佟麗馨

[摘 要]恰當(dāng)合理地使用格子圖，可以解決很多抽象的問(wèn)題。借助格子圖的幾何直觀作用，許多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題就可以與幾何圖形巧妙融合， 化難為易，化繁為簡(jiǎn)，不僅使問(wèn)題變得更有趣味，而且能夠在解決問(wèn)題時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀;格子圖;平行四邊形的面積

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）05-0026-03

縱觀人教版教材，隨處可見(jiàn)格子圖的身影，只要教師能對(duì)格子圖善加運(yùn)用，不但可以促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的形成和發(fā)展，而且有助于學(xué)生建立初步二維空間的觀念，學(xué)會(huì)用幾何方式分析數(shù)量問(wèn)題。

一、現(xiàn)象思考

“平行四邊形的面積”是一節(jié)幾何常規(guī)課，但教師對(duì)于該課中格子圖的使用存在較大分歧。意見(jiàn)一：格子圖非用不可。課本中既然出現(xiàn)了，就不能違背編者意圖和教材宗旨;面積單位的定義和面積度量的理論基礎(chǔ)都是對(duì)面積單位的累計(jì)，這是根本。意見(jiàn)二：可以棄用格子圖。格子圖太過(guò)刻板，學(xué)生不容易想到，與其勉強(qiáng)使用教材，不如直接棄用;即使棄用格子圖，照樣可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。

格子圖用或不用取決于執(zhí)教者的教學(xué)觀念，如果執(zhí)教者想要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，那么在推導(dǎo)平行四邊形的面積公式時(shí)，是可以用格子圖的，這與用割補(bǔ)法推導(dǎo)平行四邊形的面積公式其實(shí)并不沖突。在使用割補(bǔ)法之前可以將平行四邊形劃分成一個(gè)個(gè)方格（每個(gè)方格恰好為一個(gè)面積單位），然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種數(shù)方格的直觀方法存在很大的缺陷，因?yàn)閳D形中存在很多不規(guī)則的“半格”“大半格”等，無(wú)法計(jì)數(shù)，從而促使學(xué)生尋找新的途徑，想辦法讓這些“殘缺”的方格盡量拼湊成整格，便于計(jì)數(shù)。最后滲透轉(zhuǎn)化思想，將平行四邊形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形，因?yàn)殚L(zhǎng)方形是可以徹底分割成很多整塊的方格的，所以在整個(gè)割補(bǔ)的過(guò)程中，依然可以保留格子圖背景。學(xué)生在割補(bǔ)之后發(fā)現(xiàn)，所有的半格都合并成整格，可以通過(guò)數(shù)方格數(shù)出其面積，也可以通過(guò)“行×列”計(jì)算出方格數(shù)，暗合了“長(zhǎng)×寬”的公式。這樣，在格子圖的幫助下，割補(bǔ)法中抽象的元素轉(zhuǎn)化變得直觀生動(dòng)。

二、編排情況

人教版教材緊扣知識(shí)發(fā)展線索，為了符合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，才系統(tǒng)而漸進(jìn)地推出格子圖，使學(xué)生的空間觀念得到持續(xù)、穩(wěn)健而長(zhǎng)足的發(fā)展。在課程標(biāo)準(zhǔn)劃定的四大板塊中，圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)兩大板塊中格子圖使用最為頻繁。以2013年審定的人教版教材“圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)”模塊為例，滲透了格子圖內(nèi)容的有以下章節(jié)：

格子圖幾乎貫穿于整套教材中，這是格子圖的強(qiáng)大功能所致。首先，格子圖最顯著的特征就是直觀，體現(xiàn)在方向感強(qiáng)——縱橫交錯(cuò)的網(wǎng)格線使上下左右的方位十分清晰，學(xué)生只需看一眼就能辨識(shí)。其次，格子圖自帶準(zhǔn)確的刻度標(biāo)志。在測(cè)繪圖形的過(guò)程中，由于刻度尺度量、讀數(shù)等環(huán)節(jié)都容易存在誤差，再加上被一些細(xì)枝末節(jié)分散注意力，學(xué)生會(huì)在分析時(shí)感到困難。而格子圖則從源頭上堵住這個(gè)漏洞。因此，格子圖與生俱來(lái)的對(duì)距離和方向的記錄功能，能促使教學(xué)直達(dá)知識(shí)核心。

格子圖在教材中具有如此強(qiáng)大的生命力，是有原因的。從心理學(xué)角度出發(fā)，學(xué)生在整個(gè)小學(xué)階段的認(rèn)知離不開(kāi)形象思維，即使到了高年級(jí)，對(duì)于一些幾何問(wèn)題，尤其是抽象的面積問(wèn)題，學(xué)生剛剛形成的抽象思維還是不夠用的。到了四、五年級(jí)后，學(xué)生的抽象思維只能解決代數(shù)部分的問(wèn)題，也就是四則混合運(yùn)算（包括簡(jiǎn)易方程），但是這個(gè)階段的幾何問(wèn)題難度明顯增大，需要計(jì)算一些面積，甚至是體積，包括最后圓形的面積和圓柱體的體積，如果離開(kāi)了形象思維和幾何直觀，學(xué)生是很難抽象地理解和運(yùn)用相關(guān)公式的。如果此時(shí)重新建立直觀模型，不但會(huì)與低年級(jí)建立的直觀割裂，而且還缺乏經(jīng)驗(yàn)的支撐，前期形成的空間觀念也會(huì)受到?jīng)_擊。因此，最好的辦法就是繼續(xù)運(yùn)用格子圖，保證學(xué)生的空間觀念得到持續(xù)性發(fā)展，還可以繼續(xù)促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展，如面積就是以方格為基本單位，體積也可以理解為三維空間上的方格，“行數(shù)×列數(shù)×層數(shù)”就可看作是長(zhǎng)、寬、高上的方格數(shù)相乘。

三、有效使用格子圖的策略

格子圖被編入教材，就意味著承擔(dān)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展、發(fā)展學(xué)生空間觀念、突顯幾何直觀等重要使命。作為教師，應(yīng)深刻領(lǐng)會(huì)格子圖的巨大潛在價(jià)值，做到物盡其用。

1.“格”來(lái)鋪墊，順勢(shì)推導(dǎo)

格子圖的第一用途就是鋪墊。在小學(xué)階段，學(xué)生主要靠觀察來(lái)學(xué)習(xí)基本幾何概念，而格子圖則為學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的幾何性質(zhì)建立緩沖區(qū)。有了格子圖，學(xué)生就能循序漸進(jìn)地理解和接受一些幾何概念，消除一些不必要的誤會(huì)。以第九冊(cè)的“平行四邊形的面積”教學(xué)為例，學(xué)生很難憑空想到割補(bǔ)法。此時(shí)，引入格子圖，并以格子圖為參照，學(xué)生就能發(fā)揮想象力，進(jìn)行切割和拼貼。有了格子圖的鋪墊，將平行四邊形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形不再難以理解，而是順理成章。

面積定義的本源就是含有面積單位的數(shù)量，格子圖正好可以解釋這一定義。例如，圖1中的平行四邊形的面積是16平方厘米，一個(gè)方格面積按1平方厘米計(jì)算，移多補(bǔ)少后正好覆蓋16個(gè)格子。學(xué)生先后在三年級(jí)和五年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)面積，時(shí)隔兩年，如何使知識(shí)緊密銜接不脫節(jié)呢？格子圖就充當(dāng)了黏合劑和雙面膠。

2.“格”來(lái)輔助，幫助思考

格子圖能為學(xué)生帶來(lái)明確的方向和距離的參考。學(xué)生在測(cè)繪時(shí)，如果在白紙上繪圖，不但會(huì)出現(xiàn)誤差，還會(huì)忽略圖形的主要幾何特征，而有了格子圖，“距離方位”顯而易見(jiàn)。格子圖釋放了更多自由思考和理性分析的空間。如在第七冊(cè)“平行四邊形和梯形”單元中，“平行”與“垂直”概念被正式提出。受生活情境負(fù)遷移的影響，學(xué)生已經(jīng)形成“水平豎直交叉才是垂直”的思維定式，一旦互相垂直的兩條直線不在水平豎直方向，學(xué)生就無(wú)法理智判斷。此時(shí)，格子圖“出馬”，學(xué)生就能迅速厘清頭緒。

（1）圖2中的兩條直線是什么幾何位置關(guān)系？（學(xué)生都能自信答道：“平行！”）

（2）圖3的三幅圖中分別畫(huà)了一對(duì)線段，它們還互相平行嗎？（幫助學(xué)生在判斷平行時(shí)擺脫“長(zhǎng)度”和“方向”的干擾，直擊概念的本質(zhì)要素）

（3）請(qǐng)?jiān)囍?huà)出與圖4中的線段平行的其他線段。

學(xué)生的作品：

可見(jiàn)，學(xué)生能夠參考方格上的位置畫(huà)出傾斜的線段的平行線。這時(shí)格子圖的位置指示作用不再是直接映襯，而是間接推理，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

（4）請(qǐng)判斷圖6中的三組線段是否相互平行？

有了之前的經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生對(duì)格子圖的方位感理解得更為透徹和全面，此時(shí)再判斷自然是手到擒來(lái)。

格子圖的價(jià)值可以說(shuō)是無(wú)限巨大，不怕做不到就怕想不到，除了數(shù)方格算面積，還可以充分挖掘方格本身具有的幾何特性：方格里含有平行線、直角;每個(gè)方格本身就是一個(gè)特殊的四邊形——正方形，在正方形內(nèi)畫(huà)出對(duì)角線后，還可以將正方形分成兩個(gè)等腰直角三角形……可以說(shuō)格子圖具有很強(qiáng)的可塑性，在教學(xué)因倍數(shù)時(shí)可以借助“用方塊拼搭矩形”的操作活動(dòng)來(lái)揭示倍數(shù)和因數(shù)的概念和依存關(guān)系;教學(xué)比例時(shí)，可以利用方格自動(dòng)記錄長(zhǎng)度的特性來(lái)按比例縮放圖形;教學(xué)平移與旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以方便地記錄圖形變換的角度和距離……這些都與格子圖自身“計(jì)數(shù)”與“顯形”的雙重功能有關(guān)。

3.數(shù)“格”結(jié)合，詮釋內(nèi)涵

“數(shù)”與“形”是幾何的兩大主線，華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀 ，形缺數(shù)時(shí)難入微?！备褡訄D就是一種天然的帶有數(shù)感的幾何圖形，可以變抽象為具體，轉(zhuǎn)抽象為形象，直擊數(shù)學(xué)概念內(nèi)核。縱向比較格子圖出現(xiàn)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)后，再橫向比較格子圖出現(xiàn)的不同版本，發(fā)現(xiàn)各版本教材都出現(xiàn)的百數(shù)圖，可以視為一個(gè)10×10的格子圖，當(dāng)把1～100各數(shù)填入其中后，這些數(shù)字在特定的幾何位置上就會(huì)呈現(xiàn)一定的排列規(guī)律，研究這些數(shù)字的排列規(guī)律時(shí)，可以直接借用幾何特征來(lái)揭示。一數(shù)一格，直觀與抽象交織在一起，教師可提問(wèn)：

（1）補(bǔ)完百數(shù)圖后試著尋找其中的規(guī)律。（從橫、豎、斜三個(gè)維度去研究）

（2）不看圖，如何根據(jù)規(guī)律預(yù)測(cè)某個(gè)數(shù)附近的數(shù)？如對(duì)于27，左側(cè)的數(shù)字比它小1，右側(cè)的數(shù)字比它多1;上面的數(shù)比它少10，下面的數(shù)比它多10。27這個(gè)數(shù)字所在的行和列存在什么關(guān)系？

（3）用一些“俄羅斯方塊”去遮蓋百數(shù)圖，露出一個(gè)數(shù)，讓學(xué)生推出其他遮擋數(shù)字。

這些猜數(shù)字游戲把格子圖數(shù)形結(jié)合的特征展露無(wú)遺，既帶有強(qiáng)烈的邏輯性，又帶有明顯的幾何特性，數(shù)字規(guī)律與幾何特性水乳交融，密不可分，既發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，又訓(xùn)練了學(xué)生的形象思維。

4.“格”來(lái)創(chuàng)新，盡顯直觀魅力

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，即使沒(méi)有格子圖，也可以根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容，靈活選擇點(diǎn)格與方格，將格子圖的作用發(fā)揮到極致：如果要強(qiáng)調(diào)長(zhǎng)短，適用點(diǎn)格;如果要強(qiáng)調(diào)面積，適用方格。

例如，某教師執(zhí)教“多邊形面積的復(fù)習(xí)課”時(shí)，整堂課就解決一個(gè)問(wèn)題：要在長(zhǎng)方形（10米×5米）的土地上種植一塊草皮，每平方米造價(jià)60元，現(xiàn)在只有2400元預(yù)算，最大可以種植多大面積的草皮？這塊草皮可能是什么形狀？

由題可知，預(yù)算只夠種40平方米的草坪，在10米×5米的土地上如何設(shè)計(jì)這40平方米的草坪呢？這是一道開(kāi)放性很強(qiáng)的題目，需要學(xué)生調(diào)動(dòng)所有學(xué)過(guò)的幾何圖形的面積公式來(lái)構(gòu)思和推算。讓學(xué)生在白紙上設(shè)計(jì)，學(xué)生基本上是信手涂鴉，但以格子圖作背景，問(wèn)題就會(huì)簡(jiǎn)單很多。繪圖操作有了依據(jù)，學(xué)生就會(huì)自動(dòng)參考網(wǎng)格線指示的方位和長(zhǎng)度，畫(huà)出符合要求的圖形，思路一下子就打開(kāi)了。

綜上，正是這種整齊劃一的格子圖，不僅使學(xué)生可以專注于不同幾何圖形的面積公式驗(yàn)證與應(yīng)用，而且還能訓(xùn)練學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的形成。

（責(zé)編 童 夏）