張金鐘

直觀想象是對(duì)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中提出的“幾何直觀”與“空間觀念”的新發(fā)展.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).

教師對(duì)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以及素養(yǎng)形成的必要階段和層次，循序漸進(jìn).如圖1，直觀想象的形成基本分為兩個(gè)階段、三個(gè)層次、四個(gè)環(huán)節(jié).第一階段為直觀，即學(xué)生在接觸現(xiàn)實(shí)世界時(shí)通過(guò)直觀觀察而獲得的感性認(rèn)識(shí)，并初建模型，順應(yīng)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活的思想;第二階段為想象，在直觀觀察與建模的基礎(chǔ)上，學(xué)生結(jié)合經(jīng)驗(yàn)和已有數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行猜想、探索、歸納、整合，獲得新的知識(shí)體系和能力提升，符合數(shù)學(xué)服務(wù)于生活的本質(zhì).第一個(gè)層次重在提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;第二個(gè)層次主要增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的意識(shí);第三個(gè)層次在于形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).四個(gè)環(huán)節(jié)主要包括觀察生活、表象直觀、數(shù)學(xué)想象和獲得新知.

對(duì)于直觀想象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，教師不能單純解讀這個(gè)名詞，而應(yīng)通過(guò)發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟并掌握.在這里，筆者以“對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的形成”課程設(shè)計(jì)為例，探索學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)途徑及其他核心素養(yǎng)的滲透在課堂教學(xué)中的體現(xiàn).

一、基于列表描點(diǎn)法的圖象形成探索

〔設(shè)計(jì)思路〕

列表描點(diǎn)法是探索函數(shù)圖象的重要手段，也是幾何直觀直接的體現(xiàn)形式.通過(guò)列表描點(diǎn)法，教師能夠讓學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象形成初步的認(rèn)識(shí)，并在探索的過(guò)程中建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，為后續(xù)的性質(zhì)研究及問題解決提供參考.

〔教學(xué)過(guò)程〕

問題1 結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象的探索方式，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)y=logx和y=log2x的圖象是否可以同樣探索？

師生活動(dòng)：學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)，以及一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)、反比例函數(shù)等的圖象探索方式，得出可以通過(guò)列表描點(diǎn)法探索對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.

問題2 結(jié)合對(duì)數(shù)和指數(shù)的關(guān)聯(lián)，思考：x的選擇應(yīng)控制在什么范圍？

師生活動(dòng)：x的選擇應(yīng)大于0.教師指導(dǎo)學(xué)生以小組合作的方式，通過(guò)不同列表，感知表象直觀對(duì)圖象內(nèi)在實(shí)質(zhì)提煉的重要作用.

問題3 回顧探索過(guò)程，思考：能否想象出y=logax（a>0且a≠1）的圖象？

師生活動(dòng)：通過(guò)幾何直觀的觀察分析及與指數(shù)函數(shù)的類比探索，教師可以引導(dǎo)學(xué)生想象對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，歸納出圖象位于一、四象限，單調(diào)性受a不同取值范圍的影響而改變等簡(jiǎn)單性質(zhì)，如圖2.

〔探索小結(jié)〕

利用基于列表描點(diǎn)法的圖象形成探索，教師可引導(dǎo)學(xué)生從觀察生活這一環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)x>0的內(nèi)在，據(jù)此列表、描點(diǎn)、連線，得到圖象，并結(jié)合表象直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)想象等抽象出y=logax（a>0且a≠1）的幾何圖形，提升他們的數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象的能力及思考問題的意識(shí)，培育直觀想象素養(yǎng).

二、基于反函數(shù)法的圖象形成探索

〔設(shè)計(jì)思路〕

反函數(shù)的概念在新課程教材中日益淡化，但借助反函數(shù)思想，將建立在特值上的指數(shù)、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，抽象至實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)圖象之間的關(guān)聯(lián)，是培育直觀想象中研究事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化和變化規(guī)律的一種有效途徑.

〔教學(xué)過(guò)程〕

問題1 結(jié)合對(duì)函數(shù)、反函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，思考：什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)？

師生活動(dòng)：學(xué)生討論探索，得出“一一對(duì)應(yīng)函數(shù)才有反函數(shù)”的結(jié)論，并得出對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

問題2 結(jié)合對(duì)稱性在圖象上的體現(xiàn)，思考：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間存在什么關(guān)聯(lián)？

師生活動(dòng)：結(jié)合對(duì)反函數(shù)概念的理解，教師引導(dǎo)學(xué)生得出指數(shù)函數(shù)中（a，b）與對(duì)數(shù)函數(shù)中（b，a）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而探索并證明出圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的結(jié)論.

問題3 結(jié)合指數(shù)函數(shù)及互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)聯(lián)，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是什么樣子？

師生活動(dòng)：結(jié)合尺規(guī)作圖找對(duì)稱點(diǎn)、折紙等直觀想象及建模方式，得出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.

〔探索小結(jié)〕

直觀想象的第二層次中增強(qiáng)幾何直觀與空間想象思考問題的意識(shí)在這里得到了很好的體現(xiàn)，通過(guò)借助反函數(shù)的概念及思想，從對(duì)指數(shù)函數(shù)的表象直觀中萌發(fā)新的意識(shí)，學(xué)生提升了數(shù)學(xué)抽象能力.

三、基于數(shù)形互構(gòu)的圖象形成探索

〔設(shè)計(jì)思路〕

圖象是性質(zhì)的幾何直觀，性質(zhì)又是圖象的代數(shù)體現(xiàn).通過(guò)函數(shù)的研究途徑，我們可依次研究對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域、定點(diǎn)、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，并通過(guò)各自的圖象體現(xiàn)，探索對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.

〔教學(xué)過(guò)程〕

問題1 結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域分別是什么？

師生活動(dòng)：輕而易舉地得出對(duì)數(shù)函數(shù)定義域?yàn)閧x|x>0}，以及值域?yàn)镽的結(jié)論.

問題2 結(jié)合定義域和值域的幾何體現(xiàn)，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象呈現(xiàn)在什么區(qū)域？

師生活動(dòng)：一、四象限，且與y軸無(wú)限接近但不相交.

問題3 結(jié)合冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的判斷依據(jù)，類比對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)是否也過(guò)某定點(diǎn)？

師生活動(dòng)：類比冪運(yùn)算1a=1、指數(shù)運(yùn)算a0=1（a>0且a≠1），找到對(duì)數(shù)運(yùn)算中l(wèi)oga1=0（a>0且a≠1），并得出對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0）的結(jié)論，并體現(xiàn)在圖象中，如圖3.

問題4 結(jié)合代數(shù)法判斷單調(diào)性，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在圖象中如何呈現(xiàn)？

師生活動(dòng)：以小組合作的方式，回顧對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則，分a>1和0<a<1兩類證明并探索對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出“a>1時(shí)單調(diào)遞增”和“0<a<1時(shí)單調(diào)遞減”的結(jié)論.

問題5 結(jié)合代數(shù)法判斷奇偶性，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)是否具有奇偶性？在圖象中如何呈現(xiàn)？

師生活動(dòng)：函數(shù)具有奇偶性需先滿足定義域?qū)ΨQ，但對(duì)數(shù)函數(shù)不滿足，故對(duì)數(shù)函數(shù)不具有奇偶性，圖象不具有關(guān)于y軸或（0，0）的對(duì)稱性.

問題6 結(jié)合以上探索，思考：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象如何呈現(xiàn)？

師生活動(dòng)：定義域與值域呈現(xiàn)在圖象所在的區(qū)域上，定點(diǎn)呈現(xiàn)出底數(shù)不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的共性，單調(diào)性呈現(xiàn)在圖象的變化形式上，奇偶性呈現(xiàn)在圖象的對(duì)稱性上，如圖4.

〔探索小結(jié)〕

數(shù)形結(jié)合是對(duì)直觀想象最直接的認(rèn)識(shí)，也是直觀想象最常見的體現(xiàn)形式.數(shù)形互構(gòu)的圖象探索方式更深地體現(xiàn)出在具體情境中感悟事物本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)直觀的重要性，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象中感悟并獲得新知，促成直觀想象核心素養(yǎng)的目標(biāo)性培育.

四、基于教學(xué)軟件的圖象形成探索

〔設(shè)計(jì)思路〕

列表描點(diǎn)法能從未知世界中探索出圖象的大體輪廓，反函數(shù)法需要有原始函數(shù)的支撐，數(shù)形互構(gòu)法也僅能從某種程度上彌補(bǔ)前兩種方法在圖象探索上的不足，但不能動(dòng)態(tài)、準(zhǔn)確地體現(xiàn)底數(shù)變化對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象變化的精確影響.幾何畫板、GeoGebra、matlab等軟件，就能很好地填補(bǔ)這個(gè)空白，讓函數(shù)圖象更精準(zhǔn)，幾何直觀更準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)抽象更省力.

〔教學(xué)過(guò)程〕

問題1 函數(shù)y=log2x、y=log3x、y=logx、y=logx的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中有什么位置上的差別及聯(lián)系？

師生活動(dòng)：結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算規(guī)則，能輕松得出底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，也能探索出底數(shù)的改變對(duì)圖象增減幅度的影響，但稍顯困難.

問題2 如何借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段得到函數(shù)的準(zhǔn)確圖象，并觀察動(dòng)態(tài)變化？

師生活動(dòng)：教師可借助幾何畫板、GeoGebra等軟件，建立動(dòng)態(tài)函數(shù)模型，通過(guò)參數(shù)改變體現(xiàn)圖象變化，同時(shí)教會(huì)學(xué)生操作步驟，并在操作過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).

〔探索小結(jié)〕

科學(xué)是嚴(yán)肅的.直觀想象是聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)理論的橋梁與紐帶，是研究事物的形態(tài)與變化規(guī)律、分析和解決問題的重要手段.當(dāng)然，我們同時(shí)也需要科學(xué)的技術(shù)與手段，進(jìn)一步彌補(bǔ)想象中的不足，以及對(duì)比想象與實(shí)際之間的差距，以檢驗(yàn)直觀想象素養(yǎng)的培育效果.

綜上所述，在對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的形成探究中，列表描點(diǎn)法依托生活中對(duì)數(shù)函數(shù)原型，用最樸實(shí)的方式對(duì)其進(jìn)行觀察，初立模型，引起表象直觀;反函數(shù)法則在列表描點(diǎn)法的基礎(chǔ)上誘發(fā)數(shù)學(xué)抽象，增強(qiáng)幾何直觀與空間想象思考問題的意識(shí);數(shù)形互構(gòu)法更是利用數(shù)形結(jié)合這一熟知手段，剖析性質(zhì)與圖象的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)直觀.

直觀想象無(wú)處不在地體現(xiàn)在我們對(duì)生活的觀察、認(rèn)識(shí)和感悟中，在數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建和應(yīng)用中處于十分重要的地位，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步形成的必備品質(zhì)和關(guān)鍵能力.高中數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培育，應(yīng)以人為本，與時(shí)俱進(jìn)，注重素養(yǎng)共進(jìn)及學(xué)科融合.這些都需要我們一線教師在平時(shí)的教學(xué)中不斷嘗試、潛心研究.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇