賀 勤,宋劍平

(1.深圳市香港中文大學(xué)附屬知新學(xué)校，廣東 深圳 518172；2.深圳市龍華區(qū)龍騰學(xué)校，廣東 深圳 518000)

隨著社會的發(fā)展和科技的進(jìn)步，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用更廣泛.從20世紀(jì)80年代，全球數(shù)學(xué)教育研究者逐漸認(rèn)識到“將統(tǒng)計與概率的初步認(rèn)識作為數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)的組成部分引入到中小學(xué)課程”的重要性.2003年我國頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》，重點學(xué)習(xí)古典概型、幾何概型的方法及應(yīng)用，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[1]中，將數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，將“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容作為四大主線之一，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)之中，培養(yǎng)學(xué)生的概率與統(tǒng)計思維.對于概率論部分的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生不僅能解決現(xiàn)實生活和經(jīng)濟發(fā)展中的問題，還要為高等教育階段概率與統(tǒng)計課程的學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ).因而，這就需要研究分析高等教育視野下中學(xué)概率統(tǒng)計教學(xué)現(xiàn)狀與存在的問題，對中學(xué)概率統(tǒng)計的教學(xué)進(jìn)行改革，探索中學(xué)數(shù)學(xué)與高等教育的銜接問題，有很好的應(yīng)用研究價值.

1 高等教育視野下中學(xué)概率教學(xué)現(xiàn)狀與存在的問題

目前中學(xué)階段的概率教學(xué)方面存在的問題主要表現(xiàn)是：首先，一些教師的概率知識體系不完整，對教學(xué)大綱的理解把握不到位.其次，學(xué)生的知識基礎(chǔ)與認(rèn)知能力相對欠缺，導(dǎo)致與高等教育階段的概率與統(tǒng)計教學(xué)銜接不當(dāng)?shù)膯栴}，為此， 現(xiàn)對中學(xué)概率教學(xué)現(xiàn)狀與存在的問題給予分析.

1.1 教師的知識體系與新課標(biāo)教學(xué)大綱的教學(xué)要求存在差距

中學(xué)階段對概率知識的教學(xué)內(nèi)容與要求：普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定概率知識的主要教學(xué)內(nèi)容包括隨機事件與概率、古典概型與幾何概型、條件概率與事件的獨立性、隨機變量的數(shù)字特征以及概率應(yīng)用等五個部分.新課標(biāo)對學(xué)生充分了解隨機事件發(fā)生的不確定性和發(fā)生頻率的穩(wěn)定性提出了要求，能理解并掌握概率的定義、概率及頻率兩個概念的區(qū)別與聯(lián)系等.

高等教育階段概率論的教學(xué)內(nèi)容相對不同院校、專業(yè)及教材有一定的差異，但主體內(nèi)容是一致的，概率的內(nèi)容主要包括概率的基本概念、隨機變量及其分布、隨機變量的數(shù)字特征、中心極限定理、多維隨機變量及其分布，大數(shù)定律等.要求學(xué)生深入的了解樣本空間及隨機試驗的概念，能理解并掌握隨機事件的概念，能計算隨機事件的概率，清晰地理解概率概念的公理化過程，及其與頻率的區(qū)別與聯(lián)系，對概率的基本性質(zhì)熟練掌握和運用.掌握中心極限定理及大數(shù)定律的核心思想并能解決相應(yīng)的實際專業(yè)問題.

由于中學(xué)階段存在中高考指揮棒的作用，而中高考對概率部分的考查往往相對比較簡單，僅以古典概型和幾何概型作為考查對象，對期望和方差也僅僅停留在考查基本計算公式和基本意義的基礎(chǔ)上，對原理和應(yīng)用基本上不做重點考查.中學(xué)教師往往注重應(yīng)試的部分內(nèi)容，對深入學(xué)習(xí)和挖掘概率發(fā)展的歷史及數(shù)學(xué)邏輯很少探究，相當(dāng)一部分老師不了解概率論中的有些基本的悖論問題，不了解概率的公理化定義的前因后果.一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師所掌握的概率論知識體系和教學(xué)能力與新課標(biāo)教學(xué)大綱的要求存在一定的差距，因而，要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師掌握的完善概率論知識體系，全面提升其概率教學(xué)水平很有必要.

1.2 概率論中的幾個基本概念的理解與認(rèn)識

1.2.1 關(guān)于概率定義的理解

初中教材給出的是概率的古典定義，高中教材介紹的是概率的統(tǒng)計定義，而大學(xué)教材要給出概率的公理化定義，中學(xué)階段的兩種定義都是描述性定義，更能被學(xué)生接受和理解，但缺乏數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性.進(jìn)入高等教育階段，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)微積分知識和抽象邏輯思維能力的增強，能很好地理解概率的公理化定義.但是在中學(xué)階段應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識到概率的描述性定義存在的局限性，在高中階段適當(dāng)?shù)貪B透一些概率的公理化定義過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密的邏輯抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生觀察社會隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)思維能力.

1.2.2 關(guān)于隨機變量定義的理解

隨機變量是概率中的一個基本概念，中學(xué)教材只介紹其描述性定義，沒有解釋清楚“變量”的意義和表現(xiàn)形式，不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，大學(xué)階段在介紹樣本空間之后，將隨機變量定義成樣本空間上的函數(shù)，將研究事件的概率問題轉(zhuǎn)化為隨機變量的分布函數(shù)問題，從而促進(jìn)了概率論的發(fā)展.

1.2.3 關(guān)于數(shù)學(xué)期望與方差定義的理解

中學(xué)階段僅學(xué)習(xí)有限的離散型隨機變量，期望的定義也僅限于簡單有限的離散型隨機變量，高等教育階段不僅研究離散型隨機變量，將變量的個數(shù)推廣到可數(shù)的情形，還研究連續(xù)型隨機變量，定義更具一般性，這也是由于中學(xué)階段學(xué)生不具備極限、級數(shù)、微積分等知識的原因.

中學(xué)階段給出了方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式和步驟，但中學(xué)階段的方差實際上使用的是二階中心矩的概念，只是借用了方差和標(biāo)準(zhǔn)差的符號，這樣顯得非常生硬，高等教育階段給出的是期望與方差的統(tǒng)一定義，概括了離散型和連續(xù)型兩種情況，揭示了方差是關(guān)于隨機變量與期望偏差平方的數(shù)學(xué)期望這一本質(zhì).

1.3 中學(xué)概率與高等教育的教學(xué)內(nèi)容的差異

在概率論基本概念、古典概型、幾何概型、條件概率、隨機變量的數(shù)字特征及簡單概率應(yīng)用方面，教學(xué)內(nèi)容基本相同，這部分教學(xué)兩個階段的教學(xué)內(nèi)容存在重復(fù)現(xiàn)象.但在中學(xué)階段對于全概率公式、貝葉斯公式則不著重介紹，對中心極限定理、多維隨機變量及大數(shù)定律則沒有引入，同時中學(xué)階段對于概率知識的引入和講解著重從試驗和實踐出發(fā)，淡化公理化的定義，淡化理論推導(dǎo)，這樣做雖然便于學(xué)生接受和理解，但對概率定義的理解不到位，學(xué)生對概率的基本性質(zhì)把握不清晰.

2 高等教育視野下中學(xué)概率教學(xué)改革的建議

2.1 在教學(xué)思想和教學(xué)方法方面

作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)擺脫應(yīng)試教育的束縛，按照新課標(biāo)的大綱掌握較完善的概率論知識體系，考慮學(xué)生的未來發(fā)展，在高等教育思想指導(dǎo)下考慮中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容處理，改進(jìn)教學(xué)方法做好中學(xué)數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)銜接.中學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該更具開放性，在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，教師應(yīng)更能兼顧數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性滲透和在實際生活中的應(yīng)用.在教學(xué)方法的選擇上也應(yīng)該多樣化，借助現(xiàn)代的多媒體技術(shù)，展示概率論的研究對象是隨機現(xiàn)象的不確定性思維，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，譬如，適當(dāng)介紹概率論的起源及發(fā)展歷史，介紹貝特朗悖論等，培養(yǎng)學(xué)生運用概率統(tǒng)計的思想方法解決實際問題的能力.

2.2 在教學(xué)內(nèi)容處理方面

(1)概率定義的教學(xué)中滲透概率定義的公理化過程.中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)知道概率描述性定義的不足，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑描述性定義，適當(dāng)介紹概率定義的發(fā)展歷程，給學(xué)生滲透概率公理化定義的思想，這樣可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的追求，培養(yǎng)學(xué)生不斷追求真理的價值觀念.

(2)古典概型、幾何概型的教學(xué)中滲透隨機變量的分布函數(shù)的概念.高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)的集合知識，可以借助集合的觀點來處理事件及事件間的關(guān)系，把事件的運算類比為集合的運算，可以適當(dāng)介紹樣本點和樣本空間的概念并用它來描述事件.在幾何概型的定義中，“事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關(guān)”很重要，有了一維隨機變量的概念，就很容易發(fā)現(xiàn)：一維的幾何概型就是一維的均勻分布，結(jié)論可以推廣到二維和三維的情形[3].

(3)期望、方差的教學(xué)中由離散型隨機變量向連續(xù)型拓展.中學(xué)教材通過計算公式來定義期望和方差，期望的本質(zhì)就是均值，對于離散型隨機變量就是加權(quán)平均，方差的本質(zhì)是期望的期望，反映的是隨機變量取值的集中或分散程度的量.教師可以引導(dǎo)學(xué)生考慮隨機變量從有限到可列，從離散型到連續(xù)型隨機變量的情形，適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生進(jìn)一步思考的問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣.

(4)頻率分布直方圖的教學(xué)中滲透密度函數(shù)曲線的概念.在頻率分布直方圖的教學(xué)中，如果將樣本容量取得大一些，分組的組距取小一些，頻率分布直方圖上頂邊中點的連線就越來越光滑，教師可以讓學(xué)生通過自主作圖，讓組距逐漸變小，體驗頻率直方圖的變化趨勢，感受密度函數(shù)曲線和極限的思想.

(5)均值及其估計的教學(xué)中引出最小二乘思想.均值是一個重要的統(tǒng)計量，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過平均數(shù)，在高中的教學(xué)中，教材對均值的合理性有了詳細(xì)的解釋，教師可以引出最小二乘的思想，這樣的思想滲透有助于學(xué)生進(jìn)入高等教育以后的概率統(tǒng)計課的學(xué)習(xí).

總之，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)在高等教育的視野指導(dǎo)下，結(jié)合數(shù)學(xué)史的知識和發(fā)展特點，介紹一些研究概率問題的背景和實際案例，精心規(guī)劃設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法，做好中學(xué)與大學(xué)教育的銜接.

2.3 中學(xué)概率教學(xué)案例分析

在概率定義的教學(xué)中，除介紹描述性定義以外，可以結(jié)合概率論的起源與發(fā)展歷史，介紹貝特朗悖論及概率公理化定義的過程，貝特朗悖論于1899年提出，該悖論對幾何概率的概念提出了挑戰(zhàn).

圖1 貝特朗悖論問題的三種解答

在圓的所有弦中任選一條弦，求這條弦的長度大于圓內(nèi)接正三角形邊長的概率.該問題有三種解法.

由此看來，同一事件有不同概率，這就是著名的貝特朗悖論.顯然這三種解答都是正確的，出現(xiàn)這一情況主要原因是問題中沒有明確在圓內(nèi)“作弦”規(guī)則，不同的“等可能性假設(shè)”引出了不同的樣本空間(其中“均勻分布”可理解為“等可能取點”).解法一是在直徑上等可能的取點作為弦的中點，直徑上的點組成了樣本空間.解法二是在圓周上等可能的取點作為弦的另一端點，圓周上的點組成了樣本空間.解法三是在大圓內(nèi)等可能的取點作為弦的中點，大圓內(nèi)的點組成了樣本空間，三種不同的解法引出了三個不同的樣本空間.貝特朗悖論提醒人們，在定義概率時要事先明確所研究問題的樣本空間，否則，就會得到不同的結(jié)果.中學(xué)概率的教學(xué)，即使不能完整的介紹概率的公理化定義，但教師在教學(xué)或命題過程中，也應(yīng)該清楚明白這個原理，避免出現(xiàn)不應(yīng)該出現(xiàn)的錯誤命題.譬如，下面這道試題的問題.

要求在白紙上任意畫了一個銳角，求所畫的角在45°～60°之間的概率.該題的命題者顯然不懂貝特朗悖論，題設(shè)條件沒有明確銳角的畫法，所研究問題的樣本空間不確定，因而，該問題有多個答案.

高中階段的教學(xué)，由于學(xué)生已經(jīng)接觸函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微積分學(xué)中的部分內(nèi)容，雖然還沒有建立起完整的極限理論，但教師也可以對積分、測度、集合函數(shù)及概率的公理化定義的部分內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透.

19世紀(jì)末，勒貝格提出了勒貝格測度和勒貝格積分的概念.基于測度論的啟發(fā)，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫格洛夫在1933年給出了概率的公理化定義[2]，用概率應(yīng)具備的三條基本性質(zhì)來定義.其中包括兩個方面，一是事件的公理化表示(利用集合論)，二是概率的公理化表示(測度論).科爾莫格洛夫的思想主要是所有的事件都是集合，所有的可能事件的集合(以事件集合為元素的集合)就是概率空間.概率則是對該概率空間上的各種集合的一種度量.

在中學(xué)階段的概率教學(xué)中如果能滲透悖論對概率的公理化過程產(chǎn)生的影響，使學(xué)生體會到概率系統(tǒng)內(nèi)概念及理論的嚴(yán)密性，這對學(xué)生分析解決概率問題有很好的指導(dǎo)作用，對學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)也有幫助.

3 總結(jié)與展望

通過對中學(xué)概率教學(xué)在教學(xué)思想、教學(xué)方法及教學(xué)內(nèi)容處理上的改革，能讓學(xué)生理解概率論知識的系統(tǒng)性，體驗嚴(yán)密數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考能力，敢于創(chuàng)新的能力，并培養(yǎng)學(xué)生的隨機思維能力.但我們?nèi)匀灰吹?，由于中學(xué)教師與大學(xué)教師很少能有機會進(jìn)行教學(xué)交流和溝通，使得中學(xué)教育與高等教育的銜接教學(xué)始終存在一些問題.努力探索中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接問題，是提高高等教育教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，也是每一個數(shù)學(xué)教育工作者的責(zé)任與義務(wù).