■文/孫 磊

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)知識體系為學(xué)生提供了邏輯嚴密的思維發(fā)展空間。很多愛學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生能體會到數(shù)學(xué)的樂趣，但也有很多學(xué)生抵觸數(shù)學(xué)。究其原因，沒有良好的數(shù)感是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大障礙。對于小學(xué)生而言，數(shù)感的發(fā)展很大程度上依賴于教師深度的問題設(shè)計。本文以“數(shù)與運算”教學(xué)為例，對知識整合理論發(fā)展小學(xué)生數(shù)感的問題設(shè)計進行深度探究。

一、問題的提出

數(shù)感是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）提出的核心概念之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)具備的一項重要學(xué)科素養(yǎng)。

《課標》指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。具有良好的數(shù)感是學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實世界的重要基礎(chǔ)，而發(fā)展學(xué)生數(shù)感的策略，已成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)亟需解決的實際問題。數(shù)感主要是指對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直觀感悟，并能在真實情境中理解數(shù)的意義；能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序；能在真實情境中合理進行估算，并作出合理判斷；能初步體會、表達事物蘊含的數(shù)量規(guī)律。

數(shù)感一詞主要用于學(xué)前至小學(xué)二年級階段“數(shù)與運算”的學(xué)習(xí)中，且隨著學(xué)生建構(gòu)數(shù)的意義和運算技能水平、認識和運用數(shù)之間的關(guān)聯(lián)解決問題的水平以及建立新舊知識之間關(guān)聯(lián)水平的逐級發(fā)展而發(fā)展。數(shù)感源于觀察與思考，并不局限于感知范圍。由此可見，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備素養(yǎng)，數(shù)感是學(xué)生形成抽象能力的基礎(chǔ)，建立良好的數(shù)感有助于學(xué)生理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，能為進一步數(shù)的運算奠定良好基礎(chǔ)，也能使學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)表達的簡潔與精確，激發(fā)了學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)了學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。

在小學(xué)階段，數(shù)感是學(xué)生對數(shù)的直接感知，它是數(shù)字意識最直接的表現(xiàn)，是數(shù)學(xué)思維最基本的方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是教學(xué)的重要目標之一。從建構(gòu)主義的觀點來看，在“數(shù)與運算”這一內(nèi)容領(lǐng)域，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，理解數(shù)表示的意義，知道數(shù)的組成、排列關(guān)系、大小等應(yīng)成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感所面臨的首要問題。知識整合教學(xué)理論表明，尊重學(xué)習(xí)者的已有想法并將新舊想法進行對比，學(xué)習(xí)者能獲得更大成功。知識整合教學(xué)正是通過誘出想法、添加想法、辨分想法、反思和整理想法等環(huán)節(jié)將學(xué)習(xí)者碎片化的知識轉(zhuǎn)化為連貫性想法的過程。學(xué)生數(shù)感的有效提升，主要從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗中獲得，課堂教學(xué)中教師的問題設(shè)計則起著主導(dǎo)作用。

二、發(fā)展學(xué)生數(shù)感的問題設(shè)計教學(xué)策略

小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要依托于課堂教學(xué)實現(xiàn)，好的問題設(shè)計能有效啟發(fā)學(xué)生思考，為學(xué)生打開自我認知的大門。一節(jié)課時間有限，不加設(shè)計的瑣碎問題，首先割裂了學(xué)生的連續(xù)性思考，不利于學(xué)生系統(tǒng)思考能力的培養(yǎng)。其次，增加了學(xué)生淺度思考和無價值互動交流的可能。聚焦發(fā)展學(xué)生數(shù)感，如何精心設(shè)計問題則成為有效達成目標的必要條件，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，筆者提出以下教學(xué)策略。

1.問題設(shè)計指向原有知識的誘出，準確把脈認知起點。

按照知識整合理論從學(xué)習(xí)科學(xué)的角度來看，人們總是將新信息與已有知識相聯(lián)系來理解其含義，教師只有預(yù)先知道學(xué)生的認知起點，才能科學(xué)定位新知識的切入點。在“數(shù)與運算”的內(nèi)容教學(xué)中，問題設(shè)計首先要指向?qū)W生原有的認知起點，通過已有知識的類推來理解新知識。無論是整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)還是負數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展，這些都是人類生活實踐的總結(jié)。教師要根據(jù)數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展特點，創(chuàng)設(shè)真實情境或操作活動，設(shè)計對應(yīng)問題喚醒學(xué)生原有經(jīng)驗，使其充分交流、表達自己的想法，以建立正確的數(shù)的概念。

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級下冊第三單元“生活中的大數(shù)”第三課“比一比（萬以內(nèi)數(shù)的大小比較）”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了100以內(nèi)數(shù)的大小比較的基礎(chǔ)上，討論萬以內(nèi)數(shù)的比較方法。教學(xué)中，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：“你用什么方法來比較這些數(shù)的大??？請你給大家講一講?！睂W(xué)生對于比較數(shù)的大小有著濃厚的興趣，不斷努力尋找更大的數(shù)，以拓展知識的邊界。低年級的孩子甚至說出“億”“兆”這樣的計數(shù)單位，這些都為學(xué)生自主比較數(shù)的大小創(chuàng)造了有利的條件。

如在北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊“認識更大的數(shù)”這一單元中，計數(shù)單位是數(shù)的概念發(fā)展的主要線索，十進位值制計數(shù)法是認識大數(shù)的核心概念，數(shù)位順序表是大數(shù)讀寫的重要抓手，認識到這些我們才能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，將學(xué)生的核心素養(yǎng)融入到課時教學(xué)中。教師可以這樣進行問題設(shè)計：請你說出生活中的一些大數(shù)，告訴同伴這些數(shù)大約有多大呢（這些數(shù)是學(xué)生課前收集到的比十萬還大的數(shù)）？你能讀出全國的總?cè)丝跀?shù)嗎？你能寫出某省的人數(shù)嗎。說一說你是怎樣讀數(shù)和寫這些大數(shù)的。多位數(shù)的讀寫方法是相通的，學(xué)生可以借助數(shù)級，也可以借助數(shù)位，我們的目的是鼓勵學(xué)生主動遷移運用已有知識，并尊重學(xué)生個性化的想法。

實踐認識論強調(diào)，認識來自于實踐。認識有一個基于實踐感性到抽象理性的發(fā)展提升過程，認識的發(fā)展從感性到理性，實踐并未離去，而是由“顯性”走向了“隱性”。數(shù)學(xué)是一門比較抽象的學(xué)科，小學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)離不開原有的知識結(jié)構(gòu)以及生活經(jīng)驗。教師要改變傳統(tǒng)講授與灌輸式的教學(xué)方法，在新知識的學(xué)習(xí)前，圍繞學(xué)生原有知識的誘出來設(shè)計問題，使學(xué)生了解數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展等過程，建立起他們有意義的學(xué)習(xí)框架。

2.問題設(shè)計指向新知識的添加，定位最近發(fā)展區(qū)。

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。教師扮演著學(xué)生發(fā)展促進者和幫助者的角色，學(xué)生已有數(shù)的概念和即將認識的數(shù)如何溝通、建立聯(lián)系，這是問題指向的價值區(qū)域。問題設(shè)計應(yīng)關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，教師要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，為其提供“跳一跳才能摘到桃子”的機會，而不是直接發(fā)給他們“桃子”。

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊第七單元“生活中的負數(shù)”，屬于“數(shù)與代數(shù)”知識體系中“數(shù)與運算”的內(nèi)容范疇。負數(shù)在生活中有時會運用到，但負數(shù)的實際意義卻相對比較抽象，要準確理解負數(shù)的意義，教師可以從學(xué)生生活中常見的溫度計出發(fā)，設(shè)計問題：“零上3攝氏度表示什么含義？零下3攝氏度又表示什么含義？”溫度計模型對學(xué)生而言比較直觀，具有“數(shù)軸”之形，借助溫度計模型下的問題設(shè)計，有利于學(xué)生對負數(shù)意義的探究和理解。

在北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第三單元“倍數(shù)與因數(shù)”的教學(xué)中，3的倍數(shù)的特征是在學(xué)生已經(jīng)具有探索2、5倍數(shù)的特征經(jīng)驗基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。3的倍數(shù)尾數(shù)不具有某種規(guī)律，不像2、5倍數(shù)的特征那樣直觀，學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗無法借鑒，因此會陷入思考盲區(qū)。教師要設(shè)計基于新知添加的問題：“算一算3的倍數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？”啟發(fā)學(xué)生換個角度進行思考，幫助學(xué)生突破探索活動的障礙，逐步幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征規(guī)律。

教師要提供有利的先決條件，立足學(xué)生實際情況設(shè)計出具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，促進學(xué)生有效、深度的思考。學(xué)生數(shù)感的發(fā)展是先前知識經(jīng)驗遷移的結(jié)果，原有的知識經(jīng)驗教師要清楚，同時也要明確學(xué)生對新知的理解程度。必要時教師要做好前測，只有對學(xué)生的認知起點和終點準確定位，才能科學(xué)架構(gòu)學(xué)習(xí)目標，使問題設(shè)計更加精準。

3.問題設(shè)計指向新舊觀念的辨分，整合碎片化認知。

學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)與運算”相關(guān)內(nèi)容時，原有的知識不應(yīng)成為發(fā)展數(shù)感的絆腳石，而應(yīng)成為深度理解的階梯。數(shù)感的培養(yǎng)建立在新舊學(xué)習(xí)觀念辨分的基礎(chǔ)上，整合原有的“數(shù)與運算”各個方面的知識，將其建立聯(lián)系，有助于學(xué)生理解相關(guān)領(lǐng)域數(shù)的意義以及數(shù)量之間的關(guān)系。碎片化的知識容易讓學(xué)生產(chǎn)生錯覺，無法將數(shù)的產(chǎn)生發(fā)展放在數(shù)的體系中整體思考理解，此時的問題設(shè)計要在知識的生長點上，啟發(fā)學(xué)生在新舊知識之間進行深度思考，找到知識點之間的關(guān)聯(lián)，進而形成連貫性的認識。

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第五單元認識分數(shù)“分一分(一)”，在“分物—產(chǎn)生分數(shù)—直觀感受—創(chuàng)造分數(shù)—認識分數(shù)”這一系列學(xué)習(xí)活動中，教師要尊重學(xué)生的認知起點，還原分數(shù)形成的過程，引導(dǎo)學(xué)生深入認識分數(shù)。學(xué)生在不同形狀的圖形上分別涂出了一個圖形，展示學(xué)生的作品后，教學(xué)中設(shè)計這樣的問題：“大家每個人涂出的形狀都不一樣，為什么都可以用分數(shù)表示呢？”啟發(fā)學(xué)生進一步理解涂色部分和整個圖形之間關(guān)系的一個數(shù)，和圖形的形狀、大小無關(guān)。這樣，學(xué)生對分數(shù)表示的意義理解會更加深刻。

“百分數(shù)的認識”是北師大版小學(xué)六年級數(shù)學(xué)上冊第四單元第一課時的內(nèi)容，本課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了整數(shù)的認識、小數(shù)的認識、分數(shù)的認識以及熟練掌握通分的方法與技能后進行學(xué)習(xí)的，它是進一步學(xué)習(xí)百分數(shù)與分數(shù)、小數(shù)互化的基礎(chǔ)，對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感以及在生活中應(yīng)用百分數(shù)有著十分重要的作用。在學(xué)生學(xué)習(xí)了很多生活中的百分數(shù)后，教師可以這樣進行問題設(shè)計：大家寫出了這么多百分數(shù)，不同百分數(shù)之間有沒有相同之處呢？汲取生活中的百分數(shù)知識，通過尋找不同百分數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生去體會、表述和感悟不同百分數(shù)之間的相同處。在充分感知百分數(shù)材料的基礎(chǔ)上，提煉概括出百分數(shù)的意義，這樣對學(xué)生百分數(shù)數(shù)感的發(fā)展有很大的促進作用。

關(guān)于數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦中原有的數(shù)和新學(xué)習(xí)的數(shù)沒有形成非常清晰的對比和歸納，如此就會形成淺表性的學(xué)習(xí)狀態(tài)。數(shù)的概念相互缺乏聯(lián)系，不利于學(xué)生后續(xù)認知結(jié)構(gòu)的完善，嚴重影響著學(xué)生數(shù)感的發(fā)展。通過指向新舊知識辨分的問題設(shè)計，找到知識之間的聯(lián)系，打通概念之間的壁壘，就會消除學(xué)習(xí)中的困惑，促進學(xué)生建立關(guān)于數(shù)的體系化結(jié)構(gòu)。

4.問題設(shè)計指向認知過程的整理，完善認知結(jié)構(gòu)。

隨著認識數(shù)的領(lǐng)域不斷擴大，學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷思考整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別。綜合來看，學(xué)生課前已有的想法、課程中提供的規(guī)范的數(shù)的概念、課程學(xué)習(xí)中自動生成的想法，將會成為學(xué)生思考的重要元素。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將這三類想法進行整合，即整理想法。學(xué)生通過對比、思考和重新評估先前已有想法，打通不同階段和角度想法之間的聯(lián)系，理解自相矛盾的想法，清晰地認識數(shù)的實際意義。

例如，在北師大版四年級下冊“小數(shù)的意義和加減法”這一單元的教學(xué)中，學(xué)生利用元角分現(xiàn)實模型，通過分數(shù)理解小數(shù)的意義。學(xué)生已經(jīng)知道1元平均分成10份，每份是1元的十分之一，也就是0.1元；1分是1元的百分之一，也就是0.01元。在學(xué)生較為直觀地認識到分數(shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系后，教師可以設(shè)計這樣的問題：把“1”平均分成1000份，其中的1份是，也可以表示為（ ），其中的59份是，也可以表示為（ ）。在學(xué)生思考的同時，借助直觀圖的展示，便于學(xué)生更好地理解小數(shù)的意義。

又如，在北師大版六年級上冊“百分數(shù)”這一單元教學(xué)中，學(xué)生充分掌握了百分數(shù)的意義后，教師設(shè)計問題：“你在生活中還見過哪些百分數(shù)，表示什么意思？百分數(shù)與之前學(xué)過的哪些知識有聯(lián)系？”以此從橫向和縱向兩個角度，啟發(fā)學(xué)生思考整理有關(guān)百分數(shù)的知識，將百分數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的認識進行溝通，尋求三者之間的聯(lián)系和區(qū)別，同樣也有助于學(xué)生深入地理解百分數(shù)的意義。

反思整理活動是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的沉淀與思考，可促進學(xué)生重新審視學(xué)習(xí)過程和結(jié)果，助其查漏補缺，剔除矛盾的觀念。對于數(shù)與運算的概念方法，指向認知過程整理的問題設(shè)計，有利于形成清晰的思維脈絡(luò)，不但促進學(xué)生數(shù)感的發(fā)展，還有效幫助學(xué)生發(fā)展認知能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供了可供借鑒的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

三、結(jié)論與思考方向

小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運算”內(nèi)容的教學(xué)中，從某種程度上來講，就是站在數(shù)學(xué)金字塔的高處在倒轉(zhuǎn)人類探索發(fā)現(xiàn)“數(shù)與運算”的過程。“數(shù)與運算”是開啟學(xué)生數(shù)學(xué)世界的大門，無論是整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)，還是正負數(shù)的認識和運算，沒有恰當?shù)膯栴}設(shè)計指向，學(xué)生對數(shù)的意義認識就不會全面和深刻，對各類運算的方法就無法清晰理解。發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，實際上也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)?；谡J知科學(xué)的理念，整合學(xué)生原有的想法，引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識建立聯(lián)系，促進學(xué)生一致性理解應(yīng)成為課堂教學(xué)中重要的問題設(shè)計理念。依據(jù)這樣的問題設(shè)計理念，從知識的誘出、添加、辨分、整理四個環(huán)節(jié)設(shè)計準確而有效的數(shù)學(xué)問題，才能在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生找到“數(shù)與運算”的本質(zhì)特征，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實基礎(chǔ)。因此，教師在教學(xué)中要精心設(shè)計問題，重視數(shù)學(xué)知識抽象的現(xiàn)實情況，引導(dǎo)學(xué)生逐步感悟抽象思想，如此才能讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。