田珂

(中國人民解放軍63861部隊，吉林 白城 137001)

靶場的所有試驗中，利用初速測量雷達測試彈丸的炮口初速是最常開展的試驗科目，因為炮口初速關(guān)系到火炮武器系統(tǒng)能否精確打擊敵方目標[1]。因此利用初速測量雷達能否準確測試彈丸的炮口初速，關(guān)系到火炮武器系統(tǒng)的戰(zhàn)斗性能能否滿足戰(zhàn)場要求，更關(guān)系到戰(zhàn)場上能否戰(zhàn)勝敵人。但是在某型大口徑彈丸試驗中，由于彈丸受到自身或者外界因素的影響，使得雷達捕獲的信號不完整，從而無法準確計算出真正的初速數(shù)據(jù)，嚴重影響著試驗任務(wù)的正常開展，而解決這一問題的方法和文章還很少。由于大口徑彈丸試驗時某型初速雷達測試彈丸的炮口初速是可以近似根據(jù)雷達測試彈丸的徑向速度遞推出來的，所以為了解決這一突出問題，選擇在等時間間隔的基礎(chǔ)上加載雷達測試的彈丸徑向速度，針對有的時刻雷達沒有獲取到彈丸徑向速度的情況，利用回歸模型預(yù)測出缺失的徑向速度，等補齊所有徑向速度后再利用回歸模型擬合遞推出彈丸的炮口初速。為了證明該方法的正確性，把利用該方法計算出的初速數(shù)據(jù)與信號完整的雷達測試的初速數(shù)據(jù)進行對比并計算誤差，發(fā)現(xiàn)采用該方法計算出的初速數(shù)據(jù)很接近信號完整的雷達測試的初速數(shù)據(jù)，兩者的誤差明顯小于兩臺雷達原始初速數(shù)據(jù)的誤差，說明該方法能夠提高雷達在低信號下的測速精度。

1 回歸模型建模步驟

回歸一詞最早是由英國著名統(tǒng)計學(xué)家高爾頓及其學(xué)生皮爾遜提出來的?；貧w分析是一種統(tǒng)計學(xué)上分析數(shù)據(jù)的方法，目的在于了解兩個或多個變量間是否相關(guān)、相關(guān)方向與強度，并建立數(shù)學(xué)模型以便于通過觀察特定變量來預(yù)測或控制研究者感興趣的變量，它是一種典型的有監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法[2]。初速雷達測試彈丸的炮口初速通常采用線性回歸模型和多項式回歸模型[3]進行擬合遞推，而針對大口徑彈丸的試驗，通常采用一元線性回歸模型擬合遞推初速數(shù)據(jù)，因為初速數(shù)據(jù)本質(zhì)上是速度與時間的一元關(guān)系。

線性回歸模型是用一個或多個自變量來解釋因變量的統(tǒng)計分析模型。假設(shè)因變量用Y表示，n個自變量用X1,X2,…,Xn表示，用來解釋因變量Y，則多元線性回歸模型可表示為

Y=b0+a1X1+a2X2+…+anXn，

(1)

式中：b0為常數(shù)項；未知參數(shù)a1，a2，…，an稱為回歸系數(shù)。

假設(shè)自變量X和因變量Y分別表示為[4]

那么一元線性回歸方程的數(shù)學(xué)表達式可表示為

Y=b0+aX，

(2)

式中：b0為常數(shù)項矩陣；a為回歸模型的回歸系數(shù)矩陣。假設(shè)有訓(xùn)練集D={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}，建立回歸模型的目標是找到一條直線，使所有樣本數(shù)據(jù)盡可能落在它的附近，這一目標可以通過最小化殘差平方和(Residual Sum of Squares,RSS)來實現(xiàn)，當殘差平方和達到最小值時這條直線就是最好的回歸擬合線，進而尋找出最優(yōu)的參數(shù)[2,5]，即目標轉(zhuǎn)化為

(3)

將殘差平方和fRSS(a,b)分別對a和b進行求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)等于0，從而得到最優(yōu)解：

(4)

一元線性回歸模型主要解決的問題分為3個方面：

1)利用樣本數(shù)據(jù)估計模型的回歸系數(shù)；

2)檢驗線性回歸方程和回歸系數(shù)的顯著性；

3)根據(jù)新的自變量X預(yù)測因變量Y。

檢驗一元線性回歸模型及其系數(shù)顯著性的目的是檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果，通常采用F檢驗法，其原理是：如果F檢驗結(jié)果統(tǒng)計量t對應(yīng)的概率p值小于0.05，說明回歸模型是顯著的，即回歸模型方程通過了顯著性檢驗。然后把可解釋的平方和除以總平方和得到R2，作為線性回歸擬合優(yōu)度指標，如果R2大于0.8，則說明模型擬合效果較好。其中，可解釋的平方和指的是因為回歸線帶來的變異，總平方和指的是數(shù)據(jù)本身的變異，顯然可解釋的變異占總平方和比例越大，即R2越大，說明回歸模型擬合效果越好[5]?；貧w系數(shù)的顯著性檢驗，是根據(jù)截距估計值和變量的回歸系數(shù)估計值t統(tǒng)計量對應(yīng)的概率p值與臨界統(tǒng)計值0.001進行比較，如果p<0.001，證明截距估計值和回歸系數(shù)估計值都非常顯著。

2 線性回歸模型提高雷達測速精度

初速雷達測試大口徑彈丸的炮口初速通常選擇0.1～0.5 s內(nèi)的徑向速度值進行擬合遞推。在雷達獲取到的彈丸信號很完整時，雷達每隔1 ms就會獲取到一個徑向速度數(shù)據(jù)，這時雷達自帶算法能夠很準確地計算出彈丸的初速數(shù)據(jù)。但是，當雷達獲取到的彈丸信號不完整時，有的時間點就沒有徑向速度數(shù)據(jù)，此時采用雷達自帶算法計算出的初速數(shù)據(jù)就會出現(xiàn)偏差。如圖1、2所示的是兩臺初速雷達同時參與試驗，測的是同一發(fā)彈丸，對稱布置在火炮兩側(cè)，布站參數(shù)基本一致，結(jié)果一臺雷達獲取的彈丸信號基本完整，而另一臺雷達獲取的彈丸信號就缺失了一部分，導(dǎo)致兩臺雷達計算出的初速數(shù)據(jù)偏差很大。為了解決這一問題，在雷達獲取的彈丸信號不完整的情況下，按照等時間間隔選擇數(shù)據(jù)點的原則，選擇從0.1 s開始每隔5 ms選取一個徑向速度數(shù)據(jù)，一直取到0.5 s為止，總共獲取到81個徑向速度數(shù)據(jù)。但是由于雷達獲得的信號不完整，有的時間點是沒有徑向速度數(shù)據(jù)的，同時初速雷達測試的彈丸徑向速度與時間是一元線性關(guān)系，適合建立一元線性回歸模型[6]。因此選擇把缺失徑向速度數(shù)據(jù)時刻之前的所有徑向速度數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，建立徑向速度與時間的一元線性回歸模型，時間是自變量，徑向速度是因變量，然后再利用訓(xùn)練好的回歸模型預(yù)測出缺失的徑向速度數(shù)據(jù)，然后再把下一個缺失值之前的所有徑向速度數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)建立一元線性回歸模型，預(yù)測出缺失的徑向速度數(shù)據(jù)。按照此方法依次預(yù)測出0.1～0.5 s所有缺失的徑向速度數(shù)據(jù)，最后再對該81個徑向速度數(shù)據(jù)建立一元線性回歸模型，再利用建立好的回歸模型擬合遞推出該發(fā)彈丸的初速數(shù)據(jù)，并利用F檢驗法檢驗?zāi)Ｐ图盎貧w系數(shù)的顯著性。

圖3是某型初速雷達測試的彈丸在信號不完整的情況下從0.1～0.5 s之間每隔5 ms選取的所有徑向速度值，其中在時刻0.130、0.150、0.170、0.205、0.225、0.245、0.280、0.300、0.320、0.355、0.375、0.395、0.430、0.450和0.470 s雷達沒有獲取到彈丸徑向速度數(shù)據(jù)。在圖3的基礎(chǔ)上利用回歸模型預(yù)測并補全缺失的徑向速度，然后把所有徑向速度數(shù)據(jù)與時間對應(yīng)起來，建立速度與時間v-t的一元線性回歸模型[7]，最后利用所建模型擬合遞推就得到了圖4，擬合遞推結(jié)果如表1所示，表中截距估計值就是計算出的信號不完整彈丸的炮口初速。

表1 某大口徑彈丸低信號下回歸擬合結(jié)果

3 實驗驗證

實驗選擇利用RStudio軟件環(huán)境中的回歸模型工具包進行模型的構(gòu)建、訓(xùn)練及仿真，并選取同一試驗中雷達A和雷達B共同測試的9發(fā)初速數(shù)據(jù)進行分析驗證。其中雷達A測試的彈丸信號很完整，所選出的81個時刻點的徑向速度數(shù)據(jù)都是完整的，采用回歸模型直接擬合遞推即可。雷達B測試的彈丸信號不完整，所選出的徑向速度數(shù)據(jù)存在缺失，預(yù)測出缺失值后再擬合遞推，預(yù)測的每一發(fā)徑向速度數(shù)據(jù)經(jīng)過F檢驗法檢驗，發(fā)現(xiàn)所建預(yù)測模型都是顯著的，模型擬合結(jié)果都為好，回歸系數(shù)和截距估計值都是顯著的。針對雷達A和雷達B的所有擬合回歸初速值，利用F檢驗法檢驗得出，所建立的速度與時間的一元線性回歸模型均顯著，模型擬合效果均為好，所得到的回歸系數(shù)及截距估計值都是顯著的[8]。表2列出了雷達A和雷達B測試的9發(fā)初速數(shù)據(jù)的實測值以及采用所述方法得到的擬合回歸值。

表2 某型試驗兩臺雷達實測值及回歸擬合值 m·s-1

圖5是雷達A和雷達B測試的9發(fā)彈丸初速實測值及其擬合回歸值的時間序列圖。

因為雷達A測試的彈丸在所有時刻的徑向速度數(shù)據(jù)都不存在缺失，即彈丸信號是完整的，雷達B測試的彈丸在有的時刻徑向速度數(shù)據(jù)存在缺失，即信號不完整，而且經(jīng)過計算得到雷達A的9發(fā)實測值與雷達B的9發(fā)實測值的平均相對誤差為0.281%，超出了靶場試驗中兩臺初速雷達測試彈丸初速2‰的誤差標準，所以初步判斷雷達A測試的彈丸初速數(shù)據(jù)是準確的，雷達B測試的彈丸初速數(shù)據(jù)是不準確的。從圖5可以直觀看出，雷達A測試的9發(fā)彈丸的擬合回歸值非常逼近雷達A的實測值，而且雷達B測試的9發(fā)彈丸的擬合回歸值也非常逼近雷達A的實測值，即采用同樣的方法計算出的兩臺雷達的擬合回歸值都非常逼近雷達A的實測值，所以確定出雷達A測試的9發(fā)彈丸初速數(shù)據(jù)才是彈丸炮口初速的真實值。同時經(jīng)過計算得到雷達A的9發(fā)擬合回歸值與雷達A的9發(fā)實測值的平均相對誤差為0.035%，滿足靶場試驗中單臺初速雷達測試彈丸初速1‰的誤差要求[1]，這就充分證明了在等時間間隔加載徑向速度數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用回歸模型擬合遞推初速數(shù)據(jù)的方法是正確可行的。采用該方法計算出的雷達B的9發(fā)彈丸擬合回歸值與雷達B的9發(fā)實測值的平均相對誤差為0.348%，超出了靶場試驗中單臺雷達測試彈丸初速1‰的誤差要求[1]，而與雷達A的9發(fā)實測值的平均相對誤差為0.152%，滿足靶場試驗中兩臺初速雷達測試彈丸初速2‰的誤差標準，總體平均相對誤差更小[9]，回歸模型能夠很好地挖掘出彈丸徑向速度中的變化規(guī)律并提高擬合精度[10]，說明所采用的方法提高了雷達B在信號不完整情況下測試彈丸初速的精度。

4 結(jié)束語

某型試驗中利用兩臺初速雷達測試彈丸炮口初速經(jīng)常會遇到彈丸信號不完整、計算出的初速數(shù)據(jù)偏差過大的情況。為了解決這一問題，在等時間間隔基礎(chǔ)上加載徑向速度數(shù)據(jù)，利用回歸模型預(yù)測出缺失的徑向速度數(shù)據(jù)，再通過建立速度與時間的一元線性回歸模型擬合遞推出初速數(shù)據(jù)。實驗證明該方法是正確可行的，能提高雷達在彈丸信號不完整情況下的測速精度。