陳康 覃俊明

[摘 要]數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要落實(shí)“立德樹人“的總體目標(biāo)。教師可通過史料育人、思維育人、活動(dòng)育人、審美育人四維度開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，以達(dá)到學(xué)科育人的目的。

[關(guān)鍵詞]學(xué)科育人;課例評(píng)析;拋物線;標(biāo)準(zhǔn)方程

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）05-0014-03

拋物線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡。這一概念反映了拋物線的幾何特征。類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法可以推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。由于焦點(diǎn)的位置不同，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式也不同。學(xué)生通過討論得出焦點(diǎn)在不同的坐標(biāo)軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以研究拋物線的幾何性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。這樣的研究體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般過程。

如何在“拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)中融入“立德樹人”思想，體現(xiàn)教學(xué)的育人功能，達(dá)到學(xué)科育人的目的？下面談?wù)劰P者的教學(xué)設(shè)想。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）新課引入

展示生活中的拋物線實(shí)例，引入新課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

1.播放我國(guó)跳水運(yùn)動(dòng)員在奧運(yùn)會(huì)比賽中的高臺(tái)跳水視頻，提問：運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過的軌跡是什么圖形？

2.展示趙州橋圖片（如圖1），提問：趙州橋的橋拱是什么圖形？

設(shè)計(jì)意圖：通過生活中的實(shí)例，吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生對(duì)拋物線有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，意識(shí)到研究拋物線的必要性，體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，生活離不開數(shù)學(xué)，同時(shí)感受到中國(guó)古代文明的偉大和體育健兒在努力為國(guó)爭(zhēng)光。

（二）概念形成

問題1：拋物線有什么樣的幾何性質(zhì)？怎樣給拋物線下定義呢？

教師：我們知道，在平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)[F（c， 0）]的距離和一條定直線[l]（其中定點(diǎn)[F]不在定直線[l]上）的距離的比是常數(shù)[e]。當(dāng)[0<e<1]時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓;當(dāng)[e>1]時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線。那么當(dāng)[e=1]時(shí)，即平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)[F（c， 0）]的距離恰好等于它到一條定直線[l]（其中定點(diǎn)[F]不在定直線[l]上）的距離的點(diǎn)的軌跡是什么呢？下面老師通過幾何畫板描出滿足這樣條件的點(diǎn)的軌跡，請(qǐng)大家注意觀察。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對(duì)“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)[F（c， 0）]的距離恰好等于它到一條定直線[l]（其中定點(diǎn)[F]不在定直線[l]上）的距離的點(diǎn)的軌跡”有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)。

問題2：幾何畫板描出的點(diǎn)的軌跡像是拋物線，真的是拋物線嗎？為什么？你能通過求方程來證明嗎？

讓學(xué)生分組討論，教師列出討論提綱：（1）如何建立直角坐標(biāo)系？（2）推出怎樣的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程？

教師巡堂指導(dǎo)，然后收集幾個(gè)小組的討論結(jié)果并做投影展示。

第一組：以定點(diǎn)[F]為原點(diǎn)垂直于[l]的直線為[x]軸，所得方程為[y2=2px+p2]。

第二組：以直線[l]為[y]軸，過定點(diǎn)[F]且垂直于[l]的直線為[x]軸，所得方程為[y2=2px-p2]。

第三組：過定點(diǎn)[F]作垂直于[l]的直線交[l]于[K]，以[FK]的中點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直于[l]的直線為[x]軸，所得方程為[y2=2px]。

教師：哪一組的結(jié)果正確？哪一組的結(jié)果最好？為什么？

學(xué)生：第三組的結(jié)果最好，它方程簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)很美。

教師：美在哪里？

學(xué)生：一是左邊為二次項(xiàng)，右邊為一次項(xiàng);二是沒有常數(shù)項(xiàng)。

教師：很好！下面我們一起來分析第三種方程的推導(dǎo)過程。

推出拋物線方程[y2=2px]后，得出拋物線的定義，點(diǎn)[Fp2， 0]叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線[l]：[x=-p2]叫作拋物線的準(zhǔn)線 ，正數(shù)[p]是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，叫作焦準(zhǔn)距。（板書）

用直接法求點(diǎn)的軌跡方程的過程：建系設(shè)點(diǎn)，列出等量關(guān)系，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入等量關(guān)系得方程，化簡(jiǎn)方程，證明（或說明）。

設(shè)計(jì)意圖：通過分組討論，一方面讓學(xué)生鞏固用直接法求軌跡方程的基本步驟，另一方面使學(xué)生感性認(rèn)識(shí)拋物線的幾何性質(zhì)。

問題3：拋物線 [y2=2px（p>0）]有哪些特征？

（1）圖像關(guān)于[x]軸對(duì)稱;

（2）沒有常數(shù)項(xiàng);

（3）方程左邊為二次項(xiàng)而右邊為一次項(xiàng);

（4）一 次項(xiàng)的未知數(shù)是x（或y），圖像就關(guān)于x軸（或[y]軸）對(duì)稱。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)拋物線方程的結(jié)構(gòu)美和曲線的對(duì)稱美，加深學(xué)生對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)的理解。

（三）概念深化

問題4：如果拋物線開口向左，那么它的標(biāo)準(zhǔn)方程又如何呢？它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程各是什么？拋物線開口向下或向上呢？

分組討論，第一組討論拋物線開口向左的情況，第二組討論拋物線開口向上的情況，第三組討論拋物線開口向下的情況，第四組自由討論。

再由各組代表填寫表1。

我們把上述四種位置的拋物線方程都稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

問題5：根據(jù)表1，四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)是什么？如何根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)的位置？

焦點(diǎn)位置的判斷方法：

在標(biāo)準(zhǔn)形式下，看一次項(xiàng)。若一次項(xiàng)的變量為[x]（或[y]），則焦點(diǎn)就在[x]（或[y]）軸上;若一次項(xiàng)的系數(shù)為正（或負(fù)），則焦點(diǎn)在正（或負(fù)）半軸。

四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特點(diǎn)：

（1）左邊為二次項(xiàng)，且系數(shù)為1;

（2）右邊為一次項(xiàng);

（3）沒有常數(shù)項(xiàng);

（4）圖像關(guān)于[x]軸或[y]軸對(duì)稱;

（5）一 次項(xiàng)的未知數(shù)是x或y，圖像就關(guān)于x軸（或[y]軸）對(duì)稱;

（6）焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)的四分之一;

（7）準(zhǔn)線方程中的非零常數(shù)項(xiàng)是焦點(diǎn)坐標(biāo)中的非零坐標(biāo)數(shù)的相反數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生一起分析，推導(dǎo)出焦點(diǎn)在[x]軸正半軸的情況的標(biāo)準(zhǔn)方程，再類比得到其他三種情況。通過四種情況的觀察、對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到一般性的規(guī)律，得出四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特點(diǎn)。

（四）應(yīng)用探索

[例1]（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是[y2=6x]，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是[F（0， -2）]，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

變式1：求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

（1） [y2=20x] （2）[x2=y] （3）[x2=8y]

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及由拋物線的準(zhǔn)線方程或焦點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法，加深對(duì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)的理解。

[例2]一種衛(wèi)星接收天線如圖2所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的徑口（直徑）為4.8 m，深度為1 m。試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，初步了解拋物線知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

（五）小結(jié)

問題6：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)、技能和數(shù)學(xué)思想方法？

（1）拋物線的定義;

（2）拋物線的四種不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程;

（3）求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟;

（4）加深對(duì)類比法和待定系數(shù)法的理解。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自我反饋、自我總結(jié)，并對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行提煉升華，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，掌握內(nèi)化知識(shí)的方法和數(shù)學(xué)思想方法。

（六）布置作業(yè)

教材選修2-1第73頁習(xí)題2.4A組第1、2、4題。

二、課例評(píng)析

“拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程”是繼橢圓和雙曲線后的一節(jié)新授課，教材通過幾何畫板演示，讓學(xué)生對(duì)“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)[F（c ， 0）]的距離和一條定直線[l]（其中定點(diǎn)F不在直線[l]上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線”有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，然后類比橢圓和雙曲線的學(xué)習(xí)方法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，整個(gè)過程比較程序化，也比較枯燥。如何把問題講活？如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題，讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習(xí)，同時(shí)又融入“立德樹人”思想，體現(xiàn)教學(xué)的育人功能，達(dá)到學(xué)科育人的目的？筆者基于這樣的思考設(shè)計(jì)了本節(jié)課的教學(xué)，教學(xué)設(shè)計(jì)能體現(xiàn)以下幾個(gè)方面。

（一）能體現(xiàn)“立德樹人”思想和史料育人功能

黨的十八大報(bào)告明確指出：“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。”作為基礎(chǔ)教育工作者，更應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，堅(jiān)定執(zhí)行。課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生道德認(rèn)知、道德情感的主要途徑。課堂上，教師不僅要傳授給學(xué)生知識(shí)與技能，還要適時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的道德認(rèn)知和道德情感。

本節(jié)課通過展示趙州橋圖片，讓學(xué)生感受到中華文明的偉大;通過播放視頻，讓學(xué)生感受到體育健兒在努力為國(guó)爭(zhēng)光。通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，既能達(dá)到“立德樹人”的目的，又能體現(xiàn)史料育人功能。

（二）能體現(xiàn)思維育人和活動(dòng)育人功能

在教學(xué)中，讓學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)，類比橢圓和雙曲線推導(dǎo)“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F（c，0）的距離和一條定直線l（其中定點(diǎn)F不在定直線l上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程”，通過小組活動(dòng)探索“拋物線開口向左、向上、向下時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及其特點(diǎn)”以及“四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的共同特點(diǎn)”，讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習(xí)，在活動(dòng)中思考問題，在活動(dòng)中解決問題，從而提高他們的認(rèn)知能力和思維能力，培養(yǎng)他們的合作精神。這樣的教學(xué)，既符合新課標(biāo)的“將課堂還給學(xué)生”的要求，又符合“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，能充分體現(xiàn)思維育人和活動(dòng)育人功能。

（三）能體現(xiàn)審美育人功能

黨的教育方針是培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人?！皩徝烙恕奔仁墙逃结樢?，又是學(xué)科育人的基本要求。因此，教師要在教學(xué)中適時(shí)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“美”的能力。本節(jié)課能體現(xiàn)“審美育人”的地方有：趙州橋設(shè)計(jì)之美，拋物線的圖像對(duì)稱之美，四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的結(jié)構(gòu)之美，等等。

數(shù)學(xué)學(xué)科的幾個(gè)育人功能，即史料育人、思維育人、活動(dòng)育人和審美育人，其實(shí)都是緊緊圍繞著黨的教育方針和黨的十八大所提出的“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人”。課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生道德認(rèn)知和道德情感的主要途徑，也是學(xué)生獲取知識(shí)、培養(yǎng)合作精神、發(fā)展思維的舞臺(tái)。在課堂教學(xué)中，教師只要做個(gè)有心人，努力做到“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無聲”，就一定能取得意想不到的效果。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）