張海燕，鄭長江，馬君澤

（河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098）

引 言

公交車輛作為公共交通的重要組成部分，對提高城市道路資源利用率、緩解交通擁堵、降低交通污染具有重要作用。合理的公交車輛運(yùn)營與調(diào)度安排能夠增加公交出行對居民的吸引力，而獲取準(zhǔn)確的乘客候車時間是進(jìn)行公交車輛時刻表編排及運(yùn)營調(diào)度的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

乘客的候車時間受乘客到達(dá)特性和車輛到達(dá)特性兩個因素的影響，當(dāng)公交車發(fā)車頻率較高時，乘客到達(dá)可認(rèn)為是均勻分布，乘客的人均候車時間約為車頭時距的 1/2[1-3]；張騰飛[4]、張?zhí)N琦[5]計算乘客在各站點候車時間時假設(shè)乘客到達(dá)服從均勻分布，以研究時段內(nèi)發(fā)車間隔的1/2作為人均候車時間；李悅超等[6]、許夢菲[7]假設(shè)研究時段內(nèi)乘客到達(dá)的數(shù)量服從泊松分布，利用當(dāng)乘客到達(dá)服從泊松分布時，其相繼到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布這一理論計算乘客候車時間；張曉春等[8]采用非時齊泊松過程理論構(gòu)建了乘客到站模型，給出一種離散條件下的乘客人均候車時間計算方法。Gong等[9]、吳麗娟等[10]分別利用對數(shù)分布、正態(tài)分布和伽馬分布等來擬合乘客到站時間分布規(guī)律，對乘客候車時間模型進(jìn)行優(yōu)化，并得出結(jié)論：發(fā)車間隔可靠性也會影響客流的分布。

總的來說，目前國內(nèi)外對于乘客候車時間的計算方法多基于統(tǒng)計學(xué)理論，首先研究乘客的到站時間分布規(guī)律，再將擬合分布的概率密度積分求得人均候車時間期望，最后乘以研究時段內(nèi)到達(dá)乘客總數(shù)計算站點乘客總候車時間。然而，在實際情況中，由于公交站點地理位置不同，乘客出行受電子站牌、手機(jī)到站提示等科技應(yīng)用的影響，乘客的到站規(guī)律多變，單一的概率分布模型并不能貼切地在較長時段內(nèi)描述乘客的到站規(guī)律。針對上述問題，本文提出一種基于公交IC卡或客流計數(shù)器數(shù)據(jù)擬合乘客累計到站數(shù)量曲線的乘客候車時間計算模型，采用代數(shù)學(xué)的方法，計算出時段內(nèi)各乘客的估計到站時刻，并進(jìn)一步求得站點乘客的總候車時間。

1 模型建立

1.1 模型假設(shè)

由于站點乘客候車情況多樣，且到站公交車類型不同，為方便模型建立，提出以下假設(shè)條件：

（1）IC卡的刷卡數(shù)據(jù)近似等于所有上車乘客數(shù)，客流計數(shù)器均工作正常；

（2）公交車的容量足夠大，不存在乘客滯站的情況；

（3）每位乘客僅等待一輛公交車，等待過程中不離站；

（4）車輛到站后乘客立即上車，車輛?？繒r間忽略不計；

（5）僅研究單線公交上車乘客的候車時間。

1.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

大部分城市內(nèi)公交車均裝載有刷卡機(jī)和客流計數(shù)器等設(shè)備，能夠記錄乘客的上車時間、上車站點等數(shù)據(jù)。其中刷卡機(jī)記錄的數(shù)據(jù)信息類型包括時間信息、乘客信息、位置信息、費(fèi)用信息、車輛信息；客流計數(shù)器系統(tǒng)的數(shù)據(jù)內(nèi)容包括車輛到站信息、乘客上下車數(shù)量等。

兩者采集的數(shù)據(jù)內(nèi)容示例如表1-2所示。

表1 公交車刷卡機(jī)采集信息示例

表2 公交車客流計數(shù)器采集信息示例

可見，在站點上車乘客總數(shù)這一數(shù)據(jù)上，客流計數(shù)器統(tǒng)計更加直觀，為滿足建立模型所需數(shù)據(jù)類型，需整理出某一時段內(nèi)站點的各班次車輛上車乘客數(shù)量。為此，對于刷卡機(jī)數(shù)據(jù)，將統(tǒng)計時段內(nèi)需求站點的刷卡信息按照車輛ID進(jìn)行計次累加；對于公交客流計數(shù)器數(shù)據(jù)，按照到站時間先后順序篩選出統(tǒng)計時段內(nèi)所需數(shù)據(jù)。經(jīng)過對原始數(shù)據(jù)初步處理，得到如表3所示的各班車輛到站時刻及上車人數(shù)數(shù)據(jù)表。

表3 各班車輛到站（站點A）時刻及上車人數(shù)表

在得到各班車輛到站時刻及上車人數(shù)數(shù)據(jù)后，為擬合站點累計到站乘客數(shù)量與時間關(guān)系函數(shù)，需統(tǒng)計時段內(nèi)各班車輛到站時刻的累計上車乘客數(shù)量，將其作為站點累計到站乘客數(shù)量。將表3中各時刻上車人數(shù)累加，得到各時刻t對應(yīng)累計到站乘客數(shù)量S的數(shù)據(jù)表格，如表4所示。

表4 各時刻累計到站（站點A）乘客數(shù)量表

1.3 模型建立

為求解時段內(nèi)各乘客估計到站時刻，需擬合累計到達(dá)人數(shù)Sm關(guān)于時刻tm的關(guān)系函數(shù)。岳大振[11]采用三次樣條插值方法擬合全天運(yùn)營時段內(nèi)線路的公交客流期望到達(dá)率曲線，由于本文擬合的數(shù)據(jù)類型為累計到站乘客數(shù)量，具有單調(diào)不減的性質(zhì)，參考上述文獻(xiàn)，采用較為相似的分段三次埃爾米特插值法進(jìn)行擬合，圖1為同一組離散數(shù)據(jù)點采用分段三次埃爾米特插值法與三次樣條插值法的擬合結(jié)果對比圖。

由圖1中示例可以看出，相比于三次樣條插值法，分段三次埃爾米特插值法擬合曲線更加平緩穩(wěn)定，震蕩現(xiàn)象不明顯，且擬合曲線具有單調(diào)不減的特性，對于數(shù)據(jù)量無嚴(yán)格要求，因此本文采用分段三次埃爾米特插值法進(jìn)行累計到站乘客數(shù)量與時間關(guān)系的擬合。記站點累計到站乘客數(shù)量與時間的函數(shù)關(guān)系為f，擬合后得到累計到站乘客數(shù)量S關(guān)于時間t的插值多項式f(t)：

求解S=1，2，3，…時對應(yīng)t的值，即可得到Sm位乘客的估計到站時刻p1，p2，…，pSm，求解過程偽代碼如下：

在得到各個乘客的估計到站時刻后，可進(jìn)一步求解時段內(nèi)乘客總候車時間，以第一輛公交車與第二輛公交車到站時間間隔[t1，t2]為例，該時間間隔內(nèi)n2位乘客的候車時間之和為：

則對于時段[0，tm]內(nèi)所有到站乘客，總的候車時間T的計算公式如下：

式中T表示時段內(nèi)站點乘客總候車時間；m表示時段內(nèi)到站的公交車總數(shù)；ti表示時段內(nèi)第i班車到站時刻，Sm表示該時段內(nèi)累計到站乘客總數(shù)。

2 案例分析

以佛山公交309路12月1日晚高峰時段（18：00-19：00）清暉園站臺為例，計算該時段內(nèi)站點乘客累計候車時間，對模型的正確性和有效性進(jìn)行檢驗，309線路為佛山市順德區(qū)鴻運(yùn)公共交通有限公司管轄下的一條市區(qū)線路，起始終點為順德客運(yùn)總站——羊額官沙村，全程17.3 km，運(yùn)營時間為6：30～22：00。清暉園站點位于清暉園景點東北角，臨近新世界中心商場，非工作日站點日均上車乘客總?cè)藬?shù)約為500人。首先對309路客流計數(shù)器數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到晚高峰時段（18：00～19：00）清暉園站點累計到站乘客數(shù)統(tǒng)計如表5所示。

表5 清暉園站點累計到站人數(shù)

使用分段三次埃爾米特插值法對累計到達(dá)乘客數(shù)量進(jìn)行擬合，擬合圖像如圖2所示?？梢?，在晚高峰時段，累計到站乘客增長速率一直維持在較高水平，在40～50 min時增長速率略有放緩。

運(yùn)用MATLAB軟件求解累計到站乘客數(shù)為整數(shù)時各自對應(yīng)時刻，即為各乘客的估計到站時刻，計算結(jié)果如表6所示。

表6 乘客估計到站時刻

由于本案例中并未出現(xiàn)到站公交車上車乘客數(shù)為0的情況，因此，累計到站乘客數(shù)量與時間兩個變量在數(shù)值關(guān)系上一一對應(yīng)，可以采取擬合時間關(guān)于累計到站乘客數(shù)量關(guān)系的函數(shù)曲線的方法，來化簡求解各乘客估計到站時刻這一步驟。

首先采用分段三次埃爾米特插值法擬合時間關(guān)于累計到站乘客的函數(shù)曲線，曲線擬合結(jié)果如圖3所示。

將累計到站乘客數(shù)S=1，2，3，…，46帶入函數(shù)g(S)=t求得各個乘客的預(yù)估到站時間，經(jīng)檢驗，所得結(jié)果與表6一致。

將各乘客估計到站時刻P帶入式（4），進(jìn)一步求得晚高峰時段內(nèi)清暉園站點乘客總候車時間為131.12 min。

3 結(jié)果對比與分析

3.1 結(jié)果對比

為驗證方法有效性，將計算結(jié)果與采用假設(shè)乘客到達(dá)服從均勻分布與泊松分布的方法進(jìn)行對比，下面將基于兩種分布的方法分別命名為方法一、方法二進(jìn)行計算，參考文獻(xiàn)[4-7]中候車時間計算模型，將文章中各參數(shù)符號用本文中符號替代化簡后，得到假設(shè)乘客到達(dá)服從均勻分布的候車時間計算公式（方法一）如下：

假設(shè)乘客到達(dá)服從泊松分布時，乘客總候車時間計算公式（方法二）如下：

將案例中參數(shù)代入式（5）和（6）中，分別計算兩種方法所得乘客總候車時間，與本文結(jié)果進(jìn)行對比，計算結(jié)果如表7所示。

表7 各方法計算結(jié)果

可見，方法一與本文結(jié)果相近，相差19.8%，而方法二則與另外兩種計算方法結(jié)果相差較大，約為兩倍。

3.2 分布檢驗

為進(jìn)一步比較案例中客流到站規(guī)律與泊松分布的差異，取高峰時段乘客平均到達(dá)率作為擬合泊松分布的期望值，即取λ=0.77，使用χ2擬合檢驗法驗證清暉園站點晚高峰時段單位時間內(nèi)到站乘客數(shù)量是否服從均值λ=0.77的泊松分布，其中顯著性水平取α=0.05。計算結(jié)果如下：

故在顯著性水平0.05下拒絕假設(shè)“單位時間內(nèi)到站乘客數(shù)量服從泊松分布”。在非工作日晚高峰時段，由于清暉園站點地理位置臨近旅游景點及商場，結(jié)束旅游或購物活動的乘客往往結(jié)伴前往站點候車，造成乘客到站特性與泊松過程[12]中要求的獨(dú)立性不相吻合，即各乘客到達(dá)情況不相互獨(dú)立，從而導(dǎo)致乘客的到站規(guī)律與不符合泊松分布。此類情況下采用方法二進(jìn)行計算，將造成計算結(jié)果產(chǎn)生誤差。

3.3 誤差分析

進(jìn)一步分析，方法二與其他兩種計算方法結(jié)果相差較大，不單由乘客到達(dá)不服從泊松分布這一因素造成。多數(shù)以乘客到站服從泊松分布為假設(shè)前提的乘客候車時間計算模型以乘客相繼到達(dá)的間隔時間服從負(fù)指數(shù)分布這一理論為基礎(chǔ)進(jìn)行建模，以文獻(xiàn)[7]為例進(jìn)行分析，首先由“當(dāng)乘客到達(dá)服從泊松分布時，乘客相繼到達(dá)的間隔時間t服從負(fù)指數(shù)分布”這一理論基礎(chǔ)得出客在相鄰兩車時間間隔[0，h]內(nèi)隨機(jī)到達(dá)的概率密度函數(shù)為：

式中f(t)為乘客到站時間間隔的概率密度函數(shù)，λ為時間間隔內(nèi)乘客到達(dá)率，單位為人/min。

隨后求出單個乘客在相鄰兩車時間間隔內(nèi)的候車時間期望T單：

則相鄰兩車時間間隔所有乘客的總候車時間即為到站人數(shù)λh乘以單個乘客的候車時間期望：

從T總的表達(dá)式中可以看出，該計算結(jié)果與假設(shè)乘客到達(dá)服從均勻分布時總候車時間相比，近似于結(jié)果的兩倍，接近于表7中案例計算結(jié)果。

3.4 方法二優(yōu)化

進(jìn)一步分析，方法二的候車時間計算模型中，時間間隔內(nèi)單個乘客的候車時間期望實際上為首個乘客的候車時間期望，對于之后到站的乘客，其候車時間期望計算時積分下限應(yīng)與首個乘客不同。對此，可采取以乘客到站時間間隔為基礎(chǔ)的方法進(jìn)行改進(jìn)。對于符合泊松流到站的乘客，由于其相繼到達(dá)的間隔時間t服從負(fù)指數(shù)分布，則在相鄰兩車時間間隔[0，h]內(nèi)，各乘客間到站時間間隔期望P為：

則時間間隔[0，h]內(nèi)λh名乘客的總候車時間T總為：

式中iP表示第i位乘客的期望到站時刻。

對總候車時間T總進(jìn)行進(jìn)一步化簡，步驟如下：

可見，經(jīng)改進(jìn)后，假設(shè)乘客到達(dá)服從泊松流的總候車時間計算結(jié)果與方法一的總候車時間相比，結(jié)果較為近似。將文中案例數(shù)據(jù)帶入改進(jìn)后的模型中，計算可得乘客總候車時間為146.30 min，與另兩種方法結(jié)果均較為接近。

3.5 有效性驗證

為驗證本文方法與優(yōu)化后方法二的有效性，采用假設(shè)性案例進(jìn)行檢驗：假設(shè)某站點A在20 min內(nèi)到站乘客20名、公交車4輛，采用隨機(jī)函數(shù)生成20名乘客的到站時刻與公交車到站時刻。為方便計算，公交車到站時刻均設(shè)置為整數(shù)分鐘，隨機(jī)生成結(jié)果如表8所示。

表8 乘客及公交車輛到站時刻隨機(jī)生成結(jié)果

將上述假設(shè)性案例數(shù)據(jù)代入各方法進(jìn)行計算后，得到各方法結(jié)果與誤差比例如表9所示。

表9 各方法計算結(jié)果及誤差比例

由表9中結(jié)果可以看出，本文方法與優(yōu)化后的方法二在計算站點乘客總候車時間上的誤差比例明顯小于另兩種方法，且準(zhǔn)確度較高，驗證了本文方法及改進(jìn)后方法二的有效性。

4 結(jié) 論

本文研究了基于累計乘客到站擬合函數(shù)的乘客候車時間計算方法，采用公交車IC卡或客流計數(shù)器數(shù)據(jù)，計算各時段站點乘客候車時長。研究的主要結(jié)論包括以下幾個方面：

1）建立了基于累計乘客到站數(shù)量擬合函數(shù)的乘客候車時間計算方法，通過求解擬合函數(shù)因變量在區(qū)間內(nèi)整數(shù)變化時對應(yīng)自變量的值，計算出各個乘客的估計到站時刻，進(jìn)而得出站點乘客總候車時間，模型適用性廣泛，能夠直觀反映站點客流到站規(guī)律；

2）利用佛山公交309路清暉園站點公交車客流計數(shù)器采集數(shù)據(jù)進(jìn)行實例分析，計算出該站點晚高峰時段站點乘客總候車時間，便于公交公司對該線路運(yùn)營計劃進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。

3）將本文方法與假設(shè)乘客到達(dá)服從均勻分布和泊松分布的站點乘客總候車時間計算結(jié)果對比，泊松分布結(jié)果差異較大，經(jīng)檢驗晚高峰時段清暉園站客流到站規(guī)律不符合泊松分布。

4）對假設(shè)乘客到站服從泊松分布的候車時間計算模型進(jìn)行了改進(jìn)，并使用假設(shè)性案例對本文模型以及改進(jìn)后的方法二進(jìn)行有效性驗證，結(jié)果顯示兩者計算準(zhǔn)確度均較高。

綜上，本文設(shè)計了基于乘客累計到站數(shù)量擬合函數(shù)的乘客候車時間計算方法，避免由于乘客到站分布規(guī)律變化而對候車時間計算準(zhǔn)確度產(chǎn)生的影響，使得模型的適用條件更為廣泛，為公交公司提供了新的乘客等車時間計算方法，方便公交公司優(yōu)化公交時刻表，進(jìn)而提升運(yùn)營效率。