吳文鵬，王一帆，胡貞

（長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長春 130022）

隨著科技的快速發(fā)展，科研界以及整個(gè)社會(huì)逐漸將視野從傳統(tǒng)的宏觀世界轉(zhuǎn)向到微觀世界，而微納操縱成像系統(tǒng)作為溝通宏觀與微觀世界的的橋梁，其重要性越發(fā)突出，不僅在材料檢測(cè)行業(yè)有著舉足輕重的地位，還與生命學(xué)科緊緊聯(lián)系，包括生物細(xì)胞的樣貌成像與細(xì)胞電、力學(xué)特性研究。目前，商用的系統(tǒng)大都采用比例積分微分（Proportional integral differential，PID）控制，而傳統(tǒng)的PID控制方法存在跟蹤精度差、參數(shù)難調(diào)節(jié)等缺點(diǎn)，影響著系統(tǒng)最終成像質(zhì)量。因此，尋找合適的控制算法來提高系統(tǒng)的跟蹤精度很有必要。

目前提高成像精度的方法，從算法軟件著手主要包含兩方面：1）根據(jù)PID參數(shù)難調(diào)節(jié)的缺點(diǎn)，將智能控制方法與PID參數(shù)調(diào)節(jié)相結(jié)合，如王一帆等人，用模糊控制方法對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，仿真結(jié)果顯示，基于模糊方法的控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能[1]；南開大學(xué)的周嫻瑋提出將繼電反饋的PI控制參數(shù)整定方法運(yùn)用到原子力顯微鏡系統(tǒng)中，用于解決系統(tǒng)比例積分（Proportional integral，PI）參數(shù)難整定的問題[2]。Liu等[3]將具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述的迭代學(xué)習(xí)用于參數(shù)整定，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在該算法下的成像圖片更加清晰，樣品分層處明顯。2）根據(jù)PID控制器跟蹤精度低，魯棒性差的問題，專家學(xué)者考慮直接用智能、魯棒控制器替換PID控制器，如Xie等[4]將模型預(yù)測(cè)控制與閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)結(jié)合，形成基于模型信息的預(yù)測(cè)學(xué)習(xí)控制方法，有效的提高了成像質(zhì)量與成像速度。電子科技大學(xué)的李丹等將迭代學(xué)習(xí)應(yīng)用于系統(tǒng)橫向掃描定位[5]，顯著提高了成像質(zhì)量。如Chen等[6]將自抗擾控制方法引入系統(tǒng)中，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

由于PID控制存在固有問題，即使進(jìn)行參數(shù)調(diào)優(yōu)，結(jié)果也是差強(qiáng)人意。而更換一般的智能控制方法，卻忽略了系統(tǒng)的重復(fù)工作特性和被測(cè)樣品的周期性。學(xué)習(xí)控制顧名思義具有學(xué)習(xí)功能的控制方法，根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行軌跡與期望軌跡之間的誤差，利用學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)來產(chǎn)生一個(gè)新的輸入，使系統(tǒng)更好的逼近期望的輸出。迭代學(xué)習(xí)作為最初的學(xué)習(xí)控制方法，適用于具有重復(fù)運(yùn)行性質(zhì)的系統(tǒng)[7]，而傳統(tǒng)的開環(huán)型迭代學(xué)習(xí)與閉環(huán)型迭代學(xué)習(xí)都存在一定的缺點(diǎn)，所以本文采用具有開閉環(huán)學(xué)習(xí)律的前饋—反饋控制，并根據(jù)框圖，給出系統(tǒng)收斂證明。同時(shí)改變傳統(tǒng)的固定學(xué)習(xí)增益，運(yùn)用指數(shù)變?cè)鲆孀鳛樾碌膶W(xué)習(xí)律[8]，能在加快收斂速度的同時(shí)得到最小的收斂誤差。

1 微納操縱成像系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與掃描方式

微納操縱成像系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，當(dāng)激光器發(fā)射激光照射在微懸臂，由于光偏轉(zhuǎn)原理，被反射至四象限光斑探測(cè)器上，探測(cè)器采集到電壓值信號(hào)被A/D采集卡傳輸?shù)接?jì)算機(jī)內(nèi)，進(jìn)行算法數(shù)據(jù)處理，計(jì)算機(jī)再將處理完的數(shù)據(jù)發(fā)送到掃描器，進(jìn)行成像掃描，由于樣品與探針之間范德華力的因素[9]，微懸臂產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，導(dǎo)致光斑在四象限探測(cè)器的位置發(fā)生位移，計(jì)算機(jī)利用這個(gè)偏轉(zhuǎn)量行成像。

圖1 微納操縱成像系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)在進(jìn)行成像時(shí)，采用樣品光柵式掃描，所以系統(tǒng)具備重復(fù)運(yùn)行的性質(zhì)，如圖2所示。實(shí)驗(yàn)室自制微納操縱成像系統(tǒng)掃描時(shí)， 保持探針不動(dòng)，掃描器托著樣品臺(tái)進(jìn)行移動(dòng)，圖中，先是沿著X軸掃描第一行，隨后返回掃描初始點(diǎn)，接著向Y軸移動(dòng)一個(gè)步長，再進(jìn)行X軸第二行掃描，同時(shí)在縱向Z軸上，探針隨著樣品形貌起伏進(jìn)行運(yùn)動(dòng)成像。由于橫向X、Y軸只進(jìn)行平行移動(dòng)，所以主要靠縱向反饋量進(jìn)行控制成像，包括下文所建立的模型和控制方法均是建立在縱向基礎(chǔ)上。

圖2 微納操縱成像系統(tǒng)掃描方式

1.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

由圖1所示，系統(tǒng)整體由多模塊組成，難以直接對(duì)系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，可以對(duì)各模塊分別建立，最后組成系統(tǒng)整體的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)可以根據(jù)各模塊的工作性質(zhì)，分別采用機(jī)理建模方法與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建模方法。如圖3為微納操縱成像系統(tǒng)的模型框圖。

圖3 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型框圖

1.2.1 微懸臂

微懸臂部分采用機(jī)理建模的方法，根據(jù)微懸臂在工作時(shí)的特性，采用光偏轉(zhuǎn)原理進(jìn)行建模，如圖4所示。

圖4 光偏轉(zhuǎn)原理圖

激光經(jīng)過光反射至四象限光斑探測(cè)器中心A點(diǎn)，掃描時(shí)，因?yàn)樵恿Φ纫蛩?，微懸臂產(chǎn)生位移形變。偏轉(zhuǎn)量記為Δy，偏轉(zhuǎn)角度為O，同時(shí)光斑點(diǎn)移至到A′點(diǎn)，光斑偏轉(zhuǎn)角度為2O，對(duì)應(yīng)光斑探測(cè)器上的位移量記為Δx。設(shè)探針微懸臂長度為s，反射長度為d，可用近似公式表示為[10]

其中：實(shí)驗(yàn)室自制微納操縱成像系統(tǒng)，所用的探針微懸臂長度s=450 μm；微懸臂與四象限光斑傳感器距離d=11.5 cm，則可得出放大倍數(shù)約為511。

1.2.2 四象限光斑探測(cè)器

四象限光斑探測(cè)器模塊，采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建模，通過手調(diào)移動(dòng)四象限光斑探測(cè)器。由于四象限光斑探測(cè)器的對(duì)稱性，只需要進(jìn)行水平軸方向移動(dòng)即可。首先移動(dòng)平臺(tái)向右，即光斑位置相對(duì)平移向左，接著反方向重復(fù)相同動(dòng)作，每次移動(dòng)0.05 mm，記錄每次位移的電壓值，選擇有效數(shù)據(jù)，利用四象限光斑探測(cè)器采集的電壓值隨光斑位移量變化關(guān)系進(jìn)行建模。用MATLAB擬合工具進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，如圖5所示。

圖5 光斑探測(cè)器函數(shù)擬合圖

得到1階比例傳遞函數(shù)，模型公式為

至此，靜態(tài)部分的傳遞函數(shù)可看成兩個(gè)比例放大倍數(shù)的乘積，微懸臂放大倍數(shù)為511，而光斑探測(cè)器每移動(dòng)1 μm，變化值為0.883，表達(dá)式為

1.2.3 壓電陶瓷掃描器

壓電陶瓷的工作原理是逆壓電效應(yīng)，由于其自身的遲滯非線性，實(shí)驗(yàn)室自制系統(tǒng)中，已經(jīng)采用了PI控制器對(duì)壓電陶瓷進(jìn)行了補(bǔ)償控制，其閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

圖6 壓電陶瓷閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)圖

為了方便后續(xù)建模、控制器設(shè)計(jì)以及仿真分析，對(duì)壓電陶瓷進(jìn)行建模時(shí)，可以通過PI公司自帶的黑匣子軟件對(duì)其輸入0.1 mV階躍信號(hào)，輸出波形如圖7所示。

圖7 壓電陶瓷響應(yīng)曲線

利用平滑濾波法濾除噪聲信號(hào)，根據(jù)輸出波形進(jìn)行函數(shù)擬合，擬合函數(shù)為

所以微納操縱成像系統(tǒng)的整體數(shù)學(xué)模型為

2 迭代學(xué)習(xí)控制算法

迭代學(xué)習(xí)作為最初的學(xué)習(xí)控制，是智能控制的研究熱點(diǎn)。它適用于具有重復(fù)性質(zhì)的被控對(duì)象，能夠在有限區(qū)間[0T]上實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，這里的完全跟蹤是指系統(tǒng)運(yùn)行的整個(gè)過程，無論是暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)情況下保持跟蹤目標(biāo)軌跡，即實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)實(shí)際輸出與期望輸出的誤差為0，同時(shí)要求收斂速度要快[11]。

根據(jù)迭代學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)律性質(zhì)，可以分為開環(huán)、閉環(huán)、開閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)。開環(huán)迭代學(xué)習(xí)由于控制本質(zhì)是開環(huán)控制，不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且最終的收斂誤差不盡人意，同時(shí)它只利用了前一次的誤差信息。而閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)只利用當(dāng)前運(yùn)行信息，沒有考慮上一次迭代運(yùn)行狀態(tài)信息，且為了減小收斂誤差，需要較大的反饋增益，容易引起系統(tǒng)振蕩。所以本文采用開閉環(huán)學(xué)習(xí)律，可以綜合利用兩者之間的優(yōu)點(diǎn)。

2.1 迭代學(xué)習(xí)前饋反饋控制

2.1.1 控制器結(jié)構(gòu)

反饋-前饋迭代學(xué)習(xí)控制器結(jié)構(gòu)如圖8所示，它是由前饋控制器和反饋控制器并聯(lián)組成[12]，兩者還可以分別作用于系統(tǒng)，且反饋控制器對(duì)前饋控制器的收斂性影響不大。

圖8 反饋?前饋迭代學(xué)習(xí)算法結(jié)構(gòu)圖

圖8中K為前饋控制器，采用開環(huán)迭代學(xué)習(xí)律，C為反饋控制器，由于迭代學(xué)習(xí)控制本身具有積分效應(yīng)[13]，所以實(shí)際系統(tǒng)中不需要再加入積分環(huán)節(jié)，本文采用閉環(huán)指數(shù)變?cè)鲆鍼D型控制器算子，Q為濾波器，G為被控對(duì)象，yd為期望輸出值，ym為實(shí)際輸出值，em為跟蹤誤差，Um為控制信號(hào)，通過存儲(chǔ)單元不斷迭代更新控制信號(hào)輸入到被控對(duì)象。

2.1.2 收斂性分析

迭代學(xué)習(xí)收斂性分析是確?？刂破髂芊裾９ぷ鞯那疤?，一般有兩種方法進(jìn)行證明，包括時(shí)域和頻域的分析。考慮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，我們采用頻域分析法[14]。

通過壓縮映射原理，系統(tǒng)在被控對(duì)象G、開環(huán)學(xué)習(xí)K以及閉環(huán)反饋學(xué)習(xí)C的作用下，如果滿足：

則當(dāng)m→∞時(shí)，em+1將會(huì)收斂于一個(gè)平衡點(diǎn)。

證明如下：

用迭代學(xué)習(xí)控制前饋輸出量為

反饋控制量為

從圖8可以看出：

由式（7）、式（9）可得控制律為

跟蹤誤差為

如果對(duì)于任意m，em+1滿足下列不等式：

那么em+1將會(huì)收斂于一個(gè)平衡點(diǎn)。

由式（11）可得：

如果要對(duì)每一次迭代總是成立，就必須滿足下列條件

證畢

2.2 算法實(shí)現(xiàn)

從證明可以看出，設(shè)計(jì)前饋—反饋迭代學(xué)習(xí)控制器，主要設(shè)計(jì)反饋控制C、前饋控制K以及濾波器Q。

2.2.1 反饋控制器

選用開環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制，前提是假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但實(shí)際對(duì)于模型信息不確定、不穩(wěn)定且有非重復(fù)性擾動(dòng)的系統(tǒng)，開環(huán)迭代學(xué)習(xí)就顯得力不從心，所以反饋控制器作用十分重要，目的是為了保證跟蹤誤差一致有界性，使系統(tǒng)快速穩(wěn)定，這樣迭代學(xué)習(xí)才能收斂，采用閉環(huán)PD型指數(shù)變?cè)鲆娴牡鷮W(xué)習(xí)作為反饋控制器，傳統(tǒng)學(xué)習(xí)律都是固定增益的，導(dǎo)致系統(tǒng)并不能更好的跟蹤期望軌跡，所以采用指數(shù)變?cè)鲆妗＞唧w控制律為

2.2.2 前饋控制器

由式（14）可知，當(dāng)反饋控制C=0時(shí)，那么該式就化為 ‖Q(1?GK)‖∞< 1。從理論上的來說，前饋控制器最佳選擇是K=G?1。但是在實(shí)際系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)的復(fù)雜性和非線性，不能精確地辨識(shí)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，那么就很難確定前饋控制器，但是迭代學(xué)習(xí)算法并不十分依賴模型的具體信息，降低了對(duì)前饋控制器的要求，可以根據(jù)系統(tǒng)的初步辨識(shí)，進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2.2.3 濾波器

由于干擾、以及系統(tǒng)模型不確定性等因素的影響，控制信號(hào)中可能會(huì)含有高頻噪聲信號(hào)等[15]。但需要的信號(hào)常常在低頻率段，常規(guī)的開閉環(huán)學(xué)習(xí)律控制會(huì)容易分散，為了衰減高頻段，選擇低通濾波器，理論上最佳選擇為Butterworth低通濾波器，則

式中：ω為頻率； ωc為截止頻率。

3 仿真試驗(yàn)

根據(jù)所建立的模型進(jìn)行仿真試驗(yàn)，經(jīng)過多次試驗(yàn)調(diào)試，控制器具體數(shù)值如下：

反饋控制器為

前饋控制器為

濾波器Q（s） = 1/s+ 100；

收斂性驗(yàn)證，將所設(shè)計(jì)的控制器，代入式（14）中，通過函數(shù)的bode圖進(jìn)行驗(yàn)證。

將bode圖的幅頻換成幅值的絕對(duì)值，如圖9所示?？梢郧宄目吹?，最大值為0.014 mg，且值小于1。說明所設(shè)計(jì)的控制器是收斂穩(wěn)定的，且值越小收斂速度越快。

圖9 收斂證明 bode 圖

在MATLAB/simulink中搭建仿真模型圖，編寫s函數(shù)程序，運(yùn)行主程序main，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)構(gòu)圖如圖10所示。

圖10 仿真結(jié)構(gòu)圖

設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)控制器，主要是提高系統(tǒng)的跟蹤精度，考慮實(shí)際系統(tǒng)被測(cè)樣品形貌呈周期性排列，如光柵、生物細(xì)胞等[16]，給定預(yù)期軌跡為

分別進(jìn)行PID控制，與各學(xué)習(xí)律控制仿真，采樣時(shí)間為 0.001 s，仿真時(shí)間為 2 s，迭代次數(shù)為 10 次，結(jié)果如圖11所示。

圖11 正弦波跟蹤曲線

進(jìn)行誤差對(duì)比分析，具體結(jié)果如圖12與表1所示。

圖12 誤差對(duì)比分析結(jié)果

表1 正弦波仿真結(jié)果對(duì)比表

目前系統(tǒng)采用的傳統(tǒng)PID控制方法，誤差穩(wěn)定在 0.3 μm，前饋反饋控制最大誤差為 0.2 nm，可見所設(shè)計(jì)的控制器控制精度最高，完全符合掃描納米精度要求。

為了更好的模擬光柵掃描過程中的跟蹤情況，給定期望軌跡為2πt，占空比為50%的方波信號(hào)，如圖13所示，相較于PID控制，第10次迭代學(xué)習(xí)前饋反饋控制，使系統(tǒng)能更快更平緩的響應(yīng)曲線。

圖13 閉環(huán)迭代正弦波跟蹤曲線

由于系統(tǒng)容易受到高頻信號(hào)的影響[17]，為了檢驗(yàn)所設(shè)計(jì)的控制器在噪聲的干擾下的魯棒性，在正弦波預(yù)期輸入里添加高斯白噪聲信號(hào)。具體仿真結(jié)果如圖14所示。

圖14 添加高斯白噪聲信號(hào)的仿真結(jié)果

通過比較可以看出，無論系統(tǒng)有沒有白噪聲輸入，所設(shè)計(jì)的控制器最終都能使誤差收斂到允許精度范圍內(nèi)，增加了系統(tǒng)的魯棒性。

4 結(jié)論

通過系統(tǒng)的運(yùn)行特征，將迭代學(xué)習(xí)引進(jìn)微納操縱成像系統(tǒng)中，對(duì)比3種學(xué)習(xí)律，選擇了開閉環(huán)型，并在頻域中證明了算法的收斂性。前饋開環(huán)迭代學(xué)習(xí)跟蹤誤差，反饋閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，并將傳統(tǒng)的固定增益轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)變?cè)鲆妗Ｍㄟ^頻域最大幅值證明參數(shù)的收斂可行。通過仿真數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，對(duì)于微納操縱成像系統(tǒng)，反饋-前饋學(xué)習(xí)控制比PID控制以及單一學(xué)習(xí)控制更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。[1]王一帆, 趙慶旭, 王盼, 等.微納操縱成像系統(tǒng)自適應(yīng)模糊PI控制器設(shè) 計(jì)[J].電光與控制, 2019, 26（4）:106-110