莫筱暉

【摘? ?要】數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種簡(jiǎn)潔而精確的抽象語(yǔ)言。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行概括和抽象的過(guò)程。利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，有助于學(xué)生通過(guò)文字、圖形、符號(hào)等方式精確表征、合理應(yīng)用、融會(huì)貫通。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)語(yǔ)言;數(shù)學(xué)模型

弗賴登塔爾說(shuō)過(guò)：“當(dāng)思想能被直觀地描述時(shí)，馬虎的語(yǔ)言是能被接受的。但是，一件事越抽象，離直觀越遠(yuǎn)，就越需要用仔細(xì)的語(yǔ)言來(lái)描述。”數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種簡(jiǎn)潔而精確的抽象語(yǔ)言，它為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式，讓人們能夠清晰而有效地研究世界中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中的作用尤為突出。筆者以人教版四年級(jí)下冊(cè)《乘法分配律》新授課為例，談?wù)動(dòng)脭?shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建乘法分配律模型的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征現(xiàn)實(shí)世界，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并利用模型貫通知識(shí)等，從而加深對(duì)乘法分配律的理解與應(yīng)用。

【課例回顧】

一、以形助數(shù)，探究問(wèn)題——使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是學(xué)生在課堂上最直接的思維表達(dá)方式，也是提升學(xué)生問(wèn)題解決能力及抽象能力的有效方法。因此在課堂上，教師應(yīng)適時(shí)激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與解決問(wèn)題。

1.數(shù)形結(jié)合，提取信息

師：前段時(shí)間很多同學(xué)參加了學(xué)校組織的“詩(shī)畫校園”書畫比賽，這是四、五年級(jí)現(xiàn)場(chǎng)書法比賽的座位分布圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？（教師課件呈現(xiàn)座位分布圖，如圖1）

生：我發(fā)現(xiàn)有很多人參加現(xiàn)場(chǎng)書法比賽。

生：我發(fā)現(xiàn)五年級(jí)參加的人數(shù)比四年級(jí)多。

生：我發(fā)現(xiàn)每一列的人數(shù)是一樣的。

生：我發(fā)現(xiàn)每一列坐了12人。

生：我知道四年級(jí)的人數(shù)，也知道五年級(jí)的人數(shù)，總?cè)藬?shù)也可以知道。

……

師：同學(xué)們?cè)谶@張座位表上發(fā)現(xiàn)了很多信息，那么你能不能用數(shù)學(xué)的表達(dá)方式表述這些信息，并且提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

生：每一列坐12名學(xué)生，四年級(jí)坐了5列，五年級(jí)坐了6列。參加比賽的四、五年級(jí)學(xué)生一共有多少人？

師：我們?cè)趫D中發(fā)現(xiàn)了不少信息，也能根據(jù)需要提取有用的信息，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。（教師課件呈現(xiàn)圖2）

（設(shè)計(jì)意圖：座位分布圖是常見的圖式，學(xué)生相對(duì)來(lái)說(shuō)比較熟悉。讓學(xué)生根據(jù)圖片找信息，其實(shí)就是培養(yǎng)學(xué)生提取信息的能力。而在信息提取中，學(xué)生通過(guò)優(yōu)化，用“每列12人”“有多少列”這樣的語(yǔ)言更為規(guī)范地表達(dá)并且提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程其實(shí)就是學(xué)生將日常語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程。雖然仍是文字表述，但去除多余信息，提取有用信息后，就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的最初形態(tài)。）

2.探究問(wèn)題，精煉語(yǔ)言

師：那么四、五年級(jí)究竟有多少名同學(xué)參加了現(xiàn)場(chǎng)書法比賽呢？請(qǐng)你用自己的方法來(lái)解決。

學(xué)生出示兩種解題方法：①（5+6）×12 ;② 5×12+6×12。

師：雖然用這兩種方法都求出了四、五年級(jí)學(xué)生參加現(xiàn)場(chǎng)書法比賽的人數(shù)，但是它們的思考方法一樣嗎？

生：第①種方法是先求出一共有多少列，然后乘以每列12人，就求出了總?cè)藬?shù)。第②種方法是先求出四年級(jí)有多少人，再求出五年級(jí)有多少人，最后求總?cè)藬?shù)。

師：是的，這位同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了兩種方法的不同之處。那么誰(shuí)能說(shuō)得更清楚，更明白些呢？

生：第①種方法是先求出一共有幾列，然后用列數(shù)乘一列的人數(shù)，再求出總?cè)藬?shù)。第②種方法是先分別求出四年級(jí)和五年級(jí)的學(xué)生數(shù)，再求總?cè)藬?shù)。

生：我可以用兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式來(lái)表示兩種不同的方法。①（四年級(jí)5列+五年級(jí)6列）×一列12人=總?cè)藬?shù);②四年級(jí)5列×一列12人+五年級(jí)6列×一列12人=總?cè)藬?shù)。

師：那么這兩種方法有什么相同的地方嗎？

生：它們都是求四、五年級(jí)學(xué)生參加現(xiàn)場(chǎng)書法比賽的總?cè)藬?shù)。

生：我們也可以這樣想，5個(gè)12+6個(gè)12，那其實(shí)就是11個(gè)12，所以這兩個(gè)算式肯定是相等的，（5+6）×12=5×12+6×12。

（設(shè)計(jì)意圖：在分析兩種方法的過(guò)程中，學(xué)生既能從具體的情境中區(qū)分不同的思考方法，也能從乘法的意義中找到兩種方法的共同點(diǎn)，這樣就能讓學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中逐漸構(gòu)建乘法分配律的模型。同時(shí)，從文字語(yǔ)言的理解到數(shù)量關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，也說(shuō)明學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征研究對(duì)象上有所進(jìn)步。）

二、舉例驗(yàn)證，構(gòu)建模型——切換數(shù)學(xué)語(yǔ)言

在構(gòu)建模型的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)提出猜想，并通過(guò)舉例、證明等方法來(lái)驗(yàn)證自己的猜想。在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，提高了判斷的準(zhǔn)確性。

1.猜想驗(yàn)證，模型初顯

師：像這樣（5+6）×12=5×12+6×12的式子，你覺得還有嗎？

（學(xué)生猜想另外的等式并且舉例）

師：這幾組式子中的每一組都相等嗎？你能用自己的方式進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

生：我對(duì)左右兩邊的式子都進(jìn)行了計(jì)算，發(fā)現(xiàn)答案是一樣的，所以左右兩邊是相等的。

生：我用（5+6）×12=5×12+6×12舉例，左邊是11個(gè)12，右邊是5個(gè)12加6個(gè)12正好就是11個(gè)12，所以是相等的。

師：是的，有的同學(xué)通過(guò)計(jì)算、比較后發(fā)現(xiàn)左右兩邊的式子相等，也有的同學(xué)通過(guò)乘法的意義，發(fā)現(xiàn)了這一結(jié)果。

（設(shè)計(jì)意圖：在這一環(huán)節(jié)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，找到具有相同類型的式子，并在猜想后進(jìn)行驗(yàn)證，由個(gè)例逐步推向共性。在這樣的操作過(guò)程中，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)。不斷舉例的過(guò)程也正是一步步構(gòu)建乘法分配律的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。）

2.歸納小結(jié)，模型構(gòu)建

師：觀察同學(xué)們提到的這幾組算式，大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)更多的聯(lián)系呢？

生：我發(fā)現(xiàn)這些式子的左邊都是用兩個(gè)數(shù)的和去乘一個(gè)數(shù)，式子的右邊正好是用這兩個(gè)數(shù)分別去乘同一個(gè)數(shù)，再相加。

師：是的，這就是我們今天要研究的乘法分配律。你能用自己喜歡的方式來(lái)說(shuō)明究竟什么是乘法分配律嗎？

（學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探討，之后交流匯報(bào)）

生：乘法分配律就是指一個(gè)數(shù)乘兩個(gè)加數(shù)的和，可以把這個(gè)數(shù)與兩個(gè)加數(shù)相乘再相加。

生：我們把算式中的數(shù)字用圖形來(lái)替代，可以這樣表示：☆×（□+○）=☆×□+☆×○。

生：因?yàn)榍懊鎸W(xué)習(xí)過(guò)的運(yùn)算定律都可以用字母表示，所以我們覺得乘法分配律也可以用字母來(lái)簡(jiǎn)潔地表示：a×（b+c）=a×b+a×c。

（設(shè)計(jì)意圖：在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)運(yùn)算規(guī)律有一定的想法，并能用文字進(jìn)行解釋，說(shuō)明他們對(duì)乘法分配律的算理已有一定的了解。而以小組為單位對(duì)規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，其實(shí)就是讓學(xué)生將頭腦中的想法通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，無(wú)論是文字表達(dá)，還是圖形或者符號(hào)表達(dá)，都是學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建乘法分配律模型的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生既感受到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔與精確，也體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的概括與抽象。）

三、融會(huì)貫通，拓展思維——應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言

構(gòu)建模型的目的是為了更好地應(yīng)用，但如果只是對(duì)照模型進(jìn)行“形”上的變化，就會(huì)流于表面。因此，在課堂中教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生全方位、多角度思考問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行知識(shí)的遷移和內(nèi)化，達(dá)到融會(huì)貫通的目的。

師：同學(xué)們，接下去我們以小組為單位，完成下面學(xué)習(xí)材料中的題目（如圖3）。

（學(xué)生小組合作解題）

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

生：我們組在解答第1題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，可以用兩種方法計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，可以是（5+3）×2，也可以是5×2+3×2，這和今天學(xué)習(xí)的乘法分配律其實(shí)是一樣的。

生：我們組在研究第2題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，要求這塊菜地的面積，可以先算原來(lái)的面積，再算新加的面積，也就是5×3+5×5。也可以先求出這塊新菜地的長(zhǎng)是3+5=8（米），再利用長(zhǎng)×寬來(lái)求。

生：第2題的算法也就是5×3+5×5=（3+5）×5，這和乘法分配律也是一樣的。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)，第1題和第2題雖然是在求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積，但大家都和今天學(xué)習(xí)的乘法分配律進(jìn)行了聯(lián)系。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)材料中的前兩題求解和分析，學(xué)生能夠感知到原先用來(lái)解決長(zhǎng)方形周長(zhǎng)和面積的方法也同樣可以用乘法分配律來(lái)進(jìn)行解釋。在這一過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于乘法分配律的理解進(jìn)一步加深。而當(dāng)他們對(duì)比兩種方法，尋求其中的共同點(diǎn)時(shí)，借助了乘法分配律的模型，應(yīng)用了數(shù)學(xué)語(yǔ)言，貫通了前后知識(shí)間的聯(lián)系。）

教師接著出示第3題的解法（如圖4）。

師：同學(xué)們，老師發(fā)現(xiàn)第3題大家都采用了這樣的方法，這是我們?nèi)昙?jí)就已經(jīng)學(xué)過(guò)的筆算乘法。這和我們今天學(xué)習(xí)的知識(shí)又有什么聯(lián)系呢？

生：我們覺得這個(gè)豎式計(jì)算就是乘法分配律。

生：我們可以把豎式分開來(lái)看。先用12中個(gè)位的2去乘15，得到30，然后用十位中的1去乘15，得到15，加起來(lái)就是180，就是乘法分配律。

師：誰(shuí)聽明白這組同學(xué)的分析了？

生：他們的意思就是15×12=15×（2+10），這就體現(xiàn)了我們剛才學(xué)的乘法分配律。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，出示圖5）

師：原來(lái)筆算乘法中也滲透了我們今天學(xué)習(xí)的乘法分配律的相關(guān)知識(shí)哦。

（設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能脫離實(shí)際，乘法分配律的學(xué)習(xí)從解決實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行抽象，最后回到解決實(shí)際問(wèn)題中去。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生既要學(xué)著將日常語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也要將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為日常語(yǔ)言。）

【課后反思】

一、在日常語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換中精準(zhǔn)表征

在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，無(wú)論是數(shù)的運(yùn)算還是數(shù)量關(guān)系，都具有結(jié)果的唯一性，這種唯一性要求教師在教學(xué)中對(duì)學(xué)生的語(yǔ)言進(jìn)行規(guī)范，從模糊的日常語(yǔ)言進(jìn)化到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。因此，教師應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生潛在的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，讓他們將生活中的數(shù)學(xué)信息提取出來(lái)，逐步用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。課堂上，教師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的“詩(shī)畫校園”情境，讓學(xué)生將生活中的數(shù)學(xué)信息提取出來(lái)，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。而這種表達(dá)，也為后續(xù)乘法分配律模型的建立奠定了基礎(chǔ)。

二、在不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換中逐步建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的建立，不是靠一個(gè)算式或一個(gè)具體例子，而是需要經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)模型建立的過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)或者自身的經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用文字、圖形、符號(hào)等多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行猜想并驗(yàn)證。

在乘法分配律模型建立的過(guò)程中，學(xué)生從生活問(wèn)題入手，通過(guò)文字語(yǔ)言初步感知乘法分配律模型的“形”;利用圖形、符號(hào)等數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行抽象概括，進(jìn)一步感知乘法分配律模型的“質(zhì)”。在這一過(guò)程中學(xué)生不斷轉(zhuǎn)換各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，提升了自主探究和實(shí)踐的能力。

三、在數(shù)學(xué)語(yǔ)言模型的構(gòu)建中融會(huì)貫通

乘法分配律在實(shí)際計(jì)算中運(yùn)用非常廣泛，無(wú)論是直接運(yùn)用，還是逆運(yùn)用以及變式運(yùn)用，借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，都讓學(xué)生有更深的認(rèn)識(shí)。在長(zhǎng)方形周長(zhǎng)、面積計(jì)算和筆算乘法的再認(rèn)識(shí)中，學(xué)生能清楚地感知雖然在課堂中是第一次闡述這一定律，但其實(shí)在以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)無(wú)形地接觸到了相關(guān)的知識(shí)。而這種知識(shí)的遷移、貫通正是在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表述中逐漸豐滿、立體起來(lái)的。

使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，能夠讓學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成可以觸碰感知的文字、圖形和符號(hào)等，在不斷轉(zhuǎn)換中建立模型、應(yīng)用模型。然而，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的培養(yǎng)不是一兩堂課就能完成的，只有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，才能讓他們的思維真正有深度，讓數(shù)學(xué)真正發(fā)揮它應(yīng)有的價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫曉天，邢佳立.中國(guó)義務(wù)教育：基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系：孫曉天教授訪談錄[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（11）.

（浙江省杭州市江南實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)濱興學(xué)校310056）