhǎng)為? ? ? ? ? ? ?。

分析：此題容易畫(huà)出直四棱柱的直觀(guān)圖，但不易畫(huà)出球，更難以讓學(xué)生領(lǐng)悟出球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線(xiàn)是什么形狀。我們需要借助數(shù)學(xué)軟件制作空間動(dòng)態(tài)圖來(lái)讓學(xué)生觀(guān)察、感知。

通過(guò)GeoGebra圖讓學(xué)生意識(shí)到球面與側(cè)面[BCC1B1]的交線(xiàn)其實(shí)就是小圓的圓?。ū举|(zhì)上就是用平面[BCC1B1]去截球），用化歸思想來(lái)處理即可。我們要找到球面和側(cè)面[BCC1B1]的兩個(gè)公共點(diǎn)（側(cè)面上與點(diǎn)[D1]距離為[5]的兩點(diǎn)J和L）和小圓的圓心（點(diǎn)[D1]在側(cè)面[BCC1B1]上的射影K），求出圓弧的半徑和圓心角就可算出弧長(zhǎng)。

反思：利用數(shù)學(xué)軟件幫助學(xué)生打開(kāi)空間感知的新視角后，他們會(huì)有豁然開(kāi)朗之感，學(xué)生的空間感知能力和邏輯推理能力會(huì)得到進(jìn)一步的提高，從而打破限制他們空間思維發(fā)展的“天花板”。

增強(qiáng)學(xué)生空間感知能力的途徑還有很多，教師在教學(xué)中要巧妙融合立體幾何知識(shí)，融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和借助信息技術(shù)，活躍課堂氣氛，啟發(fā)學(xué)生的空間思維，有效增強(qiáng)學(xué)生的空間感知能力，構(gòu)建高效、有魅力的立體幾何課堂。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 萬(wàn)興燦.發(fā)揮感知作用 培養(yǎng)空間想象能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，1985（8）：19-20.

[2]? 課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)（A版）：必修第二冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2019：96.

[3]? 徐敏.加強(qiáng)空間感知 提升想象能力[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2017（11）：79.

[4]? 郭敏.再認(rèn)識(shí)、再構(gòu)建、再運(yùn)用：基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的立體幾何復(fù)習(xí)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（13）16-18.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）