姚東鹽

含有絕對(duì)值的二次函數(shù)問(wèn)題一般難度較大.由于函數(shù)式中含有絕對(duì)值，所以解題的關(guān)鍵是如何去掉絕對(duì)值符號(hào)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.通常有三種思路：分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化.

一、分類討論

分類討論法是處理絕對(duì)值問(wèn)題的常用方法.在解題時(shí)，可令絕對(duì)值內(nèi)部的式子為0，求得零點(diǎn)，然后用零點(diǎn)將函數(shù)定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間段，在每個(gè)區(qū)間段上討論絕對(duì)值內(nèi)部式子的符號(hào)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)進(jìn)行討論.

例1 .已知 f（x）=-x2+2x -a ，當(dāng) a >0時(shí)，對(duì)任意的x ≥0，不等式 f（x -1）≥2f（x）恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

解：當(dāng)0≤x <a 時(shí)，由 f（x -1）≥2f（x）得 x2+4x - 2a +1 ≥0 .令 g（x）=x2+4x -2a +1，則 g（x）在 [0， a）上單調(diào)遞增，因此 g（0）= 1- 2a ≥0，得 a ≤ ，所以0 <a <? .當(dāng) a ≤ x <a +1時(shí)，x2-4x +1 +6a ≥0，令 h（x）=x2- 4x+1+6a，其對(duì)稱軸為 x =2，得0 <a<，所以 h（x）在 [a， a +1）上單調(diào)遞減，因此 h（a +1）=a2+4a -2≥0，得 a ≥? -2 或 a ≤-2- （舍去），所以 a ≥? -2 .當(dāng) x ≥1 +a 時(shí)， x2+2a -3≥0恒成立，令φ（x）=x2+ 2a -3，φ（x）在 [a +1， +∞）上單調(diào)遞增，因此φ（a +1） =a2+4a -2≥0，解得 a ≥? -2 或 a ≤-2-? （舍去）.綜上可得a 的取值范圍為[ -2，] .

本題中不僅含有絕對(duì)值，還含有參數(shù)a，需運(yùn)用分類討論法來(lái)求解.因?yàn)樗玫膮?shù)取值范圍是多個(gè)集合的并集，所以在分類討論時(shí)，要做到不重復(fù)不遺漏任何一種分類情況，并且在討論完每一種情況后要綜合所得結(jié)果.

二、數(shù)形結(jié)合

在解答函數(shù)問(wèn)題時(shí)，將數(shù)形結(jié)合起來(lái)能有效地提升解題的效率.對(duì)于含有絕對(duì)值的二次函數(shù)問(wèn)題，可根據(jù)給出的函數(shù)解析式繪制出函數(shù)的圖象，圖象中就會(huì)呈現(xiàn)出函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)、單調(diào)性、最大值、最小值、對(duì)稱軸、周期等，這樣便可借助圖形來(lái)分析函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、奇偶性等.

例2 .若直線 y =1 與曲線 y =x2- x +a 有4個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.

解：

本題若采用常規(guī)方法，需對(duì)含有絕對(duì)值的式子進(jìn)行分類討論，解題過(guò)程較為繁瑣.于是采用數(shù)形結(jié)合法，作出兩函數(shù)的圖象，通過(guò)分析兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系就能直觀地求得參數(shù)的取值范圍.

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化

有些含有絕對(duì)值的二次函數(shù)問(wèn)題較為復(fù)雜，此時(shí)我們可采用等價(jià)轉(zhuǎn)化法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題、距離問(wèn)題、函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，可將將未知的問(wèn)題化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將陌生的問(wèn)題化為熟悉的問(wèn)題.

例3 .已知 f（x）=ax2+bx +c，其中 a ∈ N?，b，c ∈Z，問(wèn)當(dāng) b >2a 時(shí)，在[-1，1]上是否存在 x，使得f（x）>b 成立.

解：由 b >2a ，得- < -1，所以 f（x）在

[-1，1]上單調(diào)遞增且 b >0，所以 f（x）∈（a -b+c， a+ b +c）.

①當(dāng) a +c >0時(shí)，a +b +c >b >0，則f（1）>b，即存在 x =1，使得f（x）>b 成立;

②當(dāng) a +c <0時(shí)，a -b +c <-b <0，則f（-1）>b，即存在 x =-1，使得f（x）>b 成立;

③當(dāng) a +c =0時(shí)， f（x）∈（-b， b），不存在 x 使得f（x）>b 成立.

通過(guò)有效的轉(zhuǎn)化，將看似困難的絕對(duì)值二次函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的二次函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和最值就能順利使問(wèn)題得解.

雖然含有絕對(duì)值的二次函數(shù)問(wèn)題較為復(fù)雜，但是我們只要抓住絕對(duì)值的特點(diǎn)，明確二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類進(jìn)行討論;繪制函數(shù)圖象，將數(shù)形結(jié)合;明確問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，便能使問(wèn)題順利獲解.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達(dá)高級(jí)中學(xué)）