單芃舒

1 引言

“直觀”（intuition），大概是哲學(xué)文獻(xiàn)中歷史沉淀厚重，各色定義紛繁，且至今仍被大量使用的核心術(shù)語(yǔ)的一大代表。而在當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論中，數(shù)學(xué)直觀（也即關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象或命題的直觀）因其至少在表面上預(yù)設(shè)了抽象（數(shù)學(xué)）對(duì)象1抽象對(duì)象（abstract object），指不存在于特定時(shí)空中的對(duì)象，亦有別稱“理念對(duì)象”（ideal object）。的存在而常常與數(shù)學(xué)的實(shí)在論–反實(shí)在論爭(zhēng)論關(guān)聯(lián)在一起。著名邏輯學(xué)家哥德爾（K.G?del）在上世紀(jì)以其完全性定理、不完全性定理、選擇公理相對(duì)于ZF 的一致性為代表的卓越技術(shù)貢獻(xiàn)和堅(jiān)定而充實(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)在論立場(chǎng)（以及他提出的與此立場(chǎng)緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究綱領(lǐng)）而成為了時(shí)至今日相關(guān)哲學(xué)討論都難以繞開的作為典型數(shù)學(xué)實(shí)在論者的標(biāo)桿和基點(diǎn)。哥德爾主張“數(shù)學(xué)概念”（即數(shù)學(xué)對(duì)象）不是由人類所任意創(chuàng)造的，而是客觀地存在著靜待數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)，并且關(guān)于其（命題的）直觀能夠被數(shù)學(xué)家能獲得。2參見[5]，第128 頁(yè)；[6]，第258 頁(yè)；以及《哥德爾文集》主編費(fèi)弗曼（S.Feferman）在[4]，第169 頁(yè)的注記。

可問(wèn)題是，盡管哥德爾作為數(shù)學(xué)實(shí)在論和數(shù)學(xué)直觀支持者的堅(jiān)定程度不曾令人懷疑，可是他的“數(shù)學(xué)直觀”概念常常被過(guò)分簡(jiǎn)化（以至于在一定情景下可被認(rèn)為是一種誤解）。按照這種簡(jiǎn)化后的理解，數(shù)學(xué)直觀是一種認(rèn)知者直接地獲得抽象數(shù)學(xué)對(duì)象知識(shí)的作用過(guò)程（或相應(yīng)的能力）。它聽起來(lái)是如此地簡(jiǎn)單直接，以至于反而顯得像“第六感”般神秘而可疑。（[3]，第41、55 頁(yè)）3佛利納（J.Folina）指出，哥德爾“康托篇”中“盡管它們遠(yuǎn)離感官經(jīng)驗(yàn)，我們關(guān)于集合論的對(duì)象也確實(shí)有著某種像是感知的東西……”的表述經(jīng)常被討論，如果脫離語(yǔ)境孤立地看，那么它確實(shí)很容易引起這般誤解。她進(jìn)一步指出，盡管就總體結(jié)論而言她判斷哥德爾的實(shí)在論和其它數(shù)學(xué)實(shí)在論一樣難逃貝氏問(wèn)題的詰問(wèn)，可是哥德爾的數(shù)學(xué)直觀概念相比康德的直觀概念已發(fā)生很大轉(zhuǎn)變，因而其無(wú)需被理解為某種“神秘的第六感”。本文將此類頗有影響力的對(duì)數(shù)學(xué)直觀的簡(jiǎn)化解讀稱之為“直接接觸解讀”（該稱謂直接參考了[18]）。本文的目的在于與之抗衡，為此將重提哥德爾的一個(gè)簡(jiǎn)潔明了卻時(shí)常被忽視的論斷——“數(shù)學(xué)直觀無(wú)需被理解成……直接知識(shí)”4見第2 節(jié)引文和討論。，并對(duì)這個(gè)要點(diǎn)的數(shù)學(xué)哲學(xué)意義做出說(shuō)明。

接下來(lái)在第2 節(jié)中我將首先指出對(duì)數(shù)學(xué)直觀的直接接觸解讀之所以流行開來(lái)的兩個(gè)背景因素。在第3 節(jié)，我將會(huì)回到哥德爾的原文（以及王浩的評(píng)注）來(lái)重構(gòu)出他關(guān)于數(shù)學(xué)認(rèn)知論概念的三個(gè)層次（材料、感知、直觀）。和流行的直接接觸理解相反，本文主張哥德爾所理解的數(shù)學(xué)直觀其實(shí)是三層次中最遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)對(duì)象這一認(rèn)知源頭的事件。在第4 節(jié)，我將以兩個(gè)例子說(shuō)明非直接接觸解讀的確在數(shù)學(xué)哲學(xué)上能產(chǎn)生有意義的差別，而非無(wú)關(guān)緊要的細(xì)節(jié)。第一個(gè)例子是哲學(xué)文獻(xiàn)中存在但相對(duì)小眾的關(guān)于“專家直觀”（expert intuition）這一直觀分支的探討，第二個(gè)例子是近年來(lái)蒂森（R.Tietzen）融合哥德爾實(shí)在論和現(xiàn)象學(xué)論述所發(fā)展出的“構(gòu)成實(shí)在論”（constituted platonism）立場(chǎng)?？此葡嗳ド踹h(yuǎn)的兩條研究進(jìn)路事實(shí)上都需在一定程度上超脫對(duì)數(shù)學(xué)直觀的直接接觸解讀才能成為可能，并且這兩條進(jìn)路還從不同側(cè)面重現(xiàn)了哥德爾所反復(fù)描繪的數(shù)學(xué)–科學(xué)平行關(guān)系（math–science analogy）。這些數(shù)學(xué)哲學(xué)理論發(fā)展的可能性例證了以對(duì)數(shù)學(xué)直觀的非直接接觸解讀來(lái)抗衡直接接觸解讀的價(jià)值，并提供了沿此路線前進(jìn)的一些動(dòng)機(jī)。

2 背景簡(jiǎn)述：對(duì)數(shù)學(xué)直觀的直接接觸解讀能夠占據(jù)主流的部分原因

對(duì)直觀的直接接觸解讀的傳統(tǒng)至少可以追溯到康德。康德發(fā)展了傳承自古希臘哲學(xué)的傳統(tǒng)，將知識(shí)視為質(zhì)料（matter）和形式（form）的結(jié)合，故其認(rèn)識(shí)論的一大特征也常被歸結(jié)為“質(zhì)形論”（hylomorphism）。在他看來(lái)，正是在直觀過(guò)程中，認(rèn)識(shí)者才從被認(rèn)識(shí)對(duì)象獲得了最初的質(zhì)料（或說(shuō)內(nèi)容），并在同一直觀過(guò)程中給這些質(zhì)料賦予最基本的形式（時(shí)空直觀形式）?！爸庇^”，如康德學(xué)者蓋耶（P.Guyer）所總結(jié)的那樣，在康德那里是“……那種通過(guò)感官的方式從特定對(duì)象那里獲得單獨(dú)而直接（particular and immediate）的表征的能力”（[11]，第36 頁(yè)）。直觀所得又經(jīng)思考的處理被賦予更多的形式（如形成命題并被加入知性范疇）。在康德看來(lái)，直觀所帶來(lái)的質(zhì)料和概念所代表的形式是知識(shí)（或者更特定地說(shuō)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)的“先天綜合知識(shí)”）不可或缺的兩種組分（[11]，第155 頁(yè)，B34）。這一直觀提供基本材料而又經(jīng)思考加工的認(rèn)識(shí)論描述模式時(shí)至今日依然在大多數(shù)情況下主導(dǎo)著哲學(xué)文獻(xiàn)對(duì)“直觀”這一術(shù)語(yǔ)的理解和使用。

當(dāng)代哲學(xué)問(wèn)題（特別是偏重分析哲學(xué)風(fēng)格的部分）的探討通常需要以基礎(chǔ)主義的結(jié)構(gòu)展開，一些（例如道德的、認(rèn)識(shí)論的、數(shù)學(xué)的）哲學(xué)命題需要被當(dāng)作探討的起點(diǎn)而被設(shè)定。而且提出這些基礎(chǔ)設(shè)定命題的哲學(xué)家通常都會(huì)將它們“符合直觀”這一特性作為其正當(dāng)性依據(jù)的重要組成部分，至少在這些命題沒(méi)有遭遇到有效的合理質(zhì)疑時(shí)如此（prima facie）。（[10]）

而在訴諸“符合直觀”的特性來(lái)為基礎(chǔ)設(shè)定命題辯護(hù)時(shí)通常意味著該命題被接受的根據(jù)要盡可能摒除個(gè)體所特有的生活經(jīng)驗(yàn)、從業(yè)特性、文化背景、性格等外來(lái)因素的干擾，盡可能純粹地回歸到命題本身的自明性上，才可能成就相對(duì)普遍和站得住腳的依據(jù)。換言之，我們可以認(rèn)為許多哲學(xué)作品都要求“直觀”更貼近命題認(rèn)識(shí)主體所直接“被給予的”材料，而盡可能擯除思考、經(jīng)驗(yàn)積累這樣一些（可能會(huì)因人而異的）加工過(guò)程。正是在對(duì)“直觀”一詞這樣的理解傾向下，“直觀”在當(dāng)代哲學(xué)中定義雖多，卻也涇渭分明地回避了被稱為“專家直觀”（expert intuition）的建立在特定專業(yè)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)積累之上的直觀現(xiàn)象。我們將看到，先入為主地排除專業(yè)經(jīng)驗(yàn)在對(duì)哥德爾數(shù)學(xué)直觀解讀中的效用會(huì)妨礙對(duì)它的完整理解。

二十世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)哲學(xué)很大程度上將一般哲學(xué)中的本體論和認(rèn)識(shí)論興趣延伸和集中到了數(shù)學(xué)對(duì)象上。這其中以貝納塞拉夫問(wèn)題（Bernaceraff’s problem，以下簡(jiǎn)稱“貝氏問(wèn)題”）最具標(biāo)志性（[1]）。該疑問(wèn)由貝納塞拉夫（P.Bernaceraff）提出，直指數(shù)學(xué)實(shí)在論的一個(gè)難以應(yīng)付的弱點(diǎn)，大意上質(zhì)疑道：抽象的（不在時(shí)空之中的）數(shù)學(xué)對(duì)象如果真的存在，那么它們又如何被具體的（時(shí)空之中的）我們（通過(guò)怎樣一條時(shí)空之中的因果鏈條）來(lái)認(rèn)識(shí)呢？不難看出回應(yīng)該問(wèn)題的困難主要在于說(shuō)明抽象存在和具體存在這二元交界處如何開啟認(rèn)識(shí)的因果鏈條。因而，在該問(wèn)題的背景下，數(shù)學(xué)哲學(xué)家自然有動(dòng)機(jī)將“直觀”的理解向直接接觸論側(cè)重，以期解釋該認(rèn)識(shí)因果鏈條如何開端或（站在反實(shí)在論立場(chǎng)）質(zhì)疑這種直觀的可行性與抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的真實(shí)性。

如曼考祖（P.Mancosu，[12]，第1 頁(yè)）指出：貝氏問(wèn)題本身的確是一個(gè)清晰且重要的哲學(xué)問(wèn)題，它在數(shù)學(xué)哲學(xué)史上所帶來(lái)的不足或許恰是因?yàn)樗?jiǎn)明得太過(guò)矚目以至于在數(shù)十年里過(guò)多地占用了數(shù)學(xué)哲學(xué)家們的注意力，繼而相較之下忽視了其它有價(jià)值的議題以及無(wú)法直接回應(yīng)貝氏問(wèn)題素材（比如數(shù)學(xué)中的新成果、數(shù)學(xué)家當(dāng)下的研究實(shí)踐以及數(shù)學(xué)史）。貝氏問(wèn)題所引導(dǎo)的數(shù)學(xué)哲學(xué)整體上自然會(huì)更倚重以直接接觸論的方式來(lái)解讀“直觀”概念。（又見[14]，第175 頁(yè)5蒂森也不無(wú)遺憾地將“貝氏問(wèn)題把因果式的關(guān)于知識(shí)的解釋強(qiáng)加給關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)在論立場(chǎng)”視為一種“左傾的時(shí)代精神的人為產(chǎn)物（artifact of leftwards Zeitgeist）”。其“左傾”一詞明顯呼應(yīng)哥德爾1961 年講稿中的分類，籠統(tǒng)代指一類偏向唯名論、經(jīng)驗(yàn)論等特征的哲學(xué)傾向。）

綜上，一般（分析）哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)中近幾十年來(lái)的問(wèn)題意識(shí)和慣性都更需要一類無(wú)結(jié)構(gòu)無(wú)前提的直接的直觀解讀，而有意無(wú)意地忽視了數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等更多因素對(duì)數(shù)學(xué)直觀的塑造作用。近年來(lái)數(shù)學(xué)哲學(xué)文獻(xiàn)也時(shí)有意見意識(shí)到了之前主流趨勢(shì)的局限性，并更多地探索貝氏問(wèn)題相關(guān)主題之外的可能性。本文亦可被視為參與這種探索的一次嘗試。接下來(lái)在第3 節(jié)中，我們將，如暫時(shí)懸置貝氏問(wèn)題，解讀出哥德爾數(shù)學(xué)直觀概念超越直接接觸論解讀的更多細(xì)節(jié)。

3 哥德爾的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論概念的三個(gè)層次

參照哥德爾的“羅素篇”（[5]）“康托篇”（[6]）“吉布斯演講稿”（[8]）6“羅素篇”（常作Russell paper）指《羅素的數(shù)理邏輯》（Russell’s mathematical logic），“康托篇”（常作Cantor paper）指《什么是康托的連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題》（What is Cantor’s continuum problem?），“吉布斯演講稿”指《一些關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的基本定理以及它們的影響》（Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications）。以及王浩在《邏輯之旅》（Logical Journey，[15]）一書中所記錄的他與哥德爾訪談的片段和評(píng)述，本文認(rèn)為哥德爾關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)論思想可以被分為“材料”“感知”“直觀”（data,perception,intuition）這三個(gè)遞進(jìn)的層次，并強(qiáng)調(diào)直觀層次的認(rèn)識(shí)并不直接。就三個(gè)層次間的邊界而言，材料–感知的區(qū)別是確立無(wú)疑的；而感知–直觀之間的界限則不總是分明，感知–直觀之間的分別似乎直到在他晚年與王浩的訪談?dòng)涗浿胁懦醪娇杀鎰e。7見以下引文。在一些語(yǔ)境下哥德爾似乎將直觀視為一類更為凝練、全面的被拔高了的感知，也即直觀或許也可被解讀為感知的一個(gè)子類而非完全不同的一個(gè)認(rèn)識(shí)論范疇。

以下引文可充當(dāng)這數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論三個(gè)層次的確出現(xiàn)在哥德爾思想中的依據(jù)。

材料層次：

在感覺之外還有別的被直接給予的，這一點(diǎn)可（獨(dú)立于數(shù)學(xué)地）從以下事實(shí)中得出：我們的指向物理對(duì)象的理念中包含著這樣一種組分，它在性質(zhì)上不同于感覺或是感覺的組合，例如，關(guān)于【物理】對(duì)象本身的理念。另一方面，我們思考過(guò)程無(wú)法創(chuàng)造性質(zhì)上全新的要素，而只能將已得的東西加以重現(xiàn)和組合。顯然，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下的那種“被給予”和我們經(jīng)驗(yàn)觀念中所包含的這種抽象要素關(guān)聯(lián)緊密……

……如康德所論斷，這第二類材料（the data of this second kind）并不會(huì)因其不能和某種作用于我們感官的特定事物建立聯(lián)系就成為某種純?nèi)恢饔^的東西。毋寧說(shuō)它們同樣也能反映著客觀現(xiàn)實(shí)的一個(gè)方面，不過(guò)和感覺相對(duì)照的是，它們之于我們的呈現(xiàn)也許源于我們和現(xiàn)實(shí)之間的另一種聯(lián)系。（王浩訪談哥德爾片段，[15]，第225 頁(yè)）

感知層次：

在我看來(lái)，設(shè)定此類對(duì)象（指類和概念）和設(shè)定物理實(shí)體同等正當(dāng)，并且我們也有同等充足的理由去相信它們的存在。它們之于一個(gè)令人滿意的數(shù)學(xué)系統(tǒng)是必要的，在相同的意義下正如物理實(shí)體之于一個(gè)令人滿意的感官知覺理論也是必要的，并且在兩種情形中我們都不可能將關(guān)于這些實(shí)體的命題闡釋為關(guān)于“材料”的命題，也即在后一情形中實(shí)際出現(xiàn)在感官知覺（中的東西）。（[4]，第128 頁(yè)）

“但是，盡管它們遠(yuǎn)離感官經(jīng)驗(yàn)，我們?nèi)源_實(shí)關(guān)于集合論的對(duì)象也有著某種像是感知的東西，如好像（集合論）公理迫使我們接受它們?yōu)檎娴氖聦?shí)所見證的那樣。我看不出我們有任何理由應(yīng)該對(duì)這種感知抱更少信心?！╗4]，第268 頁(yè)）

直觀層次：

……我看不出有任何理由需要對(duì)這種知覺，以及更普遍而言，即，對(duì)數(shù)學(xué)直觀【王浩補(bǔ)記：哥德爾自己提議用“以及更普遍而言，即，對(duì)數(shù)學(xué)直觀”更正“對(duì)數(shù)學(xué)直觀”】相較感官知覺抱更少信心【王浩補(bǔ)記：“在更普遍的意義上，也包括像從客機(jī)上觀看城市景觀所得的印象”——哥德爾于1975 年11 月增補(bǔ)】……

應(yīng)當(dāng)指出，數(shù)學(xué)直觀無(wú)需被理解成一種給出關(guān)于所思慮對(duì)象的直接知識(shí)的官能。毋寧說(shuō)，就像物理的經(jīng)驗(yàn)?zāi)菢?，我們是在是另外一些被直接給出的東西的基礎(chǔ)之上塑造出關(guān)于對(duì)象的觀念……”（哥德爾原文見[4]，第268 頁(yè)；方頭括號(hào)“【】”中王浩補(bǔ)充見[15]，第226 頁(yè)）

直觀不同于構(gòu)造；它是一眼看出。（王浩訪談片段，[15]，第302 頁(yè)）

不同于本文第2 節(jié)所描繪的一般哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)主流所偏重的“數(shù)學(xué)直觀”的直接接觸論的解讀，哥德爾所談?wù)摰臄?shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)對(duì)象間的關(guān)系事實(shí)上在過(guò)程上并不直接。除去他如引文中直接明了地說(shuō)“數(shù)學(xué)直觀無(wú)需被理解成……直接知識(shí)”，以下兩點(diǎn)思考進(jìn)一步說(shuō)明了哥德爾不將數(shù)學(xué)直觀視為直接知識(shí)的理由。

首先，三個(gè)認(rèn)知層次中最直接地接觸到抽象的客觀實(shí)在的層次是最基礎(chǔ)的材料層次的（或者說(shuō)“第二類材料”）而非最高層的“直觀”。哥德爾并未能正面地描述材料層次的內(nèi)容，而只是從側(cè)面論證了這類非感覺材料的存在，比如吉布斯演講稿中對(duì)“數(shù)學(xué)不是‘我們的自由創(chuàng)造’”這一論點(diǎn)的論證本質(zhì)上可以被理解為對(duì)“第二類材料”存在性的論證（[7]，第314–315 頁(yè)）。我們甚至看不到他將材料指向任何特定的抽象對(duì)象。哥德爾關(guān)于材料層次認(rèn)知內(nèi)容的緘默是可以理解的，如王浩的評(píng)論所提示（[15]，第226 頁(yè)）8王浩將第二類材料和我們?cè)谔幚硌芯宽?xiàng)目時(shí)的無(wú)意識(shí)思考聯(lián)系在一起。，材料層次的認(rèn)知參與構(gòu)成了我們關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)的抽象命題的知識(shí)，但它本身卻太過(guò)基礎(chǔ)而難以被進(jìn)一步有意識(shí)地反思。

再者，哥德爾在談到數(shù)學(xué)直觀時(shí)首要談到的是對(duì)于命題和事態(tài)的直觀，而且只在衍生的意義上將其指向?qū)ο?。哥德爾本人的文字和王浩的證言均可印證這一術(shù)語(yǔ)使用習(xí)慣。帕森斯（C.Parsons）廣受引用的對(duì)數(shù)學(xué)直觀的兩種基本區(qū)分——“關(guān)于事態(tài)的”（intuition that）和“關(guān)于對(duì)象的”（intuition of）直觀亦是對(duì)這一區(qū)別的表達(dá)。（[13]，第139 頁(yè)）特別地，他指出哥德爾認(rèn)為“關(guān)于集合論的對(duì)象也有著某種像是感知的東西”的這一關(guān)于對(duì)象的直觀也是基于“如可在【集合論】公理迫使我們接受它們?yōu)檎娴氖聦?shí)所見證的那樣”9見本文上文的“感知層次”的哥德爾引文。如之前所說(shuō)，感知層次和直觀層次之間的區(qū)分并不顯著，數(shù)學(xué)直觀亦常在文獻(xiàn)中被理解為感知的子集。的這一關(guān)于事態(tài)的直觀（[13]，第146 頁(yè)）。類似的觀點(diǎn)也見于（[17]，第19 頁(yè)），其中里格利（W.Wrigley）認(rèn)為“哥德爾的直觀概念……應(yīng)該純?nèi)坏刈髅}意義上理解（construed purely propositionally）……對(duì)象直觀的概念（the notion of objectual intuition）雖然也出現(xiàn)在哥德爾文字中，但并不在任何清楚的方面扮演重要的哲學(xué)角色?！?/p>

小結(jié)一下，直接接觸論的數(shù)學(xué)直觀解讀是對(duì)哥德爾實(shí)際的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論觀點(diǎn)的簡(jiǎn)化和壓縮。前者一個(gè)過(guò)程所具備的功能其實(shí)原本分散在后者的三個(gè)層次中。與抽象現(xiàn)實(shí)直接作用的獲得性功能發(fā)生在材料層面；抽象對(duì)象的設(shè)定發(fā)生在感知層面；而臨場(chǎng)不經(jīng)思慮直接獲得事態(tài)的整體性洞見則是直觀層面的展現(xiàn)。直接接觸論的壓縮簡(jiǎn)化將這些功能全都裝入了一個(gè)統(tǒng)一的“直觀”的名目中。這樣的簡(jiǎn)化是否恰當(dāng)取決于我們的目的和關(guān)切的中心問(wèn)題是什么。對(duì)于回應(yīng)貝氏問(wèn)題，這樣的簡(jiǎn)化能夠突出抽象–具體二元交界如何作用這一難點(diǎn)所在，因而很大程度上是恰當(dāng)?shù)摹２贿^(guò)倘若我們的目的在于較重視地再現(xiàn)哥德爾的數(shù)學(xué)直覺觀，特別是想要理解他心目中的數(shù)學(xué)直觀為什么可以被提升發(fā)展，我們就不能滿足于該簡(jiǎn)化版本的理解。

顯然，哥德爾認(rèn)為我們的數(shù)學(xué)直觀既是可錯(cuò)的也是可以被提升的。我們現(xiàn)在所討論的數(shù)學(xué)對(duì)象，在哥德爾口中被稱為“數(shù)學(xué)概念”，它被設(shè)定為獨(dú)立于人類心靈的創(chuàng)造，等待著數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)而非發(fā)明的客觀實(shí)在。與此文字相近但實(shí)質(zhì)相對(duì)立的表述是“直觀概念”（intuitive concept），哥德爾用它指我們用數(shù)學(xué)直觀所獲得關(guān)于數(shù)學(xué)概念的主觀認(rèn)識(shí)。哥德爾提到過(guò)許多事例來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)直觀可能犯錯(cuò)并產(chǎn)生有瑕疵的直觀概念。比如，歷史上困擾素樸集合論的羅素悖論、看似違反物質(zhì)守恒的巴拿赫–塔斯基分球佯謬都被哥德爾歸結(jié)于直觀概念的偏差，而非數(shù)學(xué)概念本身的矛盾。而換一個(gè)角度來(lái)看，這些事例所帶來(lái)的挑戰(zhàn)在數(shù)學(xué)史上的成功解決也例證了數(shù)學(xué)直觀（或說(shuō)作為其產(chǎn)物的直觀概念）一時(shí)的謬誤可以被驅(qū)散，對(duì)哥德爾而言，這意味著數(shù)學(xué)直觀更清晰和準(zhǔn)確地反映了客觀的數(shù)學(xué)概念。此外，我們還可以看到他的更多有關(guān)數(shù)學(xué)直觀（以及數(shù)學(xué)概念感知的）可提升性的表述。一方面，他將數(shù)學(xué)概念感知類比于物理感知，暗示類似于天文觀測(cè)活動(dòng)中可借助望遠(yuǎn)鏡將遙遠(yuǎn)的恒星分辨得更清晰，數(shù)學(xué)概念考察活動(dòng)或許也可借助合適的某種意義上的工具將概念的性質(zhì)分辨得更明晰。另一方面，他還明確地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)直觀的應(yīng)用需要深厚的（數(shù)學(xué)實(shí)踐）經(jīng)驗(yàn)作指引。否則不加約束的濫用將有損于數(shù)學(xué)直觀作為我們探索數(shù)學(xué)概念的工具的可靠性。

將哥德爾的三個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知層次壓縮簡(jiǎn)化為一的直接接觸論解讀難以很好地兼顧上述數(shù)學(xué)直觀的可錯(cuò)性和可提升性，特別是難以解釋經(jīng)驗(yàn)為何會(huì)影響數(shù)學(xué)直觀的應(yīng)用是否合理和成功。直接接觸論解讀這一缺陷的論證如下：第一，倘若我們將簡(jiǎn)化壓縮后的數(shù)學(xué)直觀視為更接近于第一層次的認(rèn)識(shí)過(guò)程，那么直觀所得的結(jié)果即是材料。那么數(shù)學(xué)直觀就根本沒(méi)有可錯(cuò)性和可提升性可言，因?yàn)椴牧媳旧頍o(wú)所謂對(duì)錯(cuò)。就好像實(shí)驗(yàn)儀器產(chǎn)生的不加解釋的數(shù)據(jù)10“材料”和“數(shù)據(jù)”英文皆是data，后者亦可被理解為在一定格式限定下的材料。本身無(wú)所謂對(duì)錯(cuò)，科學(xué)家基于這些材料綜合理論分析（包括考慮“實(shí)驗(yàn)儀器有多可靠”“這些數(shù)據(jù)所用以描述的物理對(duì)象是什么”等問(wèn)題）所做的判斷才有對(duì)錯(cuò)可言。第二，就算我們將簡(jiǎn)化壓縮后的數(shù)學(xué)直觀理解為更接近第二層或第三層的認(rèn)識(shí)過(guò)程，因而可被認(rèn)為設(shè)定了直觀的客觀對(duì)象（或命題）以使直觀概念的真假能被談?wù)?；我們也仍然需要讓?shù)學(xué)直觀能力的先決因素足夠靈活才跟得上個(gè)體數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的飛速成長(zhǎng)。而如果像直接接觸論那樣傾向于認(rèn)為數(shù)學(xué)直觀（即便存在）也只取決于某些必須顯現(xiàn)于群體的、器質(zhì)性的、變動(dòng)相對(duì)緩慢的要素，那么這樣壓縮簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)直觀恐怕還是很難像哥德爾所期待的那樣可以并需要受到經(jīng)驗(yàn)的引導(dǎo)。

4 以非直接解讀為基礎(chǔ)的兩例數(shù)學(xué)哲學(xué)研究進(jìn)路

我們?cè)诘? 節(jié)試著與一度流行的數(shù)學(xué)直觀的直接接觸論解讀作對(duì)抗，將哥德爾的數(shù)學(xué)概念認(rèn)識(shí)論重構(gòu)出三個(gè)層次，并將數(shù)學(xué)直觀列為容許數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)要素參與的第三層次。本節(jié)我們將看到這種認(rèn)識(shí)論層次上的膨脹和復(fù)雜化并非不必要的吹毛求疵，而是的確可以至少在數(shù)學(xué)哲學(xué)上產(chǎn)生后果。為此，本節(jié)將以專家直觀和構(gòu)成實(shí)在論這兩個(gè)看起來(lái)截然不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)進(jìn)路為例解釋它們?nèi)绾闻c三層次的數(shù)學(xué)概念認(rèn)識(shí)論相容。實(shí)際上，這兩例進(jìn)路也都從各自的角度支持了數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論。

4.1 專家直觀

首先我們以查德諾夫（E.Chudnoff）的論文（[2]）為例來(lái)描述”專家直觀”（ex pert intuition）這一被當(dāng)代一般哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)主流有意或無(wú)意地忽視11如本文第2 節(jié)所提到的。的理解數(shù)學(xué)直觀的進(jìn)路是怎么樣的，以及它如何與我們所重構(gòu)的哥德爾的三層次的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論相關(guān)。查德諾夫題為《探尋直觀》的論文所探尋的“直觀”并不限定于數(shù)學(xué)直觀，而是希望將包括物理學(xué)、鳥類學(xué)等自然科學(xué)實(shí)踐中的直觀都包含進(jìn)的專家直觀的范疇加以探討。不過(guò)從他所引證的例子便可以看出，數(shù)學(xué)直觀不僅被他包含在內(nèi)，而且充當(dāng)了他的整套專家直觀系統(tǒng)的原型與核心。統(tǒng)觀查德諾夫的論文，他對(duì)專家直觀的主干由現(xiàn)象（學(xué)）12查德諾夫所說(shuō)的“現(xiàn)象學(xué)”并不專指本文4.2 小節(jié)所探討的胡塞爾現(xiàn)象學(xué)，而只是泛指“感官感知”“直觀”所向我們呈現(xiàn)出的表面的現(xiàn)象特征。本文在且僅在4.1 小節(jié)的所有“現(xiàn)象學(xué)”均屬此列，以下不再專門注明。以及結(jié)構(gòu)兩個(gè)方面構(gòu)成。

現(xiàn)象學(xué)層面即專業(yè)直觀向我們呈現(xiàn)出來(lái)的一些表現(xiàn)方式上的特征。具體而言，他首先給出了三種專家直觀的表現(xiàn)方式：歷難而得（hard won）、可提升（improved）、專家指引而得（expertly guided）。（[2]，第3 頁(yè)）所謂“歷難而得”即專家直觀所提供給我們的結(jié)果未見得必須要像主流觀點(diǎn)所認(rèn)為的那樣可以被未經(jīng)訓(xùn)練過(guò)的頭腦也一眼看出，而是也可以經(jīng)過(guò)一定推導(dǎo)和努力之后才顯得直觀。對(duì)此，查德諾夫援引了數(shù)學(xué)家克萊因（F.Klein）的文字，主張對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象直觀式通透的理解應(yīng)該是艱辛的數(shù)學(xué)研究所追尋的目標(biāo)而非僅是起點(diǎn)。13在具體例子上，查德諾夫則以不等式運(yùn)算舉例：如a 0 的推導(dǎo)雖然也不難，并且也顯得直觀上自明，但其自明性的顯現(xiàn)所要求的基礎(chǔ)就稍微更多一些?！翱商嵘币馕吨鴮＜抑庇^的能力可經(jīng)訓(xùn)練而獲得提升。對(duì)此，他援引數(shù)學(xué)家曼德博（B.Mandelbrot）關(guān)于填滿空間的皮亞諾曲線是否符合直觀與他人論辯的觀點(diǎn)，主張皮亞諾曲線初始顯得違背直觀并不能徹底否定數(shù)學(xué)直觀的可靠性，反而說(shuō)明了數(shù)學(xué)直觀需經(jīng)訓(xùn)練的提升來(lái)看懂更多數(shù)學(xué)事實(shí)?！皩＜抑敢谩眲t意味著未經(jīng)歷練的特定領(lǐng)域入門者也可以在專家的幫助指點(diǎn)下通過(guò)直觀看到相應(yīng)結(jié)果。對(duì)此，他以觀鳥者可借專家指導(dǎo)成功感知到之前被忽視的特定鳥類的特征而成功辨別其種類為例來(lái)說(shuō)明。查德諾夫認(rèn)為直觀的這三種現(xiàn)象學(xué)表現(xiàn)相互關(guān)聯(lián)，并且其實(shí)例也往往重合在一起。除了這三個(gè)被單獨(dú)列出的，更偏重“專家”這一定語(yǔ)的專家直觀的現(xiàn)象學(xué)表現(xiàn)，查德諾夫還從相關(guān)文獻(xiàn)中提取出了更多偏向“直觀”的我們所熟悉的現(xiàn)象學(xué)特征。比如，直觀結(jié)果對(duì)我們所呈現(xiàn)出的“被給予的”（given）特征，以及（援引自哥德爾的）直觀結(jié)果“迫使我們接受它為真”（forceful or pushy）。正是在“現(xiàn)象學(xué)”的層面上，查德諾夫主張直觀與（感官）知覺（perception）的相似性；與這相似的兩者相對(duì)立，推理（reasoning）這一認(rèn)知方式所呈現(xiàn)的“現(xiàn)象學(xué)”（phenomenological）特征則是被推出的命題附帶著一條支撐它的命題串。換句話說(shuō)，他將數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論的原點(diǎn)放在現(xiàn)象層面上。

現(xiàn)象學(xué)之下，查德諾夫還試圖為專家直觀的內(nèi)在結(jié)構(gòu)提供一定框架性說(shuō)明，特別是在此框架上為其中可提升的直觀提供說(shuō)明。查德諾夫延續(xù)了上世紀(jì)70 年代以來(lái)（哲學(xué)中小眾卻一直存在著的）專家直觀研究進(jìn)路的傳統(tǒng)，將專家直觀解釋為一種在復(fù)雜的問(wèn)題求解（problem solving）情景下（在問(wèn)題空間中）一眼看出可行解的能力。舉例而言，我們可以將其理解為在漢諾塔謎題（的可做操作）中快速“看出”求解路徑、圍棋對(duì)弈（的可落子方式）中快速看出致勝策略的能力。對(duì)于這樣一些問(wèn)題求解情形，查德諾夫匯總了三種理解專家直觀作用的方式。第一種方式將專家直觀的作用理解為狹義地14即不像第三種方式那樣徹底地重構(gòu)問(wèn)題空間，而只是在固定空間的前提下優(yōu)化策略。改善搜尋解的策略。第二種方式將專家直觀的作用理解成為所面對(duì)的問(wèn)題配置一個(gè)方便索引的知識(shí)庫(kù)，從而在面對(duì)待解問(wèn)題時(shí)能夠能夠更快速地比對(duì)已知的相似情景實(shí)現(xiàn)求解。第三種方式則將專家直觀的作用理解為重構(gòu)整個(gè)待搜尋的解空間。

正是按照這第三種方式的理解，查德諾夫說(shuō)明了（剛剛提及的）專家直觀在曼德博主張的提升后的直觀可以接納（填滿平面的）皮亞諾曲線這一個(gè)例中的運(yùn)作方式。在經(jīng)受專業(yè)訓(xùn)練洗禮前的心靈所依靠的直觀傾向于在視覺想象中追蹤一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)確定一條曲線，這種被局限住的探尋曲線（的問(wèn)題空間）的方式無(wú)疑將能夠填滿平面的曲線解排除在外；而經(jīng)受過(guò)訓(xùn)練的心靈則會(huì)將探尋空間擴(kuò)大到對(duì)能夠視覺想象的一系列曲線求極限的結(jié)果，從而將皮亞諾曲線納入求解范圍，并在看到它（的描述）時(shí)直觀地一眼確定它就是一則可行解。

綜上，本文認(rèn)為查德諾夫所述的包括專家直觀在內(nèi)的直觀在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的限制很有希望成功地貼合作為（第3 節(jié)所述的）哥德爾的第三數(shù)學(xué)認(rèn)知層次的數(shù)學(xué)直觀。這一進(jìn)路的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)15至少對(duì)發(fā)展哥德爾思想而言。在于它為數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)明確地安排了一個(gè)位置，解釋了經(jīng)驗(yàn)如何通過(guò)專家直觀的形式使得數(shù)學(xué)直觀得到提升，這與哥德爾所支持的數(shù)學(xué)直觀的可提升性相符。同時(shí)，一個(gè)相對(duì)次要的優(yōu)點(diǎn)是這一進(jìn)路支持并豐富了數(shù)學(xué)直觀和感官認(rèn)知在“現(xiàn)象學(xué)”方面的相似性（特別是對(duì)專家直觀的說(shuō)明事實(shí)上既適用于數(shù)學(xué)也適用于自然科學(xué)領(lǐng)域），從一個(gè)側(cè)面鞏固了哥德爾主張的數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論。要說(shuō)到潛在的不足之處，其一或許在于專家直觀被解釋為一種幫助快速問(wèn)題求解的能力與哥德爾的關(guān)于數(shù)學(xué)命題（并在衍生意義下關(guān)乎數(shù)學(xué)對(duì)象）的數(shù)學(xué)直觀仍有一定空隙，因?yàn)楹笳卟](méi)有明顯地預(yù)設(shè)任何有待解決的問(wèn)題。

不過(guò)，我們?nèi)杂邢Ｍ钛a(bǔ)這一不足，可以想見，一個(gè)數(shù)學(xué)家群體若能憑借專家直觀迅速地解決一個(gè)個(gè)證明的問(wèn)題，則他們對(duì)于什么樣的公理能夠避免（已知的）矛盾、具備符合直觀的等價(jià)表述、推導(dǎo)出重要的數(shù)學(xué)定理等事項(xiàng)都能輕易地做出判斷。換句話說(shuō)，發(fā)達(dá)的專家直觀或許將同時(shí)有助于數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到某條公理的有效的內(nèi)在辯護(hù)和外在辯護(hù)，繼而在直觀上接受這則公理，拓寬對(duì)該公理所描述的數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀認(rèn)識(shí)。由此與哥德爾所說(shuō)的關(guān)乎命題和數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)直觀更緊密地關(guān)聯(lián)在一起?？紤]數(shù)學(xué)公理辯護(hù)已是題外話，我們點(diǎn)到即止。

4.2 蒂森以現(xiàn)象學(xué)論述為基礎(chǔ)發(fā)展哥德爾實(shí)在論所得的構(gòu)成實(shí)在論

哥德爾對(duì)胡塞爾（E.Husserl）現(xiàn)象學(xué)16本文4.2 小節(jié)中出現(xiàn)的“現(xiàn)象學(xué)”一詞與4.1 小節(jié)中同一詞語(yǔ)意味不同，見4.1 小節(jié)開頭的注釋12。的濃厚興趣是一個(gè)確定且一段時(shí)間以來(lái)廣受討論的事實(shí)（比如[19]，第34 頁(yè)）。據(jù)王浩回憶，哥德爾至少?gòu)?959 年開始曾傾注可觀的精力閱讀現(xiàn)象學(xué)著作，并曾推薦他閱讀胡塞爾的《觀念》（Ideas）和《笛卡爾式沉思》（Cartesian Meditations）等著作（[15]，第164 頁(yè)）?，F(xiàn)象學(xué)研究的痕跡集中地體現(xiàn)在哥德爾的1961 年講稿《從哲學(xué)角度看數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)代發(fā)展》（The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy）中（如[9]，第371 頁(yè)）。遺憾的是，哥德爾的在現(xiàn)象學(xué)上的特殊興趣和所投入精力落于文字的體現(xiàn)也僅限于他這篇生前未曾發(fā)表或宣講的講稿，未得進(jìn)一步展開。蒂森（R.Tieszen）近年在《追隨哥德爾》一書中以填補(bǔ)這個(gè)遺憾為任，“基于他（哥德爾）自己的哲學(xué)觀點(diǎn)，以及特別是他如何運(yùn)用胡塞爾的先驗(yàn)現(xiàn)象學(xué)，來(lái)給出一套支持關(guān)于邏輯和數(shù)學(xué)的實(shí)在論和萊布尼茲式理性主義的一般框架”，從而達(dá)到了一種他稱之為“構(gòu)成實(shí)在論”（constituted platonism）的主張。（[14]，第v、139頁(yè)）他宣稱這是一種既在最大限度上忠于哥德爾，又能站得住腳（特別是經(jīng)受貝氏問(wèn)題詰問(wèn)）的實(shí)在論立場(chǎng)。

在本文的視野下，蒂森的構(gòu)成實(shí)在論可以說(shuō)是貫徹哥德爾的分層級(jí)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論的絕佳數(shù)學(xué)哲學(xué)實(shí)例。他的構(gòu)成實(shí)在論不僅明確地將數(shù)學(xué)直觀確認(rèn)為一種非直接的高層級(jí)的認(rèn)知行為，而且切實(shí)地在（胡塞爾）現(xiàn)象學(xué)的意義上支持了數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論。在此，我將不得不僅在最低限度上描述我所關(guān)注和理解的構(gòu)成實(shí)在論的主要論點(diǎn)，因?yàn)橥暾鴾?zhǔn)確地展開其構(gòu)成實(shí)在論（如他著作所示）需要大量鋪墊解釋現(xiàn)象學(xué)那自成一套且望而生畏的術(shù)語(yǔ)體系并結(jié)合例子在這套體系內(nèi)重構(gòu)出哥德爾的思想，以至于至少需額外花費(fèi)數(shù)篇文章的篇幅。因此還是建議感興趣的讀者自行參閱相關(guān)原著。

相較于經(jīng)典的數(shù)學(xué)實(shí)在論–反實(shí)在論語(yǔ)境下爭(zhēng)論數(shù)學(xué)對(duì)象是否（像物理對(duì)象那樣）獨(dú)立于人的心靈而存在從而靜待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)，是否不隨主觀意愿而可被任意塑造，是否不隨人類心靈的生滅而生滅，蒂森的構(gòu)造實(shí)在論反轉(zhuǎn)了從對(duì)象到現(xiàn)象的優(yōu)先順序，以向心靈17在此忽略現(xiàn)象學(xué)術(shù)語(yǔ)中一些關(guān)于“單子”“先驗(yàn)主體”等更精細(xì)的代指主體的術(shù)語(yǔ)而籠統(tǒng)地以“心靈“作主語(yǔ)。呈現(xiàn)的現(xiàn)象和它的思想行為為本位，把包括物理對(duì)象和數(shù)學(xué)對(duì)象在內(nèi)的所有對(duì)象都視為因這些現(xiàn)象和行為（本身的指向性或說(shuō)意向性）（intentionality）而被（有意識(shí)或無(wú)意識(shí)地）設(shè)定的產(chǎn)物。（比如見[14]，第97–98 頁(yè)）

在構(gòu)成實(shí)在論的立場(chǎng)下，盡管數(shù)學(xué)對(duì)象無(wú)法像經(jīng)典的實(shí)在論所主張的那樣被斷定徹底脫離心靈而存在（蒂森稱之為不能斷定“心靈獨(dú)立性1”）。但相應(yīng)地，該立場(chǎng)亦認(rèn)為包括物理對(duì)象在內(nèi)的其它所有對(duì)象也都被認(rèn)為無(wú)法被斷定可以徹底脫離心靈而存在，從而令數(shù)學(xué)對(duì)象和物理對(duì)象仍像經(jīng)典實(shí)在論中那樣具備同等程度的實(shí)在性。此外，雖然從根本上放棄了論證數(shù)學(xué)對(duì)象具備“心靈獨(dú)立性1”的可能性，蒂森認(rèn)為我們?nèi)阅転樗耸刈　靶撵`獨(dú)立性2”，該性質(zhì)大體上意味著圍繞這些“獨(dú)立的2”對(duì)象的現(xiàn)象或說(shuō)思想行為不能被任意地操縱而只能在很大程度上如其所是地被心靈所接受。（比如見[14]，第103、155–156 頁(yè)）

那么數(shù)學(xué)直觀在構(gòu)成實(shí)在論的理論中又扮演什么角色呢？蒂森沿用胡塞爾的定義將直觀理解為“意向（或說(shuō)意圖）的滿足”（fulfillment of intention）。（[14]，第100、157 頁(yè)）我們剛剛提到構(gòu)成實(shí)在論認(rèn)為包括數(shù)學(xué)對(duì)象在內(nèi)的所有對(duì)象都是現(xiàn)象和思想行為內(nèi)在的“意向性”的設(shè)定。用胡塞爾經(jīng)典的“曲繩”例子來(lái)解釋，當(dāng)我們看到一段彎曲的繩狀物體時(shí)，我們便接收到了該現(xiàn)象，并開始了解釋它的思想行為。我們或許會(huì)產(chǎn)生“這是一條蛇”的想法。該想法具有意向性，因而它能（設(shè)定并）指向某個(gè)對(duì)象。在此例，它特別地指向了“蛇”這一對(duì)象，也即它具備的是“指向蛇”這一意向。如果我們走近一步，從而更仔細(xì)地觀看該繩狀物體，我們所接收的更多現(xiàn)象或許會(huì)揭示它的確如我們之前所料是一條蛇，或許揭示它只是一段像蛇的麻繩。在前一種可能中，初始的“這是一條蛇”的意向便被做實(shí)或說(shuō)“滿足”了，而在后一種可能中，它便“落空”了，并很快被我們拋諸腦后。有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀亦然，并且來(lái)自直觀的支撐對(duì)于圍繞某對(duì)象展開的科學(xué)研究意義重大。（[14]，第100 頁(yè)）蒂森以ZFC 集合論公理系統(tǒng)為例說(shuō)明，倘若沒(méi)有“層壘的集合觀念”（the conception of iterative set）為該公理系統(tǒng)做直觀上的支撐，那么該公理系統(tǒng)或許就只能淪為空洞的符號(hào)串演算并很快淡出數(shù)學(xué)研究實(shí)踐的視野。（[14]，第164 頁(yè)）而且，蒂森延續(xù)了我們所強(qiáng)調(diào)的哥德爾分層級(jí)的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論觀點(diǎn)，把直觀視為一種非直接的、高于材料層次的思想行為，即是說(shuō)直觀是“被奠基的”（founded）。（[14]，第170 頁(yè)）正如剛剛提到的“曲繩”一例那樣，最終或驗(yàn)證或否決“這是一條蛇”的意向的直觀實(shí)際上不同于混沌無(wú)定型的原始（感官）現(xiàn)象材料的輸入，而是奠基于這些（“低層認(rèn)知活動(dòng)”）之上的高層思想行為。蒂森主張數(shù)學(xué)直觀也應(yīng)被理解為一種奠基在更低層認(rèn)知活動(dòng)之上的思想行為（無(wú)論它所依賴的材料究竟是什么）。

最后，考慮到數(shù)學(xué)–科學(xué)平行論，經(jīng)過(guò)以上介紹我們不難看出有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象和物理對(duì)象在對(duì)象設(shè)定本身（其存在依據(jù)）、心靈獨(dú)立性2、直觀的作用方式上都是鏡像般相似的。毫不意外的是，該平行論在蒂森著作中可以繼續(xù)延伸到本文所沒(méi)觸及的對(duì)科學(xué)和數(shù)學(xué)的現(xiàn)象學(xué)分析的方方面面。（[14]，第170–171 頁(yè)）可以說(shuō)，蒂森的現(xiàn)象學(xué)導(dǎo)向的構(gòu)成實(shí)在論，以懸置整個(gè)舊有本體論框架的方式，懸置了（原版）貝氏問(wèn)題中物理對(duì)象憑借實(shí)體和認(rèn)知者間的相對(duì)明晰的因果關(guān)聯(lián)所建立的相對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的優(yōu)勢(shì)，讓物理對(duì)象和數(shù)學(xué)對(duì)象回到了被現(xiàn)象和思想行為意向性同時(shí)設(shè)定的同一起跑線。既然數(shù)學(xué)對(duì)象和物理對(duì)象都是被心靈（不完全自覺地）非任意地設(shè)定的對(duì)象，那么它們和心靈之間似乎也就不存在什么不可逾越的障礙了。

5 結(jié)語(yǔ)

在本文中我們分三階段來(lái)抗衡本文稱之為“直接接觸論”的對(duì)于數(shù)學(xué)直觀的流行解讀，重新強(qiáng)調(diào)了哥德爾認(rèn)為數(shù)學(xué)直觀并非必須被理解為一種“直接”知識(shí)的重要觀點(diǎn)。第一階段，我們簡(jiǎn)要回顧了“直接接觸論”之所以占據(jù)主流的一些背景。第二階段，我們參考哥德爾原文說(shuō)明他的數(shù)學(xué)對(duì)象認(rèn)識(shí)論概念事實(shí)上可以被分為“材料”“感知”“直觀”三個(gè)層次，其中“直觀”是最高最不直接的一個(gè)層次。第三階段，我們以專家直觀、構(gòu)成實(shí)在論這兩個(gè)近年來(lái)的數(shù)學(xué)哲學(xué)研究主題為例展示了堅(jiān)持哥德爾的非直接的數(shù)學(xué)直觀理解在哲學(xué)上豐富的發(fā)展空間，從而證實(shí)堅(jiān)持這一區(qū)分事實(shí)上是有意義的。

最后還應(yīng)補(bǔ)充的是，本文意在抗衡“直接接觸論”而非直接否定這種解讀，或者更主要的是否定這種解讀背后的關(guān)于想要探求我們?nèi)绾潍@得數(shù)學(xué)知識(shí)的哲學(xué)和科學(xué)問(wèn)題的合理性和可行性。就像哥德爾也曾對(duì)“我們?nèi)绾谓邮栈虍a(chǎn)生支撐數(shù)學(xué)的基本材料”感到好奇，并猜測(cè)我們或許有專門的官能承擔(dān)這一功能并且和處理語(yǔ)言的官能緊密聯(lián)系在一起。本文所傾向的態(tài)度或許更接近于王浩抗衡歸約主義（reductionist）的想法：盡管我們對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（甚至物理對(duì)象也是）的認(rèn)識(shí)過(guò)程的底層機(jī)制的知識(shí)還遠(yuǎn)不足以將這些過(guò)程歸約為一些物理–化學(xué)過(guò)程，從而對(duì)該認(rèn)識(shí)過(guò)程的真實(shí)性、可靠性給出公允的評(píng)判（[16]，第3–4 頁(yè)），可是我們也應(yīng)當(dāng)看到，至少在不那么基礎(chǔ)的層次，在我們能意識(shí)得到的現(xiàn)象范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)和自然科學(xué)有著包括客觀性在內(nèi)的頗多無(wú)法否認(rèn)的相似性。而在數(shù)學(xué)實(shí)踐已展現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)象層面傾注更多精力，用理解關(guān)于某客觀對(duì)象的自然科學(xué)的方式來(lái)理解數(shù)學(xué)，或有望能在一般的數(shù)學(xué)哲學(xué)或更特定的公理辯護(hù)問(wèn)題上產(chǎn)生出不少洞見。哪怕有朝一日，認(rèn)知科學(xué)的進(jìn)展真能（像反實(shí)在論者所期望的那樣）完全令人信服地否定包括數(shù)學(xué)直觀在內(nèi)的所有抽象直觀的真實(shí)性，我想這些數(shù)學(xué)–科學(xué)之間現(xiàn)象層面的類比研究所觀察出的模式以及總結(jié)出的方法論也不至于轟然倒塌，正如牛頓力學(xué)所描述的現(xiàn)象的規(guī)律并未被相對(duì)論徹底摧毀，而是更多被更精確地再解釋。18此外，即便反實(shí)在論如數(shù)學(xué)虛構(gòu)主義（fictionalism of mathematics），也無(wú)法否認(rèn)數(shù)學(xué)對(duì)象“有用”以及“可被設(shè)定為科學(xué)對(duì)象加以研究”的現(xiàn)象層面事實(shí)。比如見（[20]，第2 頁(yè)）。也正如王浩所言，“上層建筑”（super structure）自有相對(duì)于多種可能的下層基礎(chǔ)的穩(wěn)定性。