高海燕 楊欣達 周波 賀青 韋聯(lián)福?

1) (西南交通大學信息科學與技術學院,信息量子技術實驗室,成都 610031)

2) (重慶理工大學理學院,重慶 400054)

1 引言

電磁誘導透明[1](electromagnetically induced transparency,EIT)是原子物質(zhì)對共振光傳輸特性的一種量子相干調(diào)控.其基本原理是,由于原子介質(zhì)的共振吸收效應,掃頻探測光在原子共振頻率處會出現(xiàn)一個強的吸收峰(不能透過介質(zhì));但是,如果對原子介質(zhì)引入一個強泵浦光進行調(diào)制,就會在探測光的原吸收峰附近出現(xiàn)一個低吸收的色散透射窗口.自1991 年Boller 等[2]首次在原子中觀察到這種電磁誘導的共振光透明傳輸現(xiàn)象以來,人們對EIT 效應的物理機制、相關的慢光現(xiàn)象(介質(zhì)中光傳播的群速度降低)、選頻特性,及其在光存儲和量子信息技術等方面的潛在應用價值,開展了大量的研究[3-5].但是,基于光學介質(zhì)電磁調(diào)制產(chǎn)生的EIT,其相對較窄的透明窗口對光學介質(zhì)相干調(diào)控的精度要求很高,所以利用各種可能的物理體系來實現(xiàn)類EIT 效應,對拓展EIT 效應的應用有重要意義.實際上,經(jīng)典光學系統(tǒng),如:光波導與光學微腔、微波波導和微波諧振腔等,也存在大量的類EIT 效應,它可以簡單地理解為電磁波的一種干涉效應.比如,在兩個互相耦合的光學諧振腔中,腔中光學模式的耦合導致了復合系統(tǒng)模式重構(gòu),從而原單腔中的反射模式光場成為復合系統(tǒng)中的透射模式光場;通過調(diào)節(jié)兩個光學腔的耦合強度,可實現(xiàn)類EIT 效應中透射窗口的調(diào)控[6-9].當然,這種類EIT 效應也會導致透射光的群速度降低(即慢光效應)[10,11].最近,在微波波段實現(xiàn)類EIT 調(diào)制的研究,受到了人們的關注[12,13].

與光學波段的微腔系統(tǒng)相比,微波波段的諧振器結(jié)構(gòu)易于制作[14],厘米尺度器件比光學波段微米尺度器件電磁調(diào)控更為便利.因此,利用耦合微波腔來實現(xiàn)類EIT 效應及其相關調(diào)控具有很強的實驗可行性.不同于研究耦合光學腔常用的耦合模理論,本文針對弱信號傳輸測試的實際情況,利用光量子散射理論來處理波導光子通過微波傳輸線中的傳輸行為.理論推導表明,四分之一波長諧振器對共振微波光子是全反射的.但是,如果引入另一個與之耦合的四分之一波長諧振器,則可以實現(xiàn)對原共振反射微波的透射[15].因此這個引入的微波諧振器起到了原子介質(zhì)EIT 效應中驅(qū)動場的作用,使得原來全吸收的共振光不再處于原子介質(zhì)的吸收波長,從而可以不被吸收而透射過去.據(jù)此理論推導,對微波器件的傳輸特性進行了仿真設計,并利用實驗室自有的微加工平臺批次制作了理論模型所對應的耦合或非耦合的共面波導微波諧振器器件.在稀釋制冷機50 mK 的低溫條件(在此溫度下微波諧振器工作于超導態(tài),所以也稱超導諧振器)下,對所制備器件的微波傳輸特性進行了測量,部分證實了理論的推算結(jié)果.當然,由于實驗上尚未實現(xiàn)微波諧振器的耦合調(diào)節(jié),因而還不能實現(xiàn)這種類EIT 效應的微波透明窗口調(diào)控.

2 四分之一波長諧振器對共振微波信號的反射

針對高品質(zhì)因子諧振器對弱微波信號散射測試的需要,不同于通常的耦合模微波傳輸理論,下面先采用實空間量子輸運理論來研究單個四分之一波長諧振腔的微波傳輸特性,然后通過實驗證實其對共振微波的全反射效應.

2.1 四分之一波長諧振器的微波傳輸特性:實空間量子散射理論

為簡單起見,考慮圖1 所示的四分之一波長諧振器對饋線中傳輸信號的散射.這里,四分之一波長諧振器是長度為L、一端通過電容Cm耦合到饋線另一端直接接地的金屬導體.

圖1 單個四分之一波長諧振腔與波導的耦合示意圖,其中諧振腔的中心導體一端經(jīng)電容與饋線波導耦合,另一端則直接與零電位導體連接Fig.1.Travelling waves scattered by a single quarter wavelength resonator,the load end of the device is capacitively coupled to the feedline and another end is grounded.

根據(jù)經(jīng)典電磁理論,四分之一波長諧振器的基模諧振頻率是[16]

其中ε為金屬導體介電常數(shù),l為諧振器的長度,c為真空中的光速.利用耦合端電壓最大、接地端電壓為零的邊界條件,四分之一波長諧振器的哈密頓量可表示為[17]

C為諧振器總電容,在未受激發(fā)的情況下,諧振器處于真空電壓算符的平均值為零,但真空漲落:因此諧振器可與外部電場耦合,從而對饋線中傳輸?shù)碾姶判盘栠M行調(diào)制.饋線中傳輸?shù)钠矫骐姶挪捎霉茴D量描述,其中k=1,2,3,···為傳輸模式.在實空間中,饋線中傳輸?shù)奈⒉▓?其哈密頓量可寫為如下的形式[18-19]:

其中VR和VL分別表示在x處右行光子和左行光子與四分之一波長諧振器的耦合強度,δ(x) 為Dirac沖激函數(shù).這里,由于諧振器耦合端的尺度通常為數(shù)百個微米,遠小于饋線中傳輸微波的波長,所以耦合可看作是由δ函數(shù)描述的點狀耦合.這樣,由圖1 描述的量子系統(tǒng)就可用一個總哈密頓量算符:描述.系統(tǒng)所有的量子動力學行為則可通過求解含時薛定諤方程:i??|ψ(x,t)〉/?t=H?|ψ(x,t)〉得到.進一步地,假設散射是彈性散射,即入射到饋線中的光子在諧振器散射前后頻率都不變.因此,可將含時薛定諤方程化為與時間無關的薛定諤方程:

其次,將方程(7)代入方程(6)可得到諧振器散射后饋線中右行和左行光子的概率幅:ψR(x)和ψL(x),以及諧振器的激發(fā)概率幅度A所滿足的方程:

假設波導光子從左向右傳播,那么(8)式中ψR(x)和ψL(x)可以進一步表示[20-21]為

其中t,r分別表示諧振器對饋線中波導光子的透射概率幅和反射概率幅;k為入射波的波矢,即k=ω/vg.在散射點x=0 處引入階躍函數(shù)θ(x) :

解方程(11),便可求得饋線中不同頻率光子的透射概率(透射譜):

作為具體的例子,圖2 給出了饋線中傳輸?shù)奈⒉ü庾邮鼙菊黝l率為ωr=4.0 GHz 的四分之一波長諧振器散射情況下的透射譜.這里,右行光子與諧振器的有效耦合強度取為:γ1=0.001 GHz,左行光子與諧振器的有效耦合強度分別取為:γ2=γ1,2γ1,4γ1.

圖2 左、右行光子與諧振器有效耦合強度的比值不同時,饋線中傳輸微波光子的透射譜Fig.2.Transmission spectra of microwave transporting along the feedline scattered by a single quarter wavelength resonator with different coupling strengths for the left(right) travelling photons.

由圖2 可見,如果波導光子與諧振器的耦合具有手征性(即諧振器與左、右行光子的耦合強度不同)[22,23],共振光子仍有一定的概率可以透射,即:T(ωr)/=0 ;但是,γ1=γ2=γ時,即整個器件結(jié)構(gòu)沒有手征性時,共振微波光子不能透射過諧振器而被完全反射.這類似于光學介質(zhì)對入射光子的共振吸收.特別是,對應于最大反射概率一半的兩個入射微波頻率ω1=ωr+γ和ω2=ωr-γ之間的差值ω2-ω1=2γ,正好等于波導光子與諧振器有效耦合強度γ的兩倍.所以,測量微波光子的透射譜可以用于測定饋線和諧振器之間的有效耦合強度:透射譜的半高寬等于饋線中傳輸?shù)男胁ü庾优c諧振器中駐波光子之間的有效耦合強度.

當然,在以上的討論中我們完全忽略了諧振器本身的損耗,這對極低溫超導微波傳輸線系統(tǒng)而言是可以的.因為在毫開級低溫環(huán)境下,熱噪聲幾乎可以忽略,從而諧振器的品質(zhì)因素主要由其與外界耦合所導致的能量損耗來決定.

2.2 實驗驗證

采用簡單的微加工工藝,在500 μm 厚度的硅片上制備了多個相互獨立的四分之一波長諧振器.樣品制備的大致流程是:把清洗好的硅片放入磁控濺射鍍膜機,鍍上120 nm 厚的鋁膜;勻上S1805正膠進行2 min 的烘烤(使其與硅片貼合更加牢固),利用設計好的掩模版對其進行深紫外曝光;在顯影液中進行濕法刻蝕(顯影時間為10 s),將剩余的正膠使用丙酮和酒精去除,完成樣品制備.圖3為一片含有6 個四分之一波長諧振器樣品的顯微照片,6 個諧振器設計的本征頻率分別為3.0,3.05,4.0,4.05 GHz 和兩個5.0 GHz.為和接下來工作中兩個諧振器耦合的情況作比較,本次實驗中我們選取的是本征頻率為4.0 GHz 和 4.05 GHz 的兩個諧振器,進行微波傳輸特性測量.

圖3 單個四分之一波長共面波導諧振器樣品圖,圖中打紅叉的諧振器已經(jīng)短接Fig.3.Sample diagram of single quarter wavelength coplanar waveguide resonator.The resonators with the red crosses have been shorted.

在低溫下測試了這兩個諧振器的透射曲線.從圖4 可以看到,實驗測試得到的兩個諧振器的諧振頻率分別為:3.98152 GHz,4.05006 GHz,與設計參數(shù)基本吻合.考慮到樣品制作過程中的工藝參數(shù)誤差,以及仿真設計軟件實際上并不是超導電子器件專用等因素,所以設計參數(shù)與實驗實測結(jié)果存在少許偏差是必然的.我們的實驗測試結(jié)果表明:

圖4 單個四分之一波長共面波導諧振器 S21 參數(shù)曲線圖(即透射譜) (a) 4.0 GHz 諧振器的 S21 ;(b) 4.05 GHz 諧振器的S21Fig.4.Experimentally measured transmission curves of two single quarter wavelength coplanar waveguide resonators with the frequencies being 4 .0 GHz (a) and 4 .05 GHz (b),respectively.

1)存在兩個透射峰,且它們的中心頻率與對應的兩個諧振器本征頻率設計值基本相符.這說明兩個諧振器之間幾乎不存在相互耦合(耦合電容很小,可以忽略不計),可以認為兩個諧振器之間沒有耦合.

2)兩個諧振器傳輸峰曲線的半寬高度分別為25.624 kHz,29.649 kHz,可計算出品質(zhì)因子分別是:1.554 × 105,1.366 × 105;根據(jù)(12)式得到理論的半寬高度為實驗結(jié)果證明左右行光子有效耦合強度是相同的,因此計算得到它們與饋線的耦合強度:1.96 × 106Hz,2.11 ×106Hz.

3)經(jīng)透射率歸一化后,可認為兩個諧振器分別對頻率為ω1=3.98152 GHz 和ω2=4.05006 GHz是全反射的,即饋線波導中這兩個頻率的入射微波場完全沒有透射(定義該點為透射系數(shù)的零點).這與光學介質(zhì)對共振光吸收極大的情況直接對應,只不過這里是由諧振器彈性散射而導致入射微波的全反射(不是吸收).

所以,要實現(xiàn)微波諧振器對共振微波傳輸特性的調(diào)節(jié),實現(xiàn)其部分或全部的透射,需要引入其他調(diào)制變量,如:改變腔的電磁介質(zhì)以實現(xiàn)腔的本征頻率調(diào)制;或者引入另一個腔場,利用它們之間的相互作用來改變腔的本征頻率等[24],使得腔場新的本征頻率不再等于原共振入射微波的頻率.下面通過兩個諧振器的片上集成耦合,研究是否可以用一個諧振器對另一個諧振器的本征頻率進行調(diào)制(相當于在原子介質(zhì)中引入驅(qū)動場來調(diào)節(jié)原子能級),從而實現(xiàn)對單個諧振器共振全反射的誘導透明.

3 耦合四分之一波長諧振器的微波反射譜調(diào)制:類EIT 效應

3.1 理論模型

圖5 兩個插指耦合四分之一波長共面波導諧振腔對波導中行波微波的散射構(gòu)型,這里,諧振腔的中心導體的一端經(jīng)耦合電容與波導耦合,另一端與地短路Fig.5.Configuration of the travelling microwaves transporting along the waveguide scattered by the fingerly coupled quarter-wavelength coplanar waveguide resonators.Here,one end of the central conductor of the resonator is coupled to waveguide via a coupling capacitance,and the other end is directly grounded..

分別描述諧振器中駐波光子和饋線中行波光子的相互作用,V1和V2是耦合強度.

表示.其中,ψR2(x),ψL2(x) 為右行、左行光子的概率幅;A2,B2表示諧振器的激發(fā)概率.與第2 節(jié)計算過程類似,兩個耦合四分之一波長諧振器對饋線中行波光子的彈性散射問題可簡化為求解定態(tài)薛定諤方程:這里,ω為饋線中傳輸?shù)男胁ü庾咏穷l率.

由

可得到如下的系數(shù)方程:

與第2 節(jié)單點散射公式(9)情形類似,饋線波導中傳播的光子先后被位于同一側(cè)的兩個諧振器散射,因此光子向右傳播概率幅ψR2(x) 和向左傳概率幅ψL2(x) 可以分解為[25]

其中,k=ω/vg為波導中傳輸?shù)男胁ü庾拥牟ㄊ?r2和t2分別表示該波導中光子總的透射概率幅和總的反射概率幅,t12表示光子在傳播區(qū)間(l1,l2) 內(nèi)向右透射的振幅,r12在傳播區(qū)間(l1,l2)內(nèi)向左反射的振幅,是歸一化因子;θ(x-li)為散射點x=li(i=1,2)處的階躍函數(shù).這里,因為散射點的尺度(一般為微米量級)遠小于饋線中傳輸?shù)奈⒉ü庾拥牟ㄩL(厘米量級),所以諧振器對饋線中微波光子的散射仍可處理為點散射.

不失一般性,令:l1=0 ,l2=L,及V1=V2=V,則按2.1 節(jié)同樣的方法,可求得饋線中傳輸?shù)牟▽喂庾咏?jīng)耦合諧振器系統(tǒng)散射后的總透射系數(shù)為

式中,γ=V2/vg是波導光子與諧振腔之間的有效耦合強度,且θ=kL.

圖6 給出了兩個頻率不同諧振器耦合時饋線中波導光子的透射譜.這里,取波導光子與兩諧振器的有效耦合強度為:γ=105Hz,兩個四分之一波長諧振器的諧振頻率取為ωr=4.0 GHz,ωs=4.05 GHz,耦合點之間距離L=3 mm,改變兩個諧振器之間的耦合強度g,可以得到該結(jié)構(gòu)的傳輸透射曲線變化圖.當它們沒有耦合時,理論計算的兩個全反射峰的位置會出現(xiàn)在4.0 GHz 和4.05 GHz處;但是,當逐漸增大兩個諧振器之間的耦合強度時,兩個全反射峰之間的間隔(即全透明的窗口)有逐漸變寬的現(xiàn)象,這可以理解為一種類EIT 效應.

圖6 兩個不同本征頻率的耦合諧振器透射譜圖,兩透射谷之間的頻率間隔隨著耦合強度的增加而增大Fig.6.Transmission spectra of the microwave scattered by two coupled resonators with different eigenfrequencies.It is seen that the frequency interval between the two dips increases with the coupling strength between the resonators.

3.2 實驗測量結(jié)果

在一塊樣品上設計并制作了兩個插指耦合的四分之一波長諧振器,如圖7 所示.兩個諧振器基模諧振頻率分別設計為4.0 GHz 和4.05 GHz,它們的插指深度為370 μm.

圖7 兩個共振頻率不同的耦合四分之一波長共面波導諧振器的樣品圖(圖中打紅叉的諧振器已經(jīng)短接)Fig.7.Experimental sample of two quarter wavelength coplanar waveguide resonators with different resonant frequencies.The resonators with the red crosses have been shorted.

極低溫下耦合諧振器的微波透射譜測量結(jié)果如圖8 所示.可以看出,所測到的兩個透射峰的頻點,相對于單個諧振器的基模頻率ω1=4.0 GHz和ω2=4.05 GHz 都發(fā)生了偏移.其中,一個頻點向左偏移了0.05 GHz,變?yōu)?.927 GHz;另一個向右偏移了0.02 GHz,在4.075 GHz 處.這說明,兩個四分之一波長諧振器確實存在耦合,從而導致它們的基模頻率重整,使得原反射極大的頻點變?yōu)橥该?這一初步實驗測量結(jié)果證實了引入一個諧振器的耦合,可以使原單個諧振器的全反射頻率透射過去,這就是類EIT 效應的一種表現(xiàn).

圖8 兩個耦合四分之一波長共面波導諧振器的微波透射譜Fig.8.Coupled sample diagram of two quarter wavelength coplanar waveguide resonators.

根據(jù)實驗測量結(jié)果,可以推算兩個諧振器的耦合強度.事實上,對無驅(qū)動場作用下兩個耦合諧振器的哈密頓量(具體形式見3.1 節(jié)),對算符做如下幺正變換:

可將哈密頓量改寫為如下模式重整的形式:

其中ωa和ωb表示重整后耦合諧振器系統(tǒng)的兩個模式頻率;分別為新模式的產(chǎn)生算符和湮滅算符.令 s in 2φ(ωs-ωr)+2gcos 2φ=0,則兩個諧振器的模式完全解耦,形成兩個重整后的頻率:

對比圖8 實驗結(jié)果可得:ωa=3.927 GHz 和ωb=4.075 GHz.根據(jù)初始設計的頻率ωr=4.0 GHz和ωs=4.05 GHz,可以推算出樣品中兩個諧振器之間的耦合強度為:g=7.01×1 07Hz,這與圖6的理論結(jié)果是基本符合的.此外,在兩個反射窗口之間,觀測到了振蕩的背景噪聲,這是線路噪聲本身引起的振蕩.相比于實驗測到的兩個反射峰的良好顯示度,這種振蕩可以處理為系統(tǒng)噪聲,不影響實驗觀測的理解和解釋.

由于實驗樣品未能實現(xiàn)兩個四分之一波長諧振器的耦合強度調(diào)節(jié),所以尚未觀測到透明窗口的變化.后續(xù)工作將改進樣品制備方法,引入兩個諧振器的耦合調(diào)節(jié)途徑,實現(xiàn)類EIT 效應的透明窗口調(diào)節(jié).

4 結(jié)論與討論

由于類EIT 效應相應器件的制備相對簡便,近年來被廣泛研究.本文采用了耦合四分之一波長共面波導諧振器結(jié)構(gòu),來實現(xiàn)類EIT 效應的實驗觀測.首先,采用實空間量子輸運理論處理了單個四分之一波長諧振器的微波傳輸特性,并通過實驗驗證了理論預言的透射效應.確實,單個四分之一波長諧振器對共振微波是全反射的;通過理論計算和實驗測量數(shù)據(jù)的比對,推算出了諧振器中駐波光子和饋線中傳輸行波光子的耦合強度.進而,應用實空間法理論證明了,通過引入另一個輔助四分之一波長諧振器的耦合,可實現(xiàn)原四分之一波長諧振器對共振微波的全透射;通過調(diào)節(jié)輔助諧振器與原諧振器的耦合強度,可以實現(xiàn)微波透射窗口寬度的調(diào)制.實驗上,我們制作了相應的樣品,并對其傳輸透射曲線進行了測量,所得結(jié)果與理論上基本一致.這種透明窗口可簡單解釋為兩個耦合諧振器模式重整為兩個解耦的諧振器分別對饋線中傳輸微波的各自單獨散射所致.后續(xù)工作將在兩個諧振器之間加入SQUID 結(jié)構(gòu)來調(diào)節(jié)耦合強度,從而實現(xiàn)類EIT 效應中透明窗口的動力學調(diào)節(jié).

此外,實驗上雖然觀測到了輔助諧振器作用下原諧振器對共振微波的透明,但并未觀測到其相移特性的突變現(xiàn)象,這與原子系統(tǒng)的EIT 效應不同.物理上,這里兩個不同頻率諧振器耦合系統(tǒng)所測到的透射峰分離,實際上可以用耦合諧振器的頻率重整來解釋.由于不同頻率電磁波之間不發(fā)生干涉,所以這種僅表現(xiàn)出共振微波傳輸透明現(xiàn)象的類EIT 效應,不能應用于實現(xiàn)共振微波的群延遲.期待在后續(xù)工作中,同頻率輔助諧振器的耦合來實現(xiàn)共振微波在兩諧振器之間的干涉,從而調(diào)控共振微波的相移特性.