李創(chuàng)第 楊雪峰 李宇翔 葛新廣

摘? 要：胡聿賢譜是在Kainai-Tajimi譜的基礎(chǔ)上引入了低頻段的附加項(xiàng)，彌補(bǔ)了Kainai-Tajimi譜的不足，但表達(dá)式更加復(fù)雜，不易求解。兩相鄰建筑通過連接黏彈性阻尼器形成的組合體結(jié)構(gòu)在地震作用下的減震效果顯著，為此提出了一種獲得組合體結(jié)構(gòu)基于胡聿賢譜隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的簡明解法。首先，運(yùn)用胡聿賢譜的濾波方程將地面運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì)，然后通過復(fù)模態(tài)法將運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦，獲得了組合體結(jié)構(gòu)的復(fù)振動(dòng)特征值及模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)。其次，基于隨機(jī)振動(dòng)理論，得出了動(dòng)態(tài)響應(yīng)的協(xié)方差、方差和功率譜密度函數(shù)的簡明表達(dá)式，獲得了組合體結(jié)構(gòu)0—2階譜矩的封閉解。最后，與虛擬激勵(lì)法進(jìn)行了比較，對(duì)設(shè)置Maxwell黏彈性阻尼器的相鄰建筑結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)例研究，分析結(jié)果包括組合體結(jié)構(gòu)0—2階譜矩以及連接黏彈性阻尼器在地震作用下的減震性能。驗(yàn)證了本文所提方法的精確性。

關(guān)鍵詞：組合體結(jié)構(gòu);胡聿賢譜;黏彈性阻尼器;復(fù)模態(tài)法;譜矩

中圖分類號(hào)：TU318? ? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.02.002

0 引言

隨著城市化的不斷發(fā)展，建設(shè)用地逐漸減少，相鄰建筑物之間的空間變得越來越狹小，在強(qiáng)震作用下容易導(dǎo)致相鄰建筑物發(fā)生碰撞[1-3]。在以往的地震災(zāi)害中，例如1989年美國加州洛馬普列塔地震[1]、2011年新西蘭萊斯特徹奇地震[2]、2008年中國汶川地震[3]等，都出現(xiàn)了大量相鄰建筑物碰撞導(dǎo)致的二次破壞，從而造成了更大的經(jīng)濟(jì)損失。

為了減少地震過程中相鄰建筑結(jié)構(gòu)碰撞造成的人員傷亡與經(jīng)濟(jì)損失，許多學(xué)者提出在相鄰結(jié)構(gòu)間安裝阻尼器等耗能裝置做成組合體結(jié)構(gòu)[4-7]。伏恬甜等[4]研究了相鄰結(jié)構(gòu)間安裝的連接阻尼器的參數(shù)優(yōu)化，得出了最優(yōu)阻尼系數(shù)與質(zhì)量比和剛度比的公式。周云等[5]研究了相鄰結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)碰撞響應(yīng)的影響，得出了最小防震縫寬度對(duì)相鄰結(jié)構(gòu)的影響及縫寬的計(jì)算方法。Xu等[6]對(duì)相鄰結(jié)構(gòu)間設(shè)置線性二次高斯主動(dòng)控制裝置進(jìn)行了研究，研究表明組合體結(jié)構(gòu)抗震性能取決于主動(dòng)控制器的參數(shù)選取情況。Zhu等[7]通過應(yīng)用Kanai-Tajimi譜和多個(gè)實(shí)際地震記錄，對(duì)設(shè)置在相鄰結(jié)構(gòu)間的黏彈性阻尼器的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化和分析。

在工程實(shí)際中，可以將地震動(dòng)看作是隨機(jī)激勵(lì)來進(jìn)行動(dòng)力分析[8-10]。由于Kanai-Tajimi譜在低頻段不能很好地反映出基巖地震動(dòng)的頻譜特征[11-12]，基于此，許多學(xué)者采用不同的線性濾波器，從而得到了多個(gè)改進(jìn)的地震動(dòng)模型。在多個(gè)改進(jìn)的Kanai-Tajimi模型中，胡聿賢等[13]在保持Kanai-Tajimi模型優(yōu)點(diǎn)的條件下，在低頻段引入附加項(xiàng)，修正了Kanai-Tajimi譜過分夸大的低頻成分，克服了Kanai-Tajimi在零頻處的不足之處，比較符合地震觀測統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因而胡聿賢模型是描述地面隨機(jī)振動(dòng)特性的一個(gè)較為理想的計(jì)算模型。

目前，關(guān)于帶黏彈性阻尼器的相鄰組合結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的研究，主要基于確定性的時(shí)程分析[6，14-15]，但一條時(shí)程曲線分析不能很好地反映地震動(dòng)的隨機(jī)性。文獻(xiàn)[16-17]探討了帶黏彈性阻尼器的相鄰結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)的數(shù)值解，但存在計(jì)算效率及精度受數(shù)值積分步長的影響較大的問題。

針對(duì)當(dāng)前建筑結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)分析復(fù)雜的問題，葛新廣等[18]基于Kanai-Tajimi譜的濾波方程，利用復(fù)模態(tài)法獲得了單自由度結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜激勵(lì)下的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)0—2階譜矩的簡明封閉解。本文基于文獻(xiàn)[18]所提方法，對(duì)設(shè)置黏彈性阻尼器的組合體結(jié)構(gòu)在胡聿賢譜激勵(lì)下的地震反應(yīng)進(jìn)行了分析研究。利用濾波方程[19]將胡聿賢頻譜激勵(lì)轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵(lì)，并通過復(fù)模態(tài)法將轉(zhuǎn)化后的激勵(lì)運(yùn)動(dòng)方程解耦，獲得了組合體結(jié)構(gòu)的復(fù)振動(dòng)特征值及模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)?；陔S機(jī)振動(dòng)理論，給出了動(dòng)態(tài)響應(yīng)的協(xié)方差、方差和功率譜密度函數(shù)的簡明表達(dá)式，得到組合體結(jié)構(gòu)0—2階譜矩的封閉解。

1 重構(gòu)組合體的地震動(dòng)方程

在第J層設(shè)置連接阻尼裝置，計(jì)算簡圖如圖1所示。

圖1左側(cè)及右側(cè)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程分別為：

[MLxL+CLxL+KLxL+PL=-MLILxg]，? ? ?（1）

[MRxR+CRxR+KRxR+PR=-MRIRxg]，? ? ?（2）

式中：[ML（MR）]、[CL（CR）]、[KL（KR）]分別為組合體左側(cè)（右側(cè)）結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼力矩陣、剛度矩陣，[xL（xR）]、[xL（xR）]、[xL（xR）]分別為組合體左側(cè)（右側(cè)）結(jié)構(gòu)樓層相對(duì)于地面的位移向量、速度向量和加速度向量，[PL（PR）]為Maxwell型黏彈性阻尼器作用于左側(cè)（右側(cè)）結(jié)構(gòu)的阻尼力向量，[xg]為地面運(yùn)動(dòng)加速度。

上述力學(xué)參數(shù)具體表達(dá)式為：

[ML=diagmL，1，…，mL，JL，…，mL，nLT]，[IL=1，…，1TnL×1];[MR=diagmR，1，…，mR，JL，…，mR，nRT]，[IR=1，…，1TnR×1];[xL=xL，1， xL，2，…， xL，nLT]，[xR=xR，1， xR，2，…， xR，nRT];[PL=O1L， 1， O2LTpJ（t）]，[PR=O1R， -1， O2RTpJ（t）];[O1L]為行向量，其內(nèi)部含[JL-1]個(gè)0元素;[O2L]為行向量，其內(nèi)部含[nL-JL]個(gè)0元素;[O1R]為含[JR-1]個(gè)0元素的行向量，[O2R]為含[nR-JR]個(gè)0元素的行向量。

參照文獻(xiàn)[20]，Maxwell型黏彈性阻尼器的阻尼力可表示為：

[PJ（t）+λPJ（t）=cd（xL，JL-xR，JR）]，? ? ? ? ? （3）

式中：[PJ（t）]為Maxwell阻尼力;[cd]為零頻率時(shí)的線性阻尼常數(shù);[kd]為“無限大”頻域內(nèi)的剛度系數(shù);[λ=cd/kd]，[λ]為放松時(shí)間系數(shù)。

將式（1）與式（2）聯(lián)立，則組合體系的地震動(dòng)方程為：

[Mx+Cx+Kx+P（t）=-γxg]，? ? ? ? ? ? （4）

式中：[x=xLxR]，[M=MLo1oT1MR]，[C=CLo1oT1CR]，[K=KLo1oT1KR]，[P（t）=PLPR]，[γ=ML? ? ILMR? ? IR]，

胡聿賢譜[13]的濾波方程為：

[ug+2ξgωgug+ω2gug=-uR，xg=ug+uR，μ-ω3cμ=w（t），uR=μ.]? ? ? ? ? ? （5）

其中：[ξg]、[ωg]分別為基巖上部場地土的阻尼比和卓越頻率，[ug、ug]分別為地面相對(duì)于基巖運(yùn)動(dòng)的速度和位移，[ωc]為低頻截止頻率，[uR]為基巖運(yùn)動(dòng)加速度，[w（t）]為白噪聲激勵(lì)，其協(xié)方差為：

[Cw（t）（τ）=2πS0δ（τ）]，? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

式中：[S0]為地震動(dòng)強(qiáng)度常數(shù)，[δ（τ）]為[Dirac]函數(shù)。

引入狀態(tài)變量：

[y=x， x， PJ（t）， ug， ug， μ， μ， μT].? ? ? ? ? ?（7）

聯(lián)立式（3）—式（5），并用狀態(tài)方程表示為：

[My+Ky=rw（t）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

式中：[x]、[y]分別是[x]、[y]的求導(dǎo);

[r=o2， 0， 0， o2， 0， 1， 0， 0Tq×1]，

其中，[q=2nL+2nR+6];

[M=CMoT2oT2γoT2oT2γo2o202ξgωg1001o2o2λ00000Eo3oT2oT2oT2oT2oT2oT2o2o2010000o2o2000001o2o2000100o2o2000010q×q];

[K=Ko3αoT2oT2oT2oT2oT2o2o20ω2g0000o2-αTcd100000o3-EoT2oT2oT2oT2oT2oT2o2o200-1000o2o2000-ω3c00o2o20000-10o2o200000-1q×q].

其中，[α=O1L， 1， O2L， O1R， -1， O2RT]，[o2]為[（nL+nR）]階元素均為0的行向量，[o3]為元素均為0的[（nL+nR）]階方陣，[E]為[（nL+nR）]階單位矩陣。

2 復(fù)模態(tài)法解耦運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)復(fù)模態(tài)理論[8]，存在左、右特征向量[V]和[U]，以及特征值矩陣[P]，可得：

[P=-VTKUVTMU]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

式中[：P]為對(duì)角矩陣。

利用復(fù)模態(tài)變換可得：

[y=Uz]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

式中：[z]為復(fù)模態(tài)變量。

將式（10）代入式（7），式（7）可改寫為：

[z+Pz=ηuR]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

式中，[η=VTrVTMU]。

由于[P]為對(duì)角矩陣，故式（11）的分量形式為：

[zj-pjzj=ηjuR（j=1，2，…，q）]，? ? ? ?（12）

式中，[zj、ηj、pj]分別是[z、η、P]的分量形式。

運(yùn)用杜哈梅積分對(duì)式（12）進(jìn)行處理可得：

[zj=ηj0tePjτuR（t-τ）dτ].? ? ? ? ? ? ? （13）

3 組合體地震動(dòng)響應(yīng)公式統(tǒng)一表達(dá)

在工程抗震設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)體系層間地震動(dòng)變形與各層相對(duì)于地面的地震動(dòng)位移是重要的設(shè)計(jì)參數(shù)，因此，研究上述參數(shù)的統(tǒng)一解具有重要的工程意義。

3.1 組合體地震動(dòng)響應(yīng)的絕對(duì)速度與位移

由式（8）及式（13）可知，組合體系的結(jié)構(gòu)層相對(duì)于地面的位移[xj]和速度[xj]可表示為：

[xj=ujz=i=1qλj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，xj=unL+nR+jz=i=1qλnL+nR+j，i0tepiτuR（t-τ）dτ.] （14）

式中：樓層數(shù) [j=1， …，（nL+nR）]（當(dāng)[j=1， 2， …， nL]時(shí)，為組合體左側(cè)結(jié)構(gòu);當(dāng)[j=（nL+1）， …，（nL+nR）]時(shí)，為組合體右側(cè)結(jié)構(gòu)），[uj]為特征向量矩陣[U]的第[j]行向量，動(dòng)力響應(yīng)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)[λj，i]為：

[λj，i=uj，iηi]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

式中：[uj，i]為[uj]的第[i]個(gè)分量。

3.2? ?組合體結(jié)構(gòu)的層間位移與速度

組合體系的左側(cè)結(jié)構(gòu)層間位移[ΔxL，j]及速度[ΔxL，j]可表示為：

[ΔxL，j=i=1qαj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxL， 1=xL， 1，ΔxL，j=i=1qαj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxL， 1=xL， 1.]? ? ? ? ? （16）

式中：[j=2， 3， …， nL]。

組合體左側(cè)結(jié)構(gòu)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)[αj，i]、[αj，i]為：

[αj，i=（uj，i-uj-1，i）ηi，αj，i=（unL+nR+j，i-unL+nR+j-1，i）ηi.]? ? ?（17）

組合體系的右側(cè)結(jié)構(gòu)層間位移[ΔxR，j]及速度[ΔxR，j]可表示為：

[ΔxR， j=i=1qβj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxR， 1=xR， 1，ΔxR， j=i=1qβj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxR， 1=xR， 1.]? ? ? ? ? （18）

組合體右側(cè)結(jié)構(gòu)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)[βj，i]、[βj，i]為：

[βj，i=（unL+j，i-unL+j-1，i）ηi ，βj，i=（u2nL+nR+j，i-u2nL+nR+j-1，i）ηi .]? ? ?（19）

由式（14）、式（16）及式（18）可得結(jié)構(gòu)各層位移及其速度，層間位移及其速度可統(tǒng)一表示為：

[X（t）=i=1qκi0tepiτuR（t-τ）dτ=i=1qXi（t）]， （20）

式中：[X（t）]表示地震動(dòng)響應(yīng)量，[κi]表示[X（t）]的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)，[Xi（t）]為[X（t）]分量形式，具體表達(dá)式如下：

[Xi（t）=κi0tepiτuR（t-τ）dτ? ? ?（i=1， 2， …， q）] .? （21）

4? ? 組合體地震動(dòng)響應(yīng)的簡明封閉解

4.1? ?組合體地震動(dòng)響應(yīng)的協(xié)方差

由隨機(jī)振動(dòng)理論[8]及式（20），結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)[X]的協(xié)方差為：

[CX（τ）=E[X（t）X（t+τ）]=]

[k=1qi=1qE[Xk（t）Xi（t+τ）]]，? ? ? ? ? ? （22）

式中：[E[?]]為數(shù)學(xué)期望。

由式（21）可知，結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)[X]分量的協(xié)方差可表示為：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=κkκi0∞0∞epkuepiv×E[uR（t-u）xR（t+τ-v）]dudv=] [κkκi0∞0∞epkuepivCuR（u+τ-v）dudv.]? ? ? （23）

把式（6）代入式（23）得：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=]

[2πS0×κkκi0∞0∞epkuepivδ（u+τ-v）dudv].? ? ?（24）

利用Dirac函數(shù)的性質(zhì)，式（24）簡化為：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=2πS0κkκi0∞epkuepi（u+τ）du] . （25）

對(duì)式（25）積分可得：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=-2πS0κkκiepiτpk+pi].? ? ?（26）

由式（22）和式（26），組合體結(jié)構(gòu)基于胡聿賢譜的動(dòng)力響應(yīng)的協(xié)方差為：

[CX（τ）=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+piepiτ].? ? ? ?（27）

由式（27）可知，組合體結(jié)構(gòu)在胡聿賢譜下動(dòng)力響應(yīng)的協(xié)方差表達(dá)式簡潔明了，并且是模態(tài)的組合。

當(dāng)[τ=0]時(shí)，設(shè)置連接裝置的兩相鄰結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差[σ2X]為：

[σ2X=CX（0）=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+pi].? ? ? ? （28）

由隨機(jī)振動(dòng)理論[8]，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的協(xié)方差與單邊功率譜關(guān)系為：

[SX（ω）=1π0∞CX（τ）cosωτdτ]，? ? ? ? （29）

式中：[SX（ω）]為結(jié)構(gòu)響應(yīng)[X]的單邊功率譜。

將式（27）代入式（29），通過積分可得：

[SX（ω）=2S0i=1qk=1qκkκipk+pipiω2+p2i].? ? ?（30）

從式（30）可知，組合體結(jié)構(gòu)的單邊功率譜密度函數(shù)表示成1/[（ω2+p2i）]的線性組合，表達(dá)式更為簡潔，且為本文解法的核心所在，為后文獲得組合體結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)0—2階譜矩的簡明封閉解奠定基礎(chǔ)。

4.2? ?組合體結(jié)構(gòu)0—2譜矩的簡明封閉解

由譜矩的定義[8]可知，地震動(dòng)響應(yīng)的0階譜矩[αX， 0]為：

[αX， 0=4S0i=1qk=1qκkκipk+pi0∞piω2+p2idω].? ? ?（31）

對(duì)式（31）進(jìn)行積分后可得：

[αX， 0=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+pi].? ? ? ? ? ? ?（32）

由隨機(jī)振動(dòng)理論[8]，組合體系響應(yīng)的0階譜矩等于2階譜矩，即：

[αX， 2=αX， 0] .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （33）

式中：[X=dXdt]。

由譜矩定義[8]，組合體系響應(yīng)的1階譜矩可表示為：

[αX， 1=4S0i=1qk=1qκkκipk+pipi0∞ωω2+p2idω].? ?（34）

對(duì)式（34）進(jìn)行積分后可得：

[αX， 1=-2S0i=1qk=1qκkκipk+pipilnp2i].? ? ? ? （35）

根據(jù)式（14）—式（19）及式（32）、式（33）、式（35），組合體系地震動(dòng)響應(yīng)的0—2階譜矩均可得到簡明的封閉解。

5? ? 算例

兩相鄰的鋼筋混凝土建筑結(jié)構(gòu)，主體結(jié)構(gòu)（左側(cè)結(jié)構(gòu)）樓層數(shù)為15層，其相鄰結(jié)構(gòu)（右側(cè)結(jié)構(gòu)）樓層數(shù)為7層，兩結(jié)構(gòu)在第7層通過黏彈性阻尼器相連，主體結(jié)構(gòu)每層的質(zhì)量為1.56×106 kg，每層側(cè)向剛度為4.0×109 N/m;其相鄰結(jié)構(gòu)每層質(zhì)量為1.29×106 kg，每層的側(cè)向剛度為2.0×109 N/m;結(jié)構(gòu)采用瑞利阻尼，阻尼比為0.05，黏彈性阻尼器采用Maxwell模型，其力學(xué)參數(shù)為：kd = 5.5×108 N/m，cd = 5.5×107 N·s/m。胡聿賢隨機(jī)激勵(lì)模型的參? ? ? 數(shù)為： [ωg]= 17.95 rad/s，[ωc]=4.14 rad/s，xg = 0.72，S0 = 15.6×10-4 m2/s3。

5.1? ?組合體結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜對(duì)比分析

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論[9]，式（4）的功率譜密度函數(shù)為：

[Sxg（ω）=ω6ω6+ω6cω4g+4ξ2gω2gω2（ω2g-ω2）2+4ξ2gω2gω2S0].? ?（36）

由式（4）可知，基于虛擬激勵(lì)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)的頻域解為：

[x（ω）=-D（ω）γSxg（ω）eiωt]，? ? ? ? ? （37）

式中：[xω=]

[xL， 1（ω）， …， xL， nL（ω）， xR， 1（ω）， …， xR， nR（ω）T];[Dω=K-Mω2+C+cdiω1+λiωβ-1]，[i=-1];本算例中[β]為22階的方陣，其中，[β（7，7）=1]，[β（22，22）=1]，[β（7，22）=-1]，[β（22，7）=-1]，其余元素均為0。

結(jié)構(gòu)層間位移的頻響域解[Δx（ω）]可以表示為：

[Δx（ω）=xL，1（ω）， xL， 2（ω）-xL， 1（ω），…， xL， nL（ω）-xL， nL-1（ω），]

[xR，1（ω）， xR， 2（ω）-xR， 1（ω），…， xR， nL（ω）-xR， nL-1（ω）].

則基于虛擬激勵(lì)法[21]的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜為：

[SPEMxj（ω）=xj（ω）×x*j（ω），SPEMΔxj（ω）=Δxj（ω）×Δx*j（ω）.]? ? ? ? ? （38）

式中：[SPEMxj（ω）]為[xj]的響應(yīng)功率譜，[x*j（ω）]為[xj（ω）]共軛解，即[x*j（ω）=xj（-ω）];[SPEMΔxj（ω）]為[Δxj]的響應(yīng)功率譜，[Δx*j（ω）]為[Δxj（ω）]共軛解。

圖2為本文方法獲得的地震動(dòng)加速度功率譜與胡聿賢譜的地震動(dòng)加速度功率譜的對(duì)比圖。由圖2可知，本文方法與胡聿賢譜的地震動(dòng)加速度功率譜曲線完全重合。圖3—圖4為本文方法與虛擬激勵(lì)法的功率譜密度函數(shù)的對(duì)比圖，由圖3、圖4可知，本文方法與虛擬激勵(lì)法所得的結(jié)構(gòu)層位移、結(jié)構(gòu)層層間位移的功率譜密度函數(shù)曲線完全重合，從而可以驗(yàn)證本文方法的正確性，并且本文方法的功率譜公式（30）更為簡潔。

5.2? ? 本文方法與虛擬激勵(lì)法積分步長的影響分析

為驗(yàn)證本文方法計(jì)算精度，將本文方法獲得的0—2階響應(yīng)譜矩與虛擬激勵(lì)法在不同積分步長的情況下所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。以組合體結(jié)構(gòu)中的左側(cè)結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移以及右側(cè)結(jié)構(gòu)的層間位移為分析對(duì)象，選取虛擬激勵(lì)法的積分步長為4.00 rad/s、 2.00 rad/s、0.10 rad/s以及0.01 rad/s這4種情形進(jìn)行分析。由圖5—圖10可知，當(dāng)虛擬激勵(lì)法選取的積分步長取值越小時(shí)，獲得的結(jié)果逐漸平穩(wěn)，所得1階譜矩結(jié)果最終與本文方法重合，0階和2階譜矩最終結(jié)果與本文方法接近，誤差較小，從而說明了本文方法求得的結(jié)果較為精確，避免了虛擬激勵(lì)法為獲得足夠精度所需的多次試算。

5.3? ?設(shè)置連接阻尼裝置結(jié)構(gòu)的減震性能分析

由圖11可知，設(shè)置Maxwell黏彈性阻尼器的相鄰建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的結(jié)構(gòu)位移明顯降低，從而說明了相鄰建筑結(jié)構(gòu)設(shè)置連接阻尼器運(yùn)用于抗震的有效性。由圖12可知，設(shè)置Maxwell黏彈性阻尼器的相鄰建筑對(duì)左側(cè)結(jié)構(gòu)（主結(jié)構(gòu)）的層間位移有較好的控制效果，對(duì)于附屬結(jié)構(gòu)（右側(cè)結(jié)構(gòu)）的層間位移較未設(shè)置連接阻尼器會(huì)出現(xiàn)局部增大的情形，因此，相鄰建筑在設(shè)置連接阻尼裝置時(shí)需對(duì)樓層的層間位移進(jìn)行綜合考慮。

6? ? 結(jié)論

本文針對(duì)相鄰建筑結(jié)構(gòu)設(shè)置Maxwell阻尼裝置形成的組合體結(jié)構(gòu)，基于胡聿賢譜隨機(jī)激勵(lì)下的絕對(duì)位移及層間位移等系列響應(yīng)的封閉解進(jìn)行了研究，可得結(jié)論如下：

1）利用胡聿賢譜的濾波方程將組合體結(jié)構(gòu)地震動(dòng)轉(zhuǎn)化為基于過濾白噪聲激勵(lì)的地震動(dòng)方程。繼而基于時(shí)域法，并利用白噪聲簡明的協(xié)方差表達(dá)式，把結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)以1/[（ω2+p2i）]的線性組合進(jìn)行表示，并獲得了0—2階譜矩的簡明封? ? 閉解。

2）提出了組合體結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移及層間位移等系列響應(yīng)統(tǒng)一表達(dá)式，避免了虛擬激勵(lì)法需要多次試算才能得到高精度解，便于工程的實(shí)際? 應(yīng)用。

3）通過對(duì)相鄰建筑結(jié)構(gòu)是否設(shè)置黏彈性阻尼器進(jìn)行了分析，表明了黏彈性阻尼器設(shè)置在相鄰建筑間具有良好的耗能和減震效果。

參考文獻(xiàn)

[1]? ? ?KASAI K，MAISON B F. Building pounding damage during the 1989 Loma Prieta earthquake[J]. Engineering Structures，1997，19（3）：195-207.

[2]? ? ?COLE G L，DHAKA R P，TURNER F M. Building pounding damage observed in the 2011 Christchurch earthquake[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，2012，41（5）：893-913.

[3] 辛星. 考慮碰撞的相鄰建筑抗震能力評(píng)估方法研究[D].哈爾濱：中國地震局工程力學(xué)研究所，2016.

[4] 伏恬甜， 裴星洙.相鄰結(jié)構(gòu)連接阻尼器設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化研究[J].工程抗震與加固改造，2018，40（2）：21-27.

[5] 周云，梁秋河，房曉俊.相鄰結(jié)構(gòu)碰撞研究進(jìn)展[J].土木工程學(xué)報(bào)，2019，52（9）：12-22，52.

[6] XU Y L，HE Q，KO J M. Dynamic response of damper-connected adjacent buildings under earthquake excitation[J]. Engineering Structures，1999，21（2）：135-148.

[7] ZHU H P，GE D D，HUANG X. Optimum connecting dampers to reduce the seismic responses of parallel structures[J]. Journal of Sound and Vibration，2011，330（9）：1931-1949.

[8] 方同. 工程隨機(jī)振動(dòng)[M].北京：國防工業(yè)出版社，1995.

[9] 胡聿賢. 地震工程學(xué)[M]. 2版.北京：地震出版社，2006.

[10] 劉美華，鄒萬杰，葛新廣，等.單自由度廣義Maxwell阻尼結(jié)構(gòu)基于歐進(jìn)萍譜隨機(jī)響應(yīng)的簡明封閉解法[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，32（4）：58-64.

[11] KANAI K. An empirical formula for the spectrum of strong earthquake motions[J]. Bulletin of Earthquake Research Institute，University of Tokyo，1961，39（1）：86-95.

[12] TAJIMI H. A statistical method of determining the maximum response of a building structure during an earthquake[C]//Proceeding of the Second World Conference on Earthqake Engineering. Tokyo，Japan，1960，11：781-797.

[13]? ?胡聿賢，周錫元.彈性體系在平穩(wěn)和平穩(wěn)化地面運(yùn)動(dòng)下的反應(yīng)[M]//劉恢先.地震工程研究報(bào)告集：第一集.北京：科學(xué)出版社，1962.

[14]? ?ZHANG R H，SOONG T T，MAHMOODI P. Seismic response of steel frame structures with added viscoelastic dampers[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1989，18（3）：389-396.

[15] ZHANG W S，XU Y L. Vibration analysis of two buildings linked by Maxwell model-defined fluid dampers[J]. Journal of Sound and Vibration，2000，233（5）：775-796.

[16]? ?ZHU H P，LEMURA H. A study of response control on the passive coupling element between two parallel structures[J].Structural Engineering and Mechanics，2000，9（4）：383-396.

[17]? ?ZHU H P， WEN Y P， LEMURA H. Study on interaction control for seismic response of parallel structures [J].Computers and Structures，2001，79（2）：231-242.

[18] 葛新廣，龔景海，李創(chuàng)第. 線性結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)分析的新解法[J].振動(dòng)與沖擊，2020，39（22）：60-66.

[19] 戴成元，王偉.改進(jìn)的胡聿賢-歐進(jìn)萍地震地面運(yùn)動(dòng)模型[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，36（11）：1155-1159.

[20] 李創(chuàng)第，葛新廣，李暾，等.多自由度Maxwell阻尼器減震結(jié)構(gòu)（Ⅰ）——隨機(jī)響應(yīng)特性[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)， 2012，29 （4）：368-373，482.

[21] 林家浩，張亞輝.隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

Concise closed form solution of random seismic response of composite structure based on Hu Yuxian's spectrum

LI Chuangdi， YANG Xuefeng， LI Yuxiang ， GE Xinguang*

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： Hu Yuxian's spectrum introduces an additional term of low frequency band based on? ? Kainai-Tajimi spectrum， which makes up for the deficiency of Kainai-Tajimi spectrum.But the? ? ? ? ? ? expression is insufficient and not easy to solve.The composite structure formed by two adjacent? ? ? buildings connected with viscoelastic dampers has significant seismic mitigation effect. In this paper， a concise solution of random seismic response of composite structures based on Hu Yuxian's spectrum is presented. Firstly， the ground motion is transformed into white noise excitation by using the filtering equation of Hu Yuxian's spectrum， and the motion equation is decoupled by the complex mode method to obtain the complex vibration eigenvalues and modal intensity coefficients of the composite structure. Secondly， based on the random vibration theory， the concise expressions of covariance， variance and power spectral density function of dynamic response are obtained， and the closed form solution of 0-2 order spectral moment of composite structure is obtained. Finally， the proposed method is compared with the virtual excitation method， and a case study of an adjacent building structure with Maxwell? ? viscoelastic dampers is carried out to verify the correctness of the proposed method. The analysis? ? ? ? results include the 0-2 order spectral moment of the composite structure and the seismic performance of the connected viscoelastic dampers.

Key words： combination structure; Hu Yuxian's spectrum; viscoelastic damper; complex mode method; spectral moment

（責(zé)任編輯：羅小芬）