孫培成 趙 磊 董 明

1 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 天津 300072

2 中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所非線性力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100190

3 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心, 空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川綿陽(yáng) 621000

1 引 言

長(zhǎng)期以來(lái), 流動(dòng)從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩一直是航空航天飛行器設(shè)計(jì)中的基礎(chǔ)難題. 由于層流區(qū)的摩阻和熱流明顯低于湍流區(qū), 準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩位置是飛行器氣動(dòng)力與氣動(dòng)熱設(shè)計(jì)的關(guān)鍵. 當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)強(qiáng)度較低時(shí), 轉(zhuǎn)捩過(guò)程包括模態(tài)擾動(dòng)的感受性、線性失穩(wěn)、非線性breakdown 和湍流四個(gè)階段 (該過(guò)程也被稱(chēng)為自然轉(zhuǎn)捩) . 而當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)強(qiáng)度較高時(shí), 轉(zhuǎn)捩可能發(fā)生在模態(tài)擾動(dòng)失穩(wěn)區(qū)的上游, 這被稱(chēng)為旁路轉(zhuǎn)捩或亞臨界轉(zhuǎn)捩. 在這一過(guò)程中, 邊界層中會(huì)出現(xiàn)大尺度的條帶結(jié)構(gòu) (也被稱(chēng)為非模態(tài)擾動(dòng)) . 本質(zhì)上, 非模態(tài)擾動(dòng)是邊界層系統(tǒng)對(duì)外界激勵(lì)的響應(yīng); 即使邊界層中的所有線性模態(tài)擾動(dòng)都是指數(shù)衰減的, 由于它們是非正交的, 它們?nèi)匀豢梢院铣蔀橛邢迏^(qū)域內(nèi)代數(shù)增長(zhǎng)的擾動(dòng) (Trefethen et al. 1993, Henningson 1995) . 在瞬態(tài)增長(zhǎng)后, 條帶結(jié)構(gòu)會(huì)達(dá)到非線性飽和. 由于尺度較大, 條帶本身并不會(huì)直接觸發(fā)轉(zhuǎn)捩, 但它會(huì)支持二次失穩(wěn)擾動(dòng)迅速增長(zhǎng), 并最終導(dǎo)致湍斑的出現(xiàn)及條帶的breakdown (Zhang et al. 2018) .

有兩種方法可以描述條帶的瞬態(tài)增長(zhǎng). 第一種方法是采用邊界區(qū)方程計(jì)算 (Leib et al. 1999,Ricco et al. 2011), 該方法基于漸近分析, 描述自由流中的渦擾動(dòng)從平板前緣進(jìn)入邊界層并激發(fā)條帶的過(guò)程. 另一種方法是采用最優(yōu)擾動(dòng)描述條帶 (Luchini 2000, Tumin & Reshotko 2001, Paredes et al. 2016). 該方法不考慮外界擾動(dòng)與條帶之間的關(guān)聯(lián), 只通過(guò)伴隨向量尋找邊界層中在有限區(qū)域內(nèi)增長(zhǎng)最快的擾動(dòng). 雖然第二種方法所描述的物理過(guò)程不如第一種方法清晰, 但在較復(fù)雜 (如考慮前緣鈍度和激波影響) 的超聲速邊界層中, 該方法的求解難度大大低于第一種方法.

壁面上的局部突變對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響是多方面的. 首先, 對(duì)于自然轉(zhuǎn)捩問(wèn)題, 壁面突變可以通過(guò)局部感受性 (Dong et al. 2020, Liu et al. 2020) 和線性模態(tài)的局部散射 (Wu & Dong 2016, Zhao et al. 2019, Zhao & Dong 2020, Dong & Zhao 2021, 李斯特和董明 2021) 兩種機(jī)制影響轉(zhuǎn)捩. 董明(2020) 曾對(duì)這兩種機(jī)制進(jìn)行了系統(tǒng)的綜述. 其次, 在亞臨界轉(zhuǎn)捩過(guò)程中, 壁面突變可以影響條帶以及二次失穩(wěn)擾動(dòng)的發(fā)展. 李強(qiáng)等 (2020) 的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)表明, 凹槽可導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩位置提前, 且隨著凹槽深度和寬度的增加, 對(duì)轉(zhuǎn)捩的促進(jìn)作用增強(qiáng). 針對(duì)大鈍度繞流問(wèn)題, Paredes 等 (2017)曾建立基于線性拋物化穩(wěn)定性方程 (PSE) 的最優(yōu)增長(zhǎng)理論, 研究了馬赫數(shù)為7.32 的半球邊界層中的非模態(tài)擾動(dòng)的增長(zhǎng), 并考察了激波、非平行性、鈍體曲率等因素對(duì)條帶瞬態(tài)增長(zhǎng)的影響. 由于PSE對(duì)原始Navier-Stokes (N-S) 方程進(jìn)行了拋物化, 因而只能描述壁面緩變的情況; 而對(duì)于包含壁面突變的橢圓型問(wèn)題, 該方法并不適用. 只有基于諧波型線性化N-S 方程 (HLNS) (Zhao et al. 2019)是刻畫(huà)橢圓型問(wèn)題的合適理論. 他們的研究表明, HLNS 方法對(duì)擾動(dòng)演化的預(yù)測(cè)精度與直接數(shù)值模擬相當(dāng), 但計(jì)算量可以少兩個(gè)數(shù)量級(jí). 更重要的是, 若壁面存在由凹槽引起的流動(dòng)分離, 則傳統(tǒng)的PSE 計(jì)算發(fā)散, 而HLNS 仍然能保證良好的預(yù)測(cè)精度. 因而, 本文擬發(fā)展一套基于HLNS 方程及其伴隨系統(tǒng)的最優(yōu)擾動(dòng)理論, 以揭示凹槽 (局部突變) 對(duì)亞臨界轉(zhuǎn)捩影響的物理機(jī)理.

2 數(shù)值方法

2.1 物理模型

本文所研究的物理模型為高超聲速鈍楔邊界層, 如圖1 所示. 選取鈍楔的前緣半徑R?= 1 mm、楔角為 21.5°. 模型長(zhǎng)度為450 mm, 取來(lái)流方向與鈍楔上表面的夾角 (攻角) 為-4°. 在上表面距離前緣110 mm 的位置設(shè)置一個(gè)凹槽, 只關(guān)注上表面的邊界層轉(zhuǎn)捩. 坐標(biāo)原點(diǎn)選取在上表面前緣的切點(diǎn)處, 選擇鈍頭半徑R?為特征長(zhǎng)度, 來(lái)流速度為特征速度. 因此無(wú)量綱的坐標(biāo)和時(shí)間為

圖 1 物理模型示意圖

本文中, 有量綱參數(shù)加上標(biāo)“*”, 來(lái)流物理量加下標(biāo)“∞”. 無(wú)量綱的密度ρ、速度(u,v,w)、溫度T、壓力p分別定義為

來(lái)流馬赫數(shù)和雷諾數(shù)定義為

2.2 平均流與擾動(dòng)場(chǎng)的模擬

瞬時(shí)流場(chǎng)q可表示為平均流和擾動(dòng)場(chǎng)的疊加

然后計(jì)算擾動(dòng)演化, 用以驗(yàn)證本文建立的最優(yōu)擾動(dòng)方法的可靠性. 三維非定常直接數(shù)值模擬的方法與計(jì)算平均流的方法相同, 仍然是基于Hyps-CFD 代碼, 但是要考慮展向變化與時(shí)間積分的精度. 本文的展向計(jì)算域取一個(gè)展向波長(zhǎng) (由擾動(dòng)的展向波數(shù)確定) , 邊界上選取周期條件. 計(jì)算域入口條件給定基本流與擾動(dòng)的疊加, 在計(jì)算域出口采用嵌邊區(qū)邊界條件以消除擾動(dòng)在出口邊界的反射. 時(shí)間改用三階Runge-Kutta 方法.

本文采用的數(shù)值模擬代碼已被用于后掠鈍平板 (Zhao et al. 2016) 、含鼓包及凹槽的平板(Zhao et al. 2019) 、含臺(tái)階及抽吸平板 (Zhao & Dong 2020) 、攻角錐 (Song et al. 2020) 等模型的穩(wěn)定性與轉(zhuǎn)捩研究.

2.3 基于HLNS 方程的最優(yōu)擾動(dòng)方法

2.3.1 HLNS 方程

在凹槽附近, 平均流的流向尺度與法向尺度相近, 因而非模態(tài)擾動(dòng)的特征剖面在凹槽附近快速畸變. 這屬于橢圓型問(wèn)題. 在貼體坐標(biāo)系(ξ,η,z)下, 擾動(dòng)表示為

其中,ω和β為擾動(dòng)的圓頻率與展向波數(shù), 它們均為實(shí)數(shù),q?(ξ,η)為擾動(dòng)分布函數(shù),c.c.表示復(fù)共軛.將式(1)代入N-S 方程, 減去平均流滿足的N-S 方程并略去ε2項(xiàng), 可得到線性化的N-S 方程; 將式(2)代入線性化N-S 方程, 則可得到HLNS 方程

其中系數(shù)矩陣見(jiàn)Zhao 等 (2019). 在遠(yuǎn)場(chǎng)η →∞處,采用零擾動(dòng)邊界條件 (=0); 在壁面η=0處,采用無(wú)滑移、無(wú)穿透及等溫邊界條件(=0); 在計(jì)算域入口處由給定的擾動(dòng)形函數(shù)(ξ0,η)作為邊界條件; 出口采用出流邊界條件 (Zhao et al. 2019) . 本文的HLNS 代碼已被用于計(jì)算局部突變對(duì)邊界層失穩(wěn)模態(tài)與轉(zhuǎn)捩影響的問(wèn)題 (Zhao et al. 2019, Zhao & Dong 2020,Dong & Zhao 2021) .

2.3.2 最優(yōu)擾動(dòng)方法

為了度量擾動(dòng)在給定位置處的能量, 定義兩個(gè)擾動(dòng)向量的內(nèi)積

基于此內(nèi)積空間定義能量范數(shù)

其中

在給定區(qū)間[x0,x1]內(nèi)能量增長(zhǎng)最大的擾動(dòng)被稱(chēng)作最優(yōu)擾動(dòng). 定義目標(biāo)函數(shù)為

尋找最優(yōu)擾動(dòng)就是求目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)的擾動(dòng), 此時(shí)的最優(yōu)能量增益G=max[J()].

為了求解最優(yōu)擾動(dòng), 采用Lagrange 乘數(shù)法建立最優(yōu)系統(tǒng). 定義如下內(nèi)積空間

其中Ω=[x0,x1]×[0,∞]為空間計(jì)算域. 基于此內(nèi)積空間, 可以定義HLNS 算子L 的伴隨算子L*

其中

略去邊界項(xiàng)中的高階小量, 其最終形式表示為

可使B.C.中的第一項(xiàng)為0, 得

定義泛函

為使目標(biāo)函數(shù)J()最大, 需尋求泛函的駐點(diǎn), 即泛函變分

為0 的點(diǎn). 這要求式(14)右邊兩個(gè)內(nèi)積均為0. 由方程L=0可得式(14)右邊的第一項(xiàng)為0. 將式(9) (12) (13)代入式(14)右邊的第二項(xiàng), 可得

由式(15)中第一項(xiàng)為零, 可得

這被稱(chēng)作伴隨HLNS 方程 (AHLNS) . 需要指出的是, 由于伴隨方程與原始方程性質(zhì)的差異,AHLNS 方程是以x1作為計(jì)算的入口, 以x0作為計(jì)算域的出口. 這與原始HLNS 方程正好相反. 由式(15)中第二項(xiàng)和第三項(xiàng)為0, 可得到x=x0和x=x1處的最優(yōu)化條件

由此得到原始擾動(dòng)和伴隨擾動(dòng)的初始條件

其中c0和c1為常數(shù), 對(duì)于線性問(wèn)題, 該常數(shù)的選取不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果.

迭代求解HLNS 方程(3)、AHLNS 方程(16)和最優(yōu)化條件(18), 可獲得最優(yōu)擾動(dòng)及其能量增益. 迭代求解步驟如下:

(1) 在計(jì)算域入口x0處隨機(jī)給定初始擾動(dòng)0;

(2) 在區(qū)間[x0,x1]求解HLNS 方程;

(3) 由式(18)得到伴隨擾動(dòng)在x1處的初始條件;

(4) 在區(qū)間[x0,x1]求解AHLNS 方程;

(5) 由式(18)得到x0處新的擾動(dòng)初始條件;

2.3.3 HLNS 與AHLNS 方程的離散

由2.3.1 與2.3.2 可知, HLNS 與AHLNS 方程在遠(yuǎn)場(chǎng)與壁面處采用了同樣的邊界條件, 在各自的計(jì)算域入口均給定擾動(dòng)的分布函數(shù), 在各自的計(jì)算域出口均采用出流邊界條件. HLNS 與AHLNS 方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用5 點(diǎn)四階精度的Lagrange 離散算子進(jìn)行數(shù)值離散, 詳細(xì)信息可參考Zhao 等 (2019) 的附錄B. 對(duì)原始HLNS 方程及伴隨方程的數(shù)值離散最終均產(chǎn)生一個(gè)代數(shù)方程組系統(tǒng), 形式為

其中M為5NxNy×5NxNy維矩陣,表示5NxNy維矢量,Nx和Ny為流向及法向的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù),是由入口條件 () 產(chǎn)生的非齊次激勵(lì)項(xiàng). 采用因特爾數(shù)學(xué)核心庫(kù) (MKL) 求解線性系統(tǒng)(19).

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 計(jì)算參數(shù)及流動(dòng)配置

選擇激波風(fēng)洞實(shí)驗(yàn) (李強(qiáng)等2020) 的流場(chǎng)參數(shù), 馬赫數(shù)為5.96, 單位雷諾數(shù)Reu= 3.34 × 107m-1,來(lái)流靜溫= 87 K. 由于風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)的運(yùn)行時(shí)間較短, 故壁面溫度取室溫= 290 K. 為了方便計(jì)算, 在凹槽的拐角處做光滑處理, 其形狀分布為

其中,H為凹槽的深度,D為凹槽的寬度,xc=110為凹槽的中心位置,Δ為定義的光滑因子, 這里取Δ=0.3968.值得說(shuō)明的是, 對(duì)凹槽形狀做人為光滑會(huì)降低局部散射的效應(yīng), 且Δ越大影響越大.本文的計(jì)算雖然不能完全反映實(shí)驗(yàn)中的工況, 但卻能從原理上分析局部散射效應(yīng)對(duì)條帶的影響.

計(jì)算凹槽作用下的基本流時(shí), 取流向計(jì)算域?yàn)?2 ≤ξ≤150, 法向計(jì)算域從壁面處延伸到激波外. 流向網(wǎng)格點(diǎn)共1401 個(gè), 且在凹槽附近加密; 法向網(wǎng)格點(diǎn)共301 個(gè), 且在壁面處較密集. 圖2 展示了凹槽附近的網(wǎng)格系統(tǒng)示意圖, 圖中僅展示了1/2 的流向網(wǎng)格點(diǎn)與1/5 的法向網(wǎng)格點(diǎn). 在ξ=2處將不含凹槽的光滑鈍平板基本流插值到此處作為入口條件.

圖 2 凹槽附近的網(wǎng)格示意圖

3.2 基本流結(jié)果

固定凹槽寬度D= 2, 選擇四種典型的凹槽深度 (H= 0.1、0.15、0.2、0.4) 計(jì)算基本流. 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證見(jiàn)附錄A. 圖3 中展示了凹槽附近的平均流壓力等值線云圖. 凹槽對(duì)平均流壓力的修正是以壓縮膨脹波系的形式存在. 藍(lán)色區(qū)域表示膨脹波, 紅色區(qū)域表示壓縮波. 隨著深度的增大,膨脹波強(qiáng)度逐漸減小, 而壓縮波強(qiáng)度先減小再增大.

圖4(a)展示了不同深度凹槽下壁面速度剪切率Sw=(?uˉ/?y)|w的流向分布,其中Sw小于0代表流動(dòng)產(chǎn)生分離. 圖中給出的四個(gè)工況均出現(xiàn)了分離; 隨著H的增大,Sw逐漸減小, 且極小值所出現(xiàn)的流向位置向下游移動(dòng). 圖4(b)還展示了壁面壓力w沿流向的分布. 隨著H的增大, 壓力極小值逐漸減小, 而逆壓梯度及壓力峰值逐漸增大.

圖 3 平均流壓力等值線圖.(a)H = 0.1,(b)H = 0.15,(c)H = 0.2,(d)H = 0.4

圖 4 不同深度凹槽下壁面速度剪切率(a)以及壁面壓力(b)的流向分布

圖 5 凹槽內(nèi)流向速度等值線圖及流線圖.(a)H = 0.1,(b)H = 0.15,(c)H = 0.2,(d)H = 0.4

圖5 中展示了發(fā)生分離的四種典型深度的凹槽內(nèi)流向速度的等值線云圖以及流線. 對(duì)于較淺的凹槽, 分離泡中心靠近凹槽左側(cè), 且分離泡尺寸較小; 隨著凹槽深度的增大, 分離泡尺寸逐漸增大, 且分離泡的中心也向下游移動(dòng). 這一現(xiàn)象與矩形凹槽的情況 (Dong & Li 2021) 類(lèi)似.

3.3 線性最優(yōu)擾動(dòng)

針對(duì)本文的物理模型及參數(shù), 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn) (李強(qiáng)等 2020) 測(cè)量到光滑壁面情況的轉(zhuǎn)捩位置在Mack 模態(tài)線性失穩(wěn)區(qū)的上游. 這說(shuō)明這一轉(zhuǎn)捩過(guò)程屬于亞臨界轉(zhuǎn)捩, 早期條帶的演化可用最優(yōu)擾動(dòng)近似描述. Tumin 和 Reshotko (2001)、Paredes 等 (2018)的研究發(fā)現(xiàn), 定常條帶具有最強(qiáng)的瞬態(tài)增長(zhǎng)能力, 因此, 本文只研究定常條帶的演化. 圖6 中給出了在光滑壁面情況下, 不同區(qū)間內(nèi)最優(yōu)能量增益G隨展向波數(shù)β的變化情況. 若計(jì)算域的入口固定, 延長(zhǎng)計(jì)算域出口使G的峰值增加, 且最優(yōu)展向波數(shù)降低 (波長(zhǎng)增加) . 這是由于邊界層隨著向下游的發(fā)展而增厚, 它所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)條帶的展向尺度也相應(yīng)增大. 若計(jì)算域的出口固定, 最優(yōu)能量增益G隨著入口位置的后移先增加后減小. 對(duì)于所研究的工況, 最大增益所對(duì)應(yīng)的區(qū)間為[65,150], 其最優(yōu)展向波數(shù)β=2.8, 此時(shí)G約為1970.

圖 6 固定入口(a)、出口(b)時(shí)不同計(jì)算域下最優(yōu)能量增益隨展向波數(shù)的變化

圖 7 最優(yōu)擾動(dòng)在入口(a)、出口(b)處的特征函數(shù)剖面(β =2.8)

選擇最優(yōu)區(qū)間[65,150]為研究區(qū)間, 圖7 給出了展向波數(shù)β=2.8的最優(yōu)擾動(dòng)在計(jì)算域入口、出口處的特征剖面, 其中實(shí)線為特征函數(shù)的實(shí)部, 虛線為特征函數(shù)的虛部. 圖中剖面已經(jīng)用入口處的法向速度脈動(dòng)的最大值進(jìn)行歸一化. 在入口處, 流向速度擾動(dòng)較小, 而展向速度擾動(dòng)最大;而在出口處, 流向速度擾動(dòng)在lift-up 機(jī)制下經(jīng)歷了顯著的放大, 其幅值遠(yuǎn)大于和, 表現(xiàn)為如Zhang 等 (2018)模擬中的條帶結(jié)構(gòu). 選擇展向波數(shù)β=2.8的最優(yōu)擾動(dòng), 采用DNS 方法計(jì)算擾動(dòng)的演化. 由HLNS 系統(tǒng)預(yù)測(cè)的條帶演化與DNS 結(jié)果吻合很好, 如圖8(a)所示, 圖8(b)展示了流向速度擾動(dòng)的空間結(jié)構(gòu).

3.4 局部凹槽對(duì)最優(yōu)擾動(dòng)的影響

固定計(jì)算域區(qū)間為[65,150], 采用基于HLNS 及AHLNS 系統(tǒng)的最優(yōu)擾動(dòng)理論計(jì)算不同深度凹槽作用下的最優(yōu)擾動(dòng)能量增益. 如圖9(a)所示, 各個(gè)工況所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)展向波數(shù)β約為2.7 ~2.8, 局部凹槽使接近最優(yōu)展向波數(shù)的最優(yōu)擾動(dòng)的能量增益增加, 而對(duì)遠(yuǎn)離最優(yōu)展向波數(shù)的最優(yōu)擾動(dòng)的能量增益影響很小. 圖9(b)展示了展向波數(shù)在2.6 ~ 2.9 范圍內(nèi)能量增益G隨凹槽深度的變化, 隨著深度的增大,G先增大后減小. 在深度H= 0.2 時(shí),G達(dá)到峰值2170. 選擇展向波數(shù)β=2.8的最優(yōu)擾動(dòng), 采用DNS 方法計(jì)算其在H= 0.2 的凹槽作用下的演化, 由HLNS 系統(tǒng)預(yù)測(cè)的條帶演化與DNS 結(jié)果吻合很好, 如圖10(a)所示, 圖10(b)還展示了凹槽影響下的流向速度擾動(dòng)的空間結(jié)構(gòu).

圖 8 (a)HLNS 與DNS 計(jì)算的幅值A(chǔ)u 對(duì)比,(b)及流向速度擾動(dòng)的空間結(jié)構(gòu)(β =2.8)

圖 9 (a)不同深度凹槽下的最優(yōu)能量增益隨展向波數(shù)的變化,(b)最優(yōu)能量增益隨凹槽深度的變化

用式(5)的能量范數(shù)E(x)度 量非模態(tài)擾動(dòng)的能量, 圖11(a)展示了非模態(tài)擾動(dòng)的能量E(x)沿流向的演化. 非模態(tài)擾動(dòng)在凹槽附近發(fā)生較快速的畸變, 其能量在局部明顯增加; 但隨著向下游的演化, 條帶在下游恢復(fù)到凹槽前的增長(zhǎng)狀態(tài), 但幅值發(fā)生了變化. 為了度量這一變化, 引入歸一化能量(x)=E(x)/E0(x),其中E0(x)為光滑壁面情況下非模態(tài)擾動(dòng)的能量演化. 圖11(b)展示不同深度凹槽下的歸一化擾動(dòng)能量. 在凹槽上游, 歸一化擾動(dòng)能量約為1, 表明凹槽對(duì)入口處的最優(yōu)擾動(dòng)及擾動(dòng)在上游的演化幾乎沒(méi)有影響; 而在凹槽的下游, 歸一化擾動(dòng)能量趨于常數(shù). 該常值可定量地刻畫(huà)凹槽對(duì)非模態(tài)擾動(dòng)演化的影響. 借用Wu 和 Dong (2016), Zhao 等 (2019)線性模態(tài)局部散射的概念, 定義該常數(shù)為能量放大因子T.T >1表 示凹槽促進(jìn)了非模態(tài)擾動(dòng)的發(fā)展,T ＜1表示凹槽抑制了非模態(tài)擾動(dòng)的發(fā)展. 圖12 展示了凹槽深度對(duì)放大因子T的影響. 不同深度的凹槽均促進(jìn)非模態(tài)擾動(dòng)的增長(zhǎng); 隨著深度增大, 凹槽的促進(jìn)作用先增大后減小, 且在H= 0.2 時(shí)達(dá)到峰值1.1.

圖 10 β =2.8(a)HLNS 與DNS 計(jì)算的凹槽作用下的幅值A(chǔ)u 對(duì)比,(b)及流向速度擾動(dòng)的空間結(jié)構(gòu)(H = 0.2,)

圖 11 不同深度凹槽下的最優(yōu)擾動(dòng)的能量E(x)(a)以及歸一化能量Eˉ(x)(b)沿流向的演化

圖 12 放大因子 T 隨著凹槽深度H 的分布(β =2.8)

4 結(jié) 論

為揭示局部突變對(duì)非模態(tài)擾動(dòng)演化影響的物理機(jī)理并發(fā)展定量預(yù)測(cè)方法, 本文基于HLNS及其系統(tǒng), 發(fā)展了一套描述非模態(tài)擾動(dòng) (條帶) 演化的最優(yōu)擾動(dòng)求解框架. 該框架保留了N-S 方程系統(tǒng)的橢圓性, 因而, 它不但適用于描述光滑壁面的條帶發(fā)展過(guò)程, 還能描述條帶在局部突變附近的快速畸變規(guī)律, 這是優(yōu)于傳統(tǒng)最優(yōu)擾動(dòng)求解方法 (Parades et al. 2016) 之處.

基于該方法, 本文研究了來(lái)流馬赫數(shù)為5.96, 攻角為-4°的高超聲速鈍板邊界層中局部凹槽對(duì)亞臨界轉(zhuǎn)捩的影響. 研究發(fā)現(xiàn), 凹槽對(duì)非模態(tài)擾動(dòng)的演化起促進(jìn)作用, 且在本文所研究的參數(shù)范圍內(nèi),H= 0.2 時(shí)的促進(jìn)作用最大. 這與李強(qiáng)等 (2020) 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的“凹槽促進(jìn)轉(zhuǎn)捩”的規(guī)律定性相符. 但是, 本文數(shù)值結(jié)果無(wú)法與實(shí)驗(yàn)結(jié)果做定量對(duì)比, 這是由于計(jì)算條件與實(shí)驗(yàn)條件仍存在一定差距. 首先, 實(shí)驗(yàn)上的凹槽形狀是矩形的, 而本文為了計(jì)算方便, 對(duì)其進(jìn)行了光滑處理; 其次實(shí)驗(yàn)中的凹槽寬度也比本文算例中的寬, 實(shí)驗(yàn)中三組凹槽的寬度與深度分別為 (2.5 mm,1 mm) 、 (3.75 mm, 1.5 mm) 、 (5 mm, 2 mm) , 由于條帶的流向尺度很長(zhǎng), 更寬的凹槽更容易與條帶作用. 另外, 除了條帶本身的演化受到局部凹槽的影響以外, 其在發(fā)展到有限幅值以后激發(fā)的二次失穩(wěn)模態(tài)也會(huì)受到凹槽的影響, 而這一機(jī)制并未在本文考慮.

附錄A

基本流計(jì)算的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證計(jì)算的可靠性, 本文針對(duì)H= 0.2 凹槽工況的基本流計(jì)算開(kāi)展網(wǎng)格分辨率研究. 將流向網(wǎng)格和法向網(wǎng)格分別加密一倍, 對(duì)比三套網(wǎng)格下計(jì)算的基本流剖面, 附圖A1 給出了不同流向位置處的速度和密度沿法向的分布. 如圖所示, 流向網(wǎng)格和法向網(wǎng)格加密后所得到的結(jié)果與原網(wǎng)格所得結(jié)果精確吻合.

附圖 A1不同網(wǎng)格數(shù)下的速度(a)、密度(b)剖面對(duì)比

致 謝本文受到國(guó)家自然科學(xué)基金的資助(12002235, U20B2003).