■ 武漢第三寄宿中學 陳曼玲

在幾何圖形中設置動點，探究動點的軌跡，從而研究某些幾何量之間的關系，這類因動點而產生的最值問題是初中數(shù)學教學的熱點和難點。通過對這類問題的分析解決，可以幫助學生夯實基礎知識和基本方法，培養(yǎng)學生推理論證等邏輯思維能力，透過表象認清數(shù)學本質，巧妙建構模型解決問題。

一、典例呈現(xiàn)，提出問題

（2021年武漢市中考16題）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，邊AB上的點D從頂點A出發(fā)，向頂點B運動，同時，邊BC上的點E從頂點B出發(fā)，向頂點C運動，D，E兩點運動速度的大小相等，設x＝AD，y＝AE+CD，y關于x的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過點（0，2），則圖象最低點的橫坐標是__________.

此題從題面上看，將幾何中常見的的三角形圖形與函數(shù)圖象有機的結合在一起，構思新穎，讓學生覺得似曾相識，一點也不陌生，很愿意去做，但真正做的時候卻有點棘手，是又愛又怕喜憂參半!

二、數(shù)學建模，轉化問題

通過閱讀題目，知道在ΔABC中，D,E兩動點在運動過程中滿足AD=BE，由圖象過點（0，2），可得出AB=AC=1，問題轉化為當AD為何值時，AE+CD最小，即a+b型最值問題。在這類問題中，我們通常可以轉化為“將軍飲馬”或者“三角形中三邊的關系”來解決，從而找到問題的根本，剩下的就需要借助全等來進行線段的轉化了。

三、透析本質，巧構解題

思路一：如圖1，過點A做AF∥BC（或做∠FAB=450），且AF=AB,連FD,CF，即以AD為邊補了一個角一條邊，則可證ΔFAD?ΔABE（SAS），得FD=AE，于是AE+CD就轉化為CD+FD,當C,D,F三點共線時CD+DF最小，此時D點運動到G點，即求AG的長，只要解ΔAFG就可以了。在ΔAFG中，已知∠FAB=450，AF=1,可求 ∠AFG=22.50,ΔAFG可解，從而可得。

圖1

思路小結：CD不動，將AE與CD轉化到同一個三角形中，從而利用三角形三邊之間的關系順利找到最值。

思路二：如圖2，過點B作BF⊥BE（或做∠EBF=900），且BF=AC,連EF,AF，即以BE為邊補了一個角一條邊，則可證ΔADC?ΔBEF（SAS），得EF=DC，于是AE+CD就轉化為AE+EF,當A,E,F三點共線時AE+EF最小，此時E點運動到G點，即求BG的長，只要解ΔBFG就可以了。在ΔBFG中，已知 ∠EBF=900，BF=1,可求 ∠AFB=22.50,ΔBFG可解，從而可得。

圖2

思路小結：AE不動，將AE與CD轉化到同一個三角形中，從而利用三角形三邊之間的關系順利找到最值。

思路三：如圖3，過點A做∠DAF=450（或AF⊥BC，或取BC中點均可），且AF=AB，連DF，則可證ΔADF?ΔBEA（SAS），得DF=AE，于是AE+CD就轉化為DF+CD,問題轉化為在AB上找一點D，使點D到兩定點C,F的距離和最小，即學生熟悉的“將軍飲馬”問題，我們只需做點C（或點F）以直線AB對稱軸的對稱點H，連FH交AB于點G，則點D運動到點G時，求AG的長即可。做C,H關于直線AB對稱，可得H,A,C三點共線，AB=AC=HA=AF=1，可證∠H=22.50，解RtΔHAG，可求。

圖3

思路四：如圖4，過點B做∠EBH=900（或BH⊥BC），且BH=AC，連EH，則可證ΔDAC?ΔEBH（SAS），得EH=DC，于是AE+CD就轉化為AE+EH,問題轉化為在BC上找一點E，使點E到兩定點A,H的距離和最小，即學生熟悉的“將軍飲馬”問題，我們只需做點H（或點A）以直線BC對稱軸的對稱點F，連FA交BC于點G，則點E運動到點G時，求BG的長即可。做F,H關于直線BC對稱，可得H,B,F三點共線，AB=AC=HB=BF=1，可證 ∠F=22.50，解RtΔBGF，可求。

圖4

思路小結：利用全等，將問題轉化為將軍飲馬問題。

對于以上解法，我們在平時教學中對學生需多加引導和練習，找到技巧，學生自然會理解并熟能生巧，而此題的設計巧妙之極，不用繁瑣的計算，只需靜下心來思考，頓悟后猶如醍醐灌頂，豁然開朗，問題得到解決，學生能力顯著提升。

四、深化拓展，提升素養(yǎng)

求a+b型最值方法：等線段全等轉化對稱法

1.以相等線段中的一條構造等角等邊制造全等；

2.由全等把其中一條動線段a轉移到b的另一側；

3.當兩定點在某一直線異側時利用三角形三邊之間的關系連接兩定點得到一條線段該線段的長度即為a+b的最小值，當兩定點在某一直線同側時應用“將軍飲馬”模型解決a+b的最小值_________。

下面我們通過階梯式的題目設計來實施模型的應用。

例1：AD為等邊ΔABC的高，AB=6,E在AD上，F(xiàn)在AC上，且AE=CF，當BF+BE最小時，最小值為__________。

分析：此題比較簡單，等線段條件分明，等線段所在的三角形直觀明了，可直接運用模型構造求解。

在圖5中，以AE為邊作∠EAG=600,且AG=BC,則 ΔAEG?ΔCFB(SAS),則EG=BF,求BE+BF的最值轉化為BE+EG的最值即可，當B,E,G三點共線時，即E點運動到H點時BE+EG=BG最小。在RtΔBAG中，AB=AG=6，則即為BE+BF的最小值。

圖5

在圖6中，以CF為邊作∠FCG=300,且CG=AB,則 ΔAEB?ΔCFG(SAS),則FG=BE,求BE+BF的最值轉化為FG+BF的最值即可，當B,F,G三點共線時，即F點運動到H點時FG+BF=BG最小。在RtΔBCG中，CB=CG=6，則即為BE+BF的最小值。

圖6

在圖7中，以AE為邊作∠EAG=600,且AG=BC,則 ΔAEG?ΔCFB(SAS),則EG=BF,求BE+BF的最值轉化為BE+EG的最值即可，問題轉化為在AD上找一點到兩定點B,G的距離和最小，因為B,C關于直線AD對稱，連接GC交AD于點H，即E點運動到H點時BE+EG=CG最小。在RtΔCAG中，AC=AG=6，則即為BE+BF的最小值。

圖7

在圖8中，以CF為邊作∠FCG=300,且CG=AB,則 ΔAEB?ΔCFG(SAS),則FG=BE,求BE+BF的最值轉化為FG+BF的最值即可，問題轉化為在AC上找一點到兩定點B,G的距離和最小，作B,P關于直線AC對稱，連接GP交AC于點H，即F點運動到H點時BE+EG=GP最小?？汕驜E+BF的最小值為。,D是BC的中點，則四邊形DMNC周長最小值為_______。（答案為）

圖8

上述四種方法中，圖8所采取的方法在計算GP時較為復雜，建議采用另外三種方法。

本題還可以求CE+BF的最小值，方法不變。

例2：如圖9,ΔABC中AC=BC=4,∠ACB=900,線段MN在邊AB上運動，

圖9

分析：我們不難發(fā)現(xiàn)要運用上述模型，就需要找到等線段，可過點C作CE⊥AB（或取AB中點，或作∠ACB的角平分線）,得到，于是BM=EN，就可以運用模型構造了，下面畫出四種構造的圖形，分別見圖10，圖11，圖12，圖13，就不一一贅述了。

圖10

圖11

圖12

圖13

五、總結反思，優(yōu)化教學

1.基本知識點是解決幾何問題的理論依據

書本上的基本知識點很多，根據問題有效的正確的運用相對應的基本知識，需要我們在平時的教學中不斷的引導學生一方面熟悉基本知識，另一方面要在實際的練習中多加運用，舉一反三，從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

2.找準關鍵條件是解決幾何問題的突破口

題目中的顯性條件運用很重要，但隱含條件推出的結論，才是突破幾何題目的關鍵點，一道幾何題的方法往往并不唯一，要善于捕捉題中的信息，找準關鍵便可做到一題多解，甚至多題一法。教師在日常的教學中要有目的地引領學生逐步學會，提高學生的能力。

3.進行常規(guī)思維訓練是解決幾何問題的基本

在上述問題中，注重常規(guī)思維訓練，注重基本圖形，常見輔助線的添加等常規(guī)經驗積累尤為重要。課堂上，教師要讓學生自己進行充分的探索，可能學生解決不了問題的全部，但當面對一道題時，常規(guī)的思維需要會很快達到，日復一日的堅持，相信學生能有效提高數(shù)學思維品質。

4.注重知識的生成過程是解決幾何問題的核心

學生自己能做的，應當讓學生自己去想，把教學重心轉移到引導學生探索知識的產生，發(fā)展和形成上來，學生的發(fā)展實際上就是思維的發(fā)展，要提高學生解決問題的能力，教師就必須讓學生經歷問題解決的全部思維過程，才能使學生數(shù)學知識的掌握不僅僅知其然，而且知其所以然，因此，教師轉變思想，給學生自由思考的空間，梳理知識系統(tǒng)，這才是符合學生長遠發(fā)展的真正高效率的教學措施。

總之，初中數(shù)學可運用的模型很多，教師在平時的教學中要引領學生知曉方法，辨明變化，由知一理到通一片，積累解題經驗，提升數(shù)學素養(yǎng)。