張玉元 張元海 張 慧

(蘭州交通大學土木工程學院, 蘭州 730070)

薄壁箱梁廣泛應用于現(xiàn)代橋梁工程建設(shè)中.國內(nèi)外學者就箱梁空間力學行為已開展了比較深入的研究,剪力滯效應就是其中之一.箱梁剪力滯效應是由于翼板面內(nèi)剪切變形使遠離腹板處的縱向位移滯后于靠近腹板處縱向位移的一種力學現(xiàn)象[1-5].

近年來,學者們對箱梁剪力滯效應已開展了大量的研究工作.Reissner[3]首次運用能量法建立了箱梁剪力滯效應的變分解.吳幼明等[6]運用能量法建立了3個不同廣義位移的箱梁剪力滯效應解析解;與截面選取單個廣義位移相比,該方法顯著提高了剪力滯效應的求解精度.張元海等[7-10]運用能量變分法建立了以附加撓度為廣義位移的箱梁剪力滯效應解析解;該廣義位移較最大剪切轉(zhuǎn)角差有明確物理意義,且便于工程人員理解和應用.舒小娟等[11]將腹板剪切變形納入箱梁縱向位移中,建立了統(tǒng)籌考慮剪切和剪力滯效應的箱梁變分解,從而簡化了該問題的求解過程.此外,李夏元等[12]運用能量法建立了基于修正翹曲位移模式的箱梁剪力滯效應解析解;時元緒等[13]從理論上給出了翹曲位移函數(shù)的合理組合形式;肖軍等[14]分析了各種翹曲位移函數(shù)對箱梁剪力滯效應的影響;甘亞南等[15]利用變分解探討了腹板褶皺效應對工字形梁翼板正應力的影響;周茂定等[16]建立了考慮翼板剪切效應的箱梁撓度簡便計算方法.

綜上所述,既有文獻在建立箱梁剪力滯效應變分解時,忽略了翼板橫向位移的影響(認為該項位移很小),但該位移的變化率未必很小,其對翹曲剪切應變能的準確表達具有重要影響.為了揭示翼板橫向位移對箱梁剪力滯效應的影響,本文提出了一種考慮翼板橫向位移影響的箱梁剪力滯效應解析方法,并分析其對剪力滯效應的影響規(guī)律.

1 翹曲縱向位移與正應力

圖1為任意豎向?qū)ΨQ荷載q(z)作用下箱梁發(fā)生撓曲變形的截面簡圖,將其變形狀態(tài)分解為初等梁彎曲變形狀態(tài)和剪力滯翹曲變形狀態(tài)[7-10].

(a)坐標系及荷載

將剪力滯翹曲變形狀態(tài)作為一種獨立的受力狀態(tài)進行分析,選取剪力滯效應引起的附加撓度為廣義位移,其翹曲縱向位移uω(x,y,z)表達為

(1)

由胡克定律及幾何方程可知,箱梁橫截面任一點的翹曲正應力σω(x,y,z)表達為

(2)

式中,E為彈性模量.

(3)

(4)

與翹曲正應力σω(x,y,z)對應的廣義力矩Mω定義為

(5)

根據(jù)翹曲正應力表達式,可導出箱梁截面任一點的剪力滯系數(shù)λ的表達式,即

(6)

2 翹曲橫向位移與剪應力

圖2為任意閉口薄壁桿件彎曲變形時的橫截面簡圖,nsz為桿件中面的流動坐標系,n、s和z構(gòu)成右手坐標系;uω(s,z)和vω(s,z)為翹曲縱向位移和切向位移,ψ為位移夾角.當薄壁桿件發(fā)生剪力滯附加撓曲位移f時,其切向位移vω表達為

圖2 閉口薄壁桿件彎曲變形時的橫截面簡圖

(7)

(8)

式中,γω為剪力滯翹曲剪應變.

將式(8)積分1圈可得剪應變與附加撓曲轉(zhuǎn)角的關(guān)系式為

∮γωds=f′∮dy

(9)

顯然∮dy=0,則∮γωds=0.沿用翹曲縱向位移模式定義方法,其翹曲切向位移定義為vω(s,z)=φ(s)ζ(z),其中φ(s)和ζ(z)分別為描述翹曲切向位移模式的分布函數(shù)和廣義位移.將翹曲縱向位移uω和切向位移vω代入∮γωds=0得

(10)

ζ(z)=C1f+C2

(11)

將式(11)代入翹曲切向位移模式,可得直角坐標系下截面任一點的切向位移vω(x,y,z)表達式為

vω(x,y,z)=φ(x,y)f(z)

(12)

式中,φ(x,y)為翼板橫向位移分布函數(shù).

結(jié)合胡克定律及幾何方程可得箱梁橫截面任一點的翹曲剪應力τω(x,y,z)為

(13)

式中,G為剪切彈性模量.

運用有限元軟件計算繪制翼板橫向位移分布圖(見圖3),繪制時引入以下2個基本假設(shè)：箱梁頂、底板中點處的橫向位移為0;變形前后翼板與腹板的夾角不發(fā)生改變.位移方向規(guī)定為：與坐標軸正方向一致為正,相反為負[18].

圖3 箱梁翼板橫向位移分布圖

根據(jù)圖3,可給出橫向位移分布函數(shù)φ(x,y)的表達式為

(14)

式中,α1、α2、α3為翼板橫向位移修正系數(shù).

(15)

式中,μ為材料泊松比.

將頂板翹曲分布函數(shù)代入式(15),令x=b1,即可求得頂板橫向位移修正系數(shù)α1的表達式為

(16)

同理可得,箱梁底板、懸臂板的橫向位移修正系數(shù)α2、α3的表達式為

(17)

(18)

從式(16)～(18)可以看出,橫向位移修正系數(shù)與泊松比、翼板寬度和跨度有關(guān).

3 控制微分方程的建立

結(jié)合彈性理論,箱梁剪力滯翹曲變形的體系總勢能Π可表達為

(19)

由最小勢能駐值原理可知,對式(19)求一階變分,并令δΠ=0,可得關(guān)于附加撓度的控制微分方程為

(20)

式中,k為考慮翼板橫向位移的Reissner參數(shù),即

分析總勢能一階變分的邊界項,可以得到關(guān)于廣義剪力Qω的表達式為

Qω=-EIωf?+GAωf′=-EIω(f?-k2f′)

(21)

常系數(shù)非齊次線性微分方程式(20)的通解為

f=C1+C2z+C3sinh(kz)+C4cosh(kz)+f*(22)

式中,C1～C4為待定系數(shù),由具體邊界條件確定;f*為僅與q(z)分布荷載有關(guān)的特解.

確定上述4個常數(shù)所需的邊界條件為

固定端

f=0,f′=0

簡支端

f=0,f″=0

自由端

f″=0,f?-k2f′=0

4 箱梁剪力滯效應計算

4.1 簡支箱梁

如圖4所示,簡支箱梁受集中荷載P作用,a、b為集中荷載作用點至左、右支點的距離.作用點左、右梁段內(nèi)的剪力滯附加撓度、剪力滯系數(shù)用下標1、2表示.

圖4 簡支箱梁受集中荷載作用簡圖

根據(jù)式(22),再結(jié)合4個梁端邊界條件和4個連續(xù)性條件[18],即可得到集中荷載作用下簡支箱梁的剪力滯附加撓度計算公式為

(23)

將初等梁和翹曲正應力表達式代入式(6),可得截面上任一點的剪力滯系數(shù)λ(x,y,z)表達式為

(24)

4.2 連續(xù)箱梁

圖5為兩跨連續(xù)箱梁受均布荷載作用的示意圖.為便于分析,可取其中一跨建立剪力滯效應解析解,取左跨為研究對象.

(a)兩跨連續(xù)梁

根據(jù)式(22),再結(jié)合4個梁端邊界約束條件[18],即可求得兩跨連續(xù)梁單跨梁的剪力滯附加撓度計算公式為

(25)

將初等梁和翹曲正應力表達式代入式(6),可得兩跨連續(xù)箱梁單跨梁截面上任一點的剪力滯系數(shù)λ(x,y,z)表達式為

(26)

5 算例分析

5.1 簡支箱梁

以文獻[18]中介紹的有機玻璃簡支箱梁模型為例,如圖6所示,跨度為0.8 m,跨中截面作用集中荷載P=272.2 N,材料彈性模量E=3 GPa,μ=0.385.

圖6 箱梁橫截面尺寸及計算點位置(單位：mm)

運用本文方法計算跨中截面各計算點的縱向應力,與文獻[18]中的有限元解一并列于表1中.計算繪制跨中截面上翼板剪力滯系數(shù)橫向分布圖、關(guān)鍵點(截面)的剪力滯系數(shù)及附加撓度縱向分布圖,如圖7～圖9所示.

圖9 簡支箱梁剪力滯附加撓度縱向分布圖

表1 簡支箱梁跨中截面縱向應力對比

由表1可知:考慮翼板橫向位移的計算結(jié)果與有限元數(shù)值解吻合更好,進而驗證了本文方法的正確性;以有限元數(shù)值解為參照,與不考慮橫向位移的計算結(jié)果相比,考慮后跨中截面頂(底)板肋處的縱向應力計算精度提高了8.83%和7.92%,懸臂板端部縱向應力計算精度提高了16.78%.

由圖7可知：翼板橫向位移對簡支箱梁剪力滯系數(shù)橫向分布的影響較小;與不考慮橫向位移的計算結(jié)果相比,考慮后簡支箱梁跨中截面頂板肋處剪力滯系數(shù)減小了7.88%,頂板中點處的剪力滯系數(shù)增大了4.66%,懸臂板端部的剪力滯系數(shù)增大了14.93%.

圖7 簡支箱梁跨中截面上翼板剪力滯系數(shù)橫向分布圖

由圖8可知：考慮翼板橫向位移時簡支箱梁頂板肋處的剪力滯系數(shù)小于不考慮時的計算結(jié)果,考慮后剪力滯系數(shù)縱向分布曲線更貼近于λ=1的水平線;考慮和不考慮橫向位移的剪力滯系數(shù)的差值由兩側(cè)支點向跨中截面遞增.

圖8 簡支箱梁截面頂板肋處剪力滯系數(shù)縱向分布圖

由圖9可知：翼板橫向位移對簡支箱梁剪力滯附加撓度的影響較大;考慮翼板橫向位移的附加撓度小于不考慮時的計算結(jié)果;考慮和不考慮橫向位移的附加撓度差值比,由兩側(cè)支點向跨中截面遞增;與不考慮橫向位移的計算結(jié)果相比,考慮后簡支箱梁跨中截面附加撓度減小了61.81%.

5.2 連續(xù)箱梁

以文獻[18]中介紹的兩跨等截面有機玻璃連續(xù)箱梁為例,其荷載示意圖如圖5所示,橫截面尺寸如圖10所示,均布荷載q=0.2 kN/m,單跨長l=0.8 m,材料參數(shù)為E=2.8 GPa,μ=0.37.

圖10 連續(xù)箱梁橫截面尺寸(單位：mm)

建立單跨梁ANSYS有限元模型(共劃分為5 010個節(jié)點,4 992個單元),并計算跨中截面上翼板的剪力滯系數(shù).按照本文方法計算繪制連續(xù)箱梁單跨梁跨中截面上翼板剪力滯系數(shù)橫向分布圖、關(guān)鍵點(截面)的剪力滯系數(shù)及附加撓度縱向分布圖,如圖11～圖13所示.

圖11 連續(xù)梁單跨梁跨中截面上翼板剪力滯系數(shù)橫向分布圖

圖12 連續(xù)梁單跨梁截面頂板肋處剪力滯系數(shù)縱向分布圖

圖13 連續(xù)梁單跨梁剪力滯附加撓度縱向分布圖

由圖11可知：考慮翼板橫向位移時兩跨連續(xù)箱梁單跨梁跨中截面剪力滯系數(shù)與有限元數(shù)值解吻合更好,再次驗證了本文方法的正確性;翼板橫向位移對兩跨連續(xù)梁剪力滯系數(shù)的影響較小,與不考慮翼板橫向位移的計算結(jié)果相比,考慮時單跨梁跨中截面頂板肋處的剪力滯系數(shù)減小了6.81%,頂板中點處的剪力滯系數(shù)增大了2.92%,懸臂板端部剪力滯系數(shù)增大了7.42%.

由圖12和圖13可知：翼板橫向位移對連續(xù)梁剪力滯系數(shù)縱向分布的影響較小,對附加撓度的影響較大;翼板橫向位移對連續(xù)梁反彎點及中支點附近梁段的剪力滯系數(shù)影響較顯著,其余梁段影響較小;翼板橫向位移對剪力滯附加撓度的影響較大,與不考慮橫向位移的結(jié)果相比,考慮橫向位移時單跨梁跨中截面的附加撓度減小了71.08%,且二者差值比由兩側(cè)支點向跨中遞增.

6 結(jié)論

1)針對箱梁剪力滯翹曲變形狀態(tài),定義了箱梁的翼板橫向位移模式,解決了既有文獻忽略翼板橫向位移對剪力滯產(chǎn)生的放大效應.

2)翼板橫向位移對箱梁剪力滯系數(shù)有一定的削弱作用;與不考慮翼板橫向位移的計算結(jié)果相比,考慮橫向位移時簡支和連續(xù)箱梁跨中截面頂板肋處的剪力滯系數(shù)減小了7.88%和6.81%;考慮和不考慮橫向位移的剪力滯系數(shù)差值比由支點向跨中遞增,且考慮后的剪力滯系數(shù)縱向分布更貼近于λ=1的水平線.

3)翼板橫向位移對箱梁剪力滯附加撓度有顯著的影響;與不考慮翼板橫向位移的計算結(jié)果相比,考慮后簡支和連續(xù)箱梁跨中截面附加撓度減小了61.81%和71.08%;考慮和不考慮橫向位移的附加撓度差值比由支點向跨中遞增.