◇上海立信會(huì)計(jì)金融學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院 楊 瑜 魏賀杰

本文將經(jīng)典的SIR模型引入到經(jīng)管類微積分的一階微分方程的教學(xué)內(nèi)容中，并給出Matlab程序，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的好奇心和提高編程的能力有良好的效果。

1 引言

2020年9月11日習(xí)近平總書記在科學(xué)家座談會(huì)的講話中指出要把教育擺在更加重要位置，全面提高教育質(zhì)量，注重培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。筆者所在的學(xué)校是一所會(huì)計(jì)、金融特色鮮明的公辦全日制普通高等學(xué)校。每學(xué)年很多專業(yè)的學(xué)生要主修經(jīng)管類的微積分課程，采用的教材是吳傳生教授編寫的《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分(第三版)》。注意到教材中第十章第二節(jié)有關(guān)一階微分方程的平衡解及其穩(wěn)定性的內(nèi)容偏少而且不涉及編程方面的教學(xué)內(nèi)容。2018年4月，教育部印發(fā)了《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》將信息技術(shù)納入初、高中學(xué)業(yè)水平考試。如何將高中數(shù)學(xué)與大學(xué)的微積分課程進(jìn)行較好的銜接以及更好的培養(yǎng)學(xué)生的好奇心？這是一個(gè)非常值得去思考的問題。根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將自身的專業(yè)知識(shí)以及Matlab編程融入到教學(xué)中，這樣能更好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本文將以SIR模型為教學(xué)切入點(diǎn)，介紹一階微分方程的相關(guān)概念并給出相應(yīng)的Matlab程序。

2 教學(xué)案例設(shè)計(jì)

2020年9月8日在全國抗擊新冠肺炎疫情表彰大會(huì)上習(xí)近平總書記指出新冠肺炎疫情是百年來全球發(fā)生的最嚴(yán)重的傳染病大流行。為了讓學(xué)生理解傳染病的傳播規(guī)律以及如何科學(xué)的采取措施進(jìn)行預(yù)防和控制，本文將經(jīng)典的SIR模型融入到一階微分方程的教學(xué)中。

2.1 案例引入

傳染病動(dòng)力學(xué)中經(jīng)典的SIR模型[1]如下：

關(guān)于模型（1），我們重點(diǎn)考慮以下三個(gè)問題：(i) 它的平衡點(diǎn)有幾個(gè)？(ii) 它們的穩(wěn)定性如何；(iii) 基本再生數(shù)與哪些參數(shù)有關(guān)。

2.2 案例分析

根據(jù)實(shí)際的意義，只在第一卦限對(duì)模型（1）進(jìn)行討論。模型（1）的平衡點(diǎn)滿足

如下的代數(shù)方程組：

微分方程可用來描述物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，而穩(wěn)定性有明顯的物理意義。如果描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程的特解是不穩(wěn)定的，那么初值的微小干擾將導(dǎo)致“差之毫厘，謬以千里”[7]。由文獻(xiàn)5知，當(dāng)時(shí)，模型（1）只有無病平衡點(diǎn)且是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，無病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，而唯一的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。由基本再生數(shù)的表達(dá)式知，接觸率的減少或者感染者恢復(fù)率的增加將使其值減小。故傳染病暴發(fā)時(shí)，人們可以采取居家隔離、出門時(shí)佩戴口罩、注意個(gè)人衛(wèi)生習(xí)慣及提高公共的衛(wèi)生設(shè)施和醫(yī)療水平等措施切斷傳染病的傳播途徑，從而使傳染病更好的得到控制，緩解大眾的恐慌和焦慮情緒。

2.3 Matlab程序

選取如下參數(shù)[8]：可得，故（1）的無病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，唯一的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

地方病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的Matlab代碼如下：

2.4 知識(shí)延伸

現(xiàn)實(shí)生活中有些傳染病的發(fā)病具有明顯的季節(jié)性，如流感和登革熱；有些傳染病只針對(duì)某個(gè)年齡段的人群，如手足口病。因此，在建模過程中須考慮如周期、年齡和時(shí)滯等因素的影響。故原來的常微分方程就要變?yōu)橄鄳?yīng)的周期微分方程、年齡結(jié)構(gòu)方程和時(shí)滯微分方程等來刻畫傳染病的傳播規(guī)律。

3 結(jié)束語

本文將專業(yè)知識(shí)融入到一階微分方程的教學(xué)內(nèi)容中，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和意識(shí)，提高了應(yīng)用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的能力。作為專業(yè)教師如何將專業(yè)的前沿知識(shí)更好的融入到教學(xué)中，我們的工作任重而道遠(yuǎn)。