李寶蓮, 張 倩, 謝?，?/p>

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081;2.北京理工大學 信息與電子學院，北京 100081)

李寶蓮,張倩,謝?，?電子設備的可靠性指標評估方法研究[J].石家莊鐵道大學學報(自然科學版),2022,35(1):106-112.

電子設備的可靠性統(tǒng)計評估主要是根據(jù)產(chǎn)品在使用期內(nèi)的壽命分布類型以及與該電子產(chǎn)品進行可靠性評估有關的所有信息(包括產(chǎn)品的先驗使用經(jīng)驗信息和樣本的可靠性試驗信息)[1]，然后利用各種概率統(tǒng)計分析方法對產(chǎn)品的可靠性合同指標平均故障間隔時間(Mean Time Between Failure，MTBF)進行概率統(tǒng)計分析推斷，包括點估計、區(qū)間假設估計和線性假設檢驗等。

文獻[2]中所規(guī)定的可靠性統(tǒng)計試驗方法是以工程中通常假設的電子產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布為前提的。試驗統(tǒng)計方法一般可以分為定時截尾試驗統(tǒng)計方法、序貫截尾試驗統(tǒng)計方法、全數(shù)試驗統(tǒng)計方法(這里不作討論)。

1 統(tǒng)計方案參數(shù)定義

1.1 參數(shù)的選取原則及關系

試驗方法參數(shù)包括研制方風險α、生產(chǎn)方風險β、MTBF的檢驗上限θ0、MTBF的檢驗下限θ1和鑒別比d，除全數(shù)試驗方法外，其他試驗其實是一種抽樣的試驗方法，選擇何種試驗方法及參數(shù)尤為重要。

(1)α、β的選取[3]。試驗方法參數(shù)α、β、θ0、θ1確定后便確定了試驗方案，即確定了總試驗時間T和責任故障數(shù)r；θ0和θ1在合同或者任務書中已經(jīng)規(guī)定好時，則α、β取值越大，T用時越短；α、β取值越小，T用時越長。因此，在設計試驗方案時應考慮生產(chǎn)方和使用方所能承受的試驗時間、試驗經(jīng)費等因素，選擇合適的α和β；GJB 899給出的試驗方案中α、β值均介于10%～30%之間，國內(nèi)外可靠性鑒定試驗的α、β取值一般也都在此區(qū)間內(nèi)，按照生產(chǎn)方和使用方相互平等的原則，一般α和β取值相同[4]。

(2)θ0和d的選取。電子產(chǎn)品的可靠性水平在其使用壽命期內(nèi)往往是不斷變化增長的。研制方的合同或者任務書中MTBF的指標要求為最低可接受值或規(guī)定值。最低可接受值是檢驗設備在設計定型之前必須達到的指標，是設備進行質(zhì)量考核或設計驗證的重要依據(jù)；規(guī)定值是用戶方期望設備能夠達到的最低指標，是研制方在以后的研制過程中進行可靠性設計和定型的重要依據(jù)。θ1取最低可接受值，θ0可以取規(guī)定值；d可以取規(guī)定值與最低可接受值的比值。

選定一組α、β、θ0、θ1的方案參數(shù)時，α、β、d從小到大，試驗方案嚴苛性逐漸降低，相應地判決結果置信度從高到低。試驗要得出接收或拒收的結論，同時要利用總試驗時間T和責任故障數(shù)r等信息對產(chǎn)品的MTBF真值作出估計[5]。另外θ0、θ1是試驗方案的參數(shù)，而不是MTBF的真值范圍。以某組α、β、θ0、θ1、d參數(shù)制定的試驗方案及判決標準只能判決產(chǎn)品在該方案下通過試驗與否；該試驗方案通過后，說明假設的MTBF上限值θ0與下限值θ1是成立的，該批產(chǎn)品的MTBF值一般不會低于θ0或θ1的數(shù)值。

1.2 可靠性試驗分類及適用

定時截尾試驗方案是選定方案后須按要求進行完試驗時間，即使最后一個故障數(shù)出現(xiàn)的很晚也不能提前作出接收判決；除非試驗期間故障數(shù)出現(xiàn)較多作出拒收判決可提前結束。序貫截尾試驗方案是進行完總試驗時間或達到責任故障數(shù)后，作出接收或拒收的判決，判據(jù)標準為出現(xiàn)的責任故障數(shù)或者試驗時間。

表1為文獻[2]中不同試驗方案的序貫試驗與定時截尾試驗的時間對比情況，可見，在電子產(chǎn)品的可靠性試驗中，在α、β和d相同的情況下，當設備的MTBF真值接近θ0或θ1時，采用序貫試驗統(tǒng)計方案通常能較快地作出接收或拒收判決，同時也說明序貫試驗適用于設計較成熟產(chǎn)品的可靠性試驗[4]。而對于MTBF真值較大或較小的產(chǎn)品，不同的序貫試驗方案所需的總試驗時間差別較大，因此在計劃費用和時間時應綜合權衡選擇序貫截尾試驗還是定時截尾試驗。

表1 序貫試驗判決時間與定時試驗時間對比表

2 定時截尾試驗方法

2.1 定時截尾試驗方法的確定

電子產(chǎn)品的定時截尾試驗中，接收產(chǎn)品的概率P(θ)與MTBF的真值θ的關系可用泊松公式表示為

(1)

式中,T為總試驗時間；a為試驗時間內(nèi)判定電子設備被接收時所出現(xiàn)的最大故障數(shù)；P(θ)為在時間T內(nèi)發(fā)生的故障個數(shù)小于等于a的概率。P(θ)需滿足關系：P(θ0)=1-α，P(θ0)=β。

其中注意：由于a表示的是故障數(shù)，所以a的取值只能為整數(shù)。

工程中要求采用定時截尾試驗方法時，規(guī)劃者根據(jù)試驗方案參數(shù)(α、β、θ0和θ1)，并結合試驗費用和試驗進度，綜合權衡確定試驗方案進而確定試驗時間T和最大接收故障數(shù)a。

根據(jù)試驗是按時間截尾還是按故障結尾，試驗中故障件是否有替代等須考慮4種不同類型的試驗。按以時間截尾、有故障件替換的情況考慮，試驗截尾時間T、接收故障數(shù)a按公式(2)推導得出

(2)

2.2 定時截尾試驗方法中MTBF的估計值和驗證估計區(qū)間的確定

采用定時截尾試驗方法時，試驗結束后，需要評估合同指標MTBF數(shù)值，以及規(guī)定置信度C(默認為雙側驗證區(qū)間的置信度)對應的置信區(qū)間[6]，一般取C=(1-2β)×100%。

(1)定時截尾試驗方法中MTBF的點估計值

(3)

式中,T為電子產(chǎn)品的有效總試驗時間；r為試驗期間發(fā)生的責任故障數(shù)。

(2)定時截尾試驗中MTBF的雙側驗證區(qū)間

(4)

式中,θL(C′，r)和θU(C′，r)分別為置信下限系數(shù)和置信上限系數(shù)，其計算公式為

(5)

將式(3)、式(5)代入式(4)，得出

(6)

接收被試產(chǎn)品時，MTBF觀測值的雙側驗證區(qū)間的置信下限θL和置信上限θU分別用式(6)計算，表述為置信度為C的MTBF驗證區(qū)間為(θL，θU)。

拒收被試產(chǎn)品時，此時可稱為定數(shù)截尾試驗，MTBF觀測值的θL和θU用式(7)計算

(7)

(3)定時截尾試驗MTBF的單側置信區(qū)間。

在對被試產(chǎn)品MTBF的驗證值進行估計時，若試驗期間發(fā)生的責任故障數(shù)為0，則用到單側置信限估計。MTBF單側置信度C′=(1+C)/2，用于表示置信下限θL′的可信程度。例如，在接收時(實際屬于定時截尾)，MTBF觀測值的單側置信區(qū)間的置信下限

(8)

2.3 定時試驗提前作出接收的評定

確定了定時截尾試驗方案，則T、a和d也就確定了，作出接收結論時不可以提前結束試驗，而在拒收時可以提前結束。例如選用文獻[22]中方案17進行試驗時，即使第1、2個責任故障相繼發(fā)生的很晚也不能提前作出接收判決，只有完成了總試驗時間T=4.3θ1的試驗后才可能作出接收判決。定時試驗提前作出接收評定的方案是對試驗方案作出了修正，允許管理者或試驗者提前作出評定而保證決策風險α和β具有統(tǒng)計有效性。

以下介紹提前作出接收判決的處理方案。提前評定統(tǒng)計方案的接收時間ti見文獻[2]，表A.14中接收時間ti也是用θ1的倍數(shù)表示的。如果試驗進行到ti時至多出現(xiàn)i個責任故障，則可作出接收評定。定時試驗管理者提前作出評定后或訂購方和承制方約定采用表A.14中的統(tǒng)計方案時，按下述程序估計接收或拒收情況下的MTBF觀測值和驗證區(qū)間。

(1)MTBF觀測值(點估計)θ的估計

(9)

式中,ti為產(chǎn)品在第i個責任故障接收時的總試驗時間(θ1的倍數(shù))；i為接收時的責任故障數(shù)。

(2)MTBF的驗證區(qū)間。

根據(jù)產(chǎn)品所采用的定時試驗統(tǒng)計方案和作出提前接收時的責任故障數(shù)i，由文獻[2]中表A.17查出置信度為C′時的單邊置信下限系數(shù)θL(C′，ti)和置信上限系數(shù)θU(C′，ti)。

按式(10)計算出置信下限系數(shù)θL和置信上限系數(shù)θU

(10)

3 序貫截尾試驗方法

3.1 序貫截尾試驗方法的確定

序貫截尾試驗作為一種抽樣檢驗的試驗方法，需要事先約定被試產(chǎn)品在某個截尾時間內(nèi)的可接收的故障數(shù)和拒收的故障數(shù)，根據(jù)此規(guī)則，將試驗過程中累積的有效試驗時間和故障個數(shù)與規(guī)定的判別區(qū)間進行比較，作出接收或拒收的判定[7]。

對于具有未知MTBF值的指數(shù)型產(chǎn)品，在累積工作時間t內(nèi)發(fā)生r次故障的概率為

(11)

序貫試驗必須證明MTBF值至少不小于MTBF檢驗下限θ1。如果實際MTBF確實等于MTBF檢驗下限θ1，則在工作時間t內(nèi)發(fā)生r次故障的概率為

(12)

為了構造出序貫試驗，需要選擇MTBF檢驗上限θ0。如果產(chǎn)品的MTBF等于θ0，則在工作時間t內(nèi)發(fā)生r次故障的概率為

(13)

(14)

在試驗期間持續(xù)計算該比例并與預先規(guī)定的2個常數(shù)A和B進行比較，使用以下決策準則判定：

(1)如果P(r)變得A，拒收并停止試驗；(3)如果B

(15)

可見常數(shù)A、B與試驗方案參數(shù)α、β、d有關。

以下為推導序貫試驗圖解程序的過程

(16)

取自然對數(shù)得：lnB

在不等式的各項中都加上(1/θ1-1/θ0)t，然后各項都除以ln(θ0/θ1)得到

(17)

只要r的數(shù)值在不等式左右兩邊的數(shù)值之間，則繼續(xù)試驗；如果r不大于左邊，則作出接收判決，試驗終止；如果r不小于右邊，則作出拒收判決，試驗終止。觀察不等式兩邊的表達式，在試驗方案及試驗方案參數(shù)已經(jīng)確定的情況下，不等式兩邊的表達式表示了2條相互平行的直線，不等式可以表示為

a+bt

(18)

圖1 序貫試驗接收-拒收判決圖

其中

(19)

將這2條直線畫在以t(累積試驗時間)為橫坐標、r(故障數(shù))為縱坐標的圖紙上時，常數(shù)a和c為這2條線在縱坐標上的截距，b為斜率，如圖1所示。

由圖1可見，序貫試驗的判據(jù)規(guī)則，接收線L0：r=a+bt，接收線L0以下叫接收區(qū)；拒收線L1：r=c+bt，拒收線L1以上叫拒收區(qū)，L0與L1之間為繼續(xù)試驗區(qū)[8]。

實際工程中，為了防止試驗長期停留在繼續(xù)試驗區(qū)，畫出一條水平線(r=r0)和一條垂直線(t=T0)限定試驗截尾區(qū)域，選取滿足下述關系的故障數(shù)r的最小整數(shù)成立

(20)

(21)

3.2 序貫截尾試驗MTBF置信限的確定

序貫試驗結束后，也需對MTBF的置信限作出估計，根據(jù)序貫試驗判斷法則，接收判決是在總試驗時間統(tǒng)計夠接收判決時間時才能作出，而拒收判斷則在試驗過程中任何時刻都可能發(fā)生，因此接收置信限和拒收置信限的計算方法是不同的。

(1)序貫試驗達到接收判據(jù)時，MTBF的置信區(qū)間的單側置信度為C′的置信下限θL和置信上限θU按式(22)計算[2]，MTBF的雙側置信區(qū)間表述為：(θL。θU)，(置信度=C)。

(22)

式中,ti為達到接收判決時的責任故障數(shù)i時的試驗時間；C′為單側置信度；θL(C′，ti)為置信度為C′、責任故障數(shù)為i時的置信下限系數(shù)，查詢表A.8可得；θU(C′，ti)為置信度為C′、責任故障數(shù)為i時的置信上限系數(shù)，查詢表A.9可得。

(2)作出拒收判決時，此時總試驗時間為T，MTBF的單側置信度為C′的拒收置信下限θL和拒收置信上限θU按式(23)計算，表述為拒收時置信度為C的MTBF的置信區(qū)間為：(θL，θU)，(置信度=C)。

(23)

式中，t為標準化總試驗時間，t=T/θ1，ti

θL(C′，t)=θL(C′，ti)+[θL(C′，ti+1)-θL(C′，ti)](t-ti)/(ti+1-ti)

(24)

θU(C′，t)=θU(C′，ti)+[θU(C′，ti+1)-θU(C′，ti)](t-ti)/(ti+1-ti)

(25)

式中，θL(C′，ti)為置信度為C′、責任故障數(shù)為i時的置信下限系數(shù)，查詢表A.10可得；θU(C′，ti)為置信度為C′、責任故障數(shù)為i時的置信上限系數(shù)，查詢表A.11可得。

4 應用示例

4.1 定時試驗提前作出接收評定示例

某信息設備的合同中規(guī)定平均故障間隔時間MTBF≥180 h，設備定型前需要進行可靠性指標考核，約定采用定時截尾試驗的標準型試驗統(tǒng)計方案14，試驗參數(shù)見表2，總試驗時間T=7.8×180=1 704 h。

表2 標準型定時試驗統(tǒng)計方案14的試驗方案參數(shù)

受試驗經(jīng)費和項目進度的制約，當試驗時間T為554 h，需給出評估結果，試驗期間內(nèi)責任故障數(shù)為0。試驗方案14的參數(shù)為：α=β=20%，θ1=180 h，置信度C=(1-2×0.2)×100%=60%，單邊置信度C′=80%。

此時實際試驗時間554 h=3.1θ1，小于7.8θ1，按照標準型方案14還需繼續(xù)試驗，這時可以考慮采用定時試驗提前決策方案，查詢文獻[2]表A.14中定時試驗統(tǒng)計方案14管理者提前評定的接收時間ti，t0=2.7θ1<3.1θ1

由于故障數(shù)為0無置信上限，根據(jù)式(10)得置信下限系數(shù)θL：θL=θL(C′，ti)×θ1=1.678×180=302.04 h。

則，按照方案14管理者提前評定方案作出接收評定，MTBF的單側置信下限為302.04 h(置信度為80%)。項目后續(xù)繼續(xù)進行試驗時間和故障數(shù)的統(tǒng)計工作，以便更準確評估設備的MTBF指標。

4.2 序貫試驗應用示例

另外可以考慮采用序貫試驗方案來進行，取相同的試驗參數(shù)α=β=20%，則選擇標準型序貫試驗方案4，鑒別比d取值為2。下面計算該方案4的接收-拒收判據(jù)、截尾點、統(tǒng)計方案曲線的斜率和縱坐標截距。

(1)由式(15)得出A=3，B=0.25。

(2)按下列步驟計算截尾點：查表χ2分布(1-α)和β上側分位數(shù)，直到下式成立為止：

圖2 某信息設備接收-拒收判決標準圖

(3)根據(jù)式(19)得出2條平行線的斜率和縱坐標：a=-2，b=0.004，c=1.58；則，接收線為a+bt=-2+0.004t，拒收線為c+bt=1.58+0.004t。

結合文獻[2]中方案4的接收-拒收判決標準圖得出該信息設備接收-拒收判決標準圖如圖2所示，判決標準表可參見文獻[2]的圖A.5所示。故障數(shù)為0無置信上限，根據(jù)式(22)計算置信下限系數(shù)θL，得：θL=θL(C′，ti)×θ1=1.739 7×180≈313.15 h。

由以上分析可見，該信息設備采用序貫試驗方案時試驗時間T為554 h、故障數(shù)為0時可以直接作出接收判決，MTBF的單側置信下限約為313.15 h(置信度為80%)。

5 結論

分析了試驗方案參數(shù)之間的關系，結合可靠性統(tǒng)計試驗定時截尾試驗、定時提前接收試驗、序貫截尾試驗各自特點，分別給出了MTBF的計算過程以及區(qū)間估計計算方法，應用在某信息設備的可靠性指標MTBF驗證評估中，采用定時試驗提前接收方法作出的判決，與采用相同試驗參數(shù)時的序貫試驗判據(jù)結果一致。研究結果對工程實際中如何選擇合適的試驗方案具有一定的指導意義。