郝可青，呂志剛，李 葉，邸若海，朱鴻杰

(1.西安工業(yè)大學(xué) 兵器科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,西安 710021；2.西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，西安 710021)

鋰離子電池在軍事應(yīng)用中具有卓越的性能，因此廣泛應(yīng)用于單兵系統(tǒng)、衛(wèi)星飛船以及無人戰(zhàn)機(jī)等諸多兵種。然而在鋰電池的循環(huán)使用中容易發(fā)生高溫腐蝕老化以及電流電壓參數(shù)的改變會(huì)導(dǎo)致鋰電池設(shè)備出現(xiàn)故障，從而造成不可預(yù)估的損失。因此對(duì)鋰電池進(jìn)行剩余使用壽命(Remaining Useful Life,RUL) 預(yù)測(cè)是十分有必要的。目前，對(duì)于鋰電池的RUL預(yù)測(cè)主要分為基于模型的預(yù)測(cè)方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)方法。由于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法具有更高的預(yù)測(cè)精度并且能夠提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，因此通常選用該方法進(jìn)行鋰電池的RUL預(yù)測(cè)。

反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Neural Network,BPNN)是1986年由D.Rumelhart和J.McClelland為首的科學(xué)家提出的概念，是一種按照誤差逆向傳播算法訓(xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]。它具有大規(guī)模并行、分布式處理、自組織、自學(xué)習(xí)等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于語音分析[2]、圖像識(shí)別[3]、計(jì)算機(jī)視覺[4]、模式識(shí)別與分類[5]、故障預(yù)測(cè)[6]等領(lǐng)域。

小樣本問題廣泛存在于各個(gè)行業(yè)中，廣義上來講，數(shù)據(jù)量少、樣本結(jié)構(gòu)不平衡、數(shù)據(jù)集信息覆蓋率低都屬于小樣本問題，由于鋰電池的加速老化試驗(yàn)周期長(zhǎng)且可測(cè)量參數(shù)較少，因此得到的失效數(shù)據(jù)樣本較少，且在小樣本條件下構(gòu)建的鋰電池預(yù)測(cè)模型會(huì)存在過擬合等問題，故無法用傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行鋰電池小樣本數(shù)據(jù)的模型訓(xùn)練。文獻(xiàn)[7]提出基于數(shù)據(jù)中心位置跟蹤方法(Central Location Tracking Method,CLTM)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值確定方法，實(shí)驗(yàn)證明該方法可以使用小數(shù)據(jù)集進(jìn)行預(yù)測(cè)，但該方法隨機(jī)性較大，需要多次實(shí)驗(yàn)才能準(zhǔn)確驗(yàn)證。文獻(xiàn)[8]提出基于先驗(yàn)知識(shí)約束和少量樣本數(shù)據(jù)的Elman動(dòng)態(tài)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法，以混凝沉淀過程的兩個(gè)約束條件和數(shù)據(jù)集進(jìn)行了算法驗(yàn)證，但Elman網(wǎng)絡(luò)存在訓(xùn)練速度慢和容易陷入局部極小值的問題。文獻(xiàn)[9]提出基于線性先驗(yàn)的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，開發(fā)了基于廣義約束線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-先驗(yàn)(Generalized Constraint Neural Network-Linear priors,GCNN-LP)的工具箱，但是難以適用于其他網(wǎng)絡(luò)模型。文獻(xiàn)[10]提出基于虛擬樣本生成(Virtual Sample Generation,VSG)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并利用加州大學(xué)歐文分校(University of CaliforniaIrvine,UCI)數(shù)據(jù)集驗(yàn)證了該方法的有效性，但如果真實(shí)數(shù)據(jù)具有相關(guān)屬性，則該方法不能完全適用。文獻(xiàn)[11]提出利用Bootstrap法和核密度拉丁超立方采樣法擴(kuò)充訓(xùn)練樣本，利用擴(kuò)充后的樣本訓(xùn)練BPNN，在保障小樣本自身規(guī)律的情況下，解決了小樣本數(shù)據(jù)BPNN建模問題，但得到的參數(shù)結(jié)果都是隨機(jī)變量，這導(dǎo)致模型的預(yù)測(cè)精度較差。文獻(xiàn)[12]提出基于小樣本的殘差BPNN，通過將多個(gè)殘差BPNN模塊進(jìn)行堆疊提高小樣本BPNN預(yù)測(cè)精度，但設(shè)計(jì)過程過于復(fù)雜。通過對(duì)上述文獻(xiàn)進(jìn)行分析可得，解決小樣本條件下BPNN建模的方法可分為兩種：① 利用數(shù)據(jù)擬合模型或采樣的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)擴(kuò)充，構(gòu)造合成樣本，但該方法得到的數(shù)據(jù)隨機(jī)性較大且質(zhì)量并不高，導(dǎo)致模型的預(yù)測(cè)精度并不高；② 把先驗(yàn)知識(shí)作為已知的約束條件加入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程中，構(gòu)建基于先驗(yàn)知識(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法。因此，文中提出融合先驗(yàn)知識(shí)的BPNN建模方法，以懲罰函數(shù)法的形式將單調(diào)性約束加入網(wǎng)絡(luò)性能函數(shù)中，完成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并利用改進(jìn)的粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)優(yōu)化初始權(quán)值和閾值，可以提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力以及避免網(wǎng)絡(luò)陷入局部最優(yōu)值。

1 算法思想

1.1 先驗(yàn)知識(shí)

先驗(yàn)知識(shí)指的是領(lǐng)域?qū)＜以趯?duì)研究問題的機(jī)理有一定的了解。胡包鋼等將先驗(yàn)信息定義如下：“先驗(yàn)信息是指在對(duì)目標(biāo)系統(tǒng)實(shí)施建模或分析前就已知的任何相關(guān)信息(廣義含義，包括知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，常識(shí)和特定要求等)”[13]。常用的先驗(yàn)知識(shí)有單調(diào)性、凹凸性和等式約束等。實(shí)際生產(chǎn)中任何復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系，都可以將其某個(gè)區(qū)間劃分為具有單調(diào)關(guān)系的區(qū)段，然后利用單調(diào)性來進(jìn)行處理。

如果在區(qū)間[x1,x2]內(nèi)都存在函數(shù)f(x)，那么單調(diào)性的數(shù)學(xué)定義為

(1)

式(1)中若輸入輸出滿足該單調(diào)性關(guān)系，則稱f(x)在此區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)。

因此，文中將單調(diào)性作為先驗(yàn)知識(shí)，通過增加單調(diào)性信息來增加小數(shù)據(jù)集條件下BPNN訓(xùn)練可獲得的信息量，使訓(xùn)練所得模型更加真實(shí)有效，提高模型預(yù)測(cè)精度。

1.2 權(quán)值閾值更新

(2)

式中：w1為輸入層到隱含層的權(quán)值矩陣；w2為隱含層到輸出層的權(quán)值矩陣。

網(wǎng)絡(luò)均方誤差為

(3)

將輸入pi與輸出Y呈單調(diào)遞增的約束條件Ci進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到的結(jié)果為

(4)

根據(jù)最優(yōu)化原理中的懲罰函數(shù)法，將單調(diào)性作為先驗(yàn)條件引入網(wǎng)絡(luò)，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練產(chǎn)生的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行單調(diào)性判斷。如果實(shí)際數(shù)學(xué)關(guān)系是單調(diào)遞增(遞減)的，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果也是單調(diào)遞增(遞減)的，那么說明符合這次訓(xùn)練過程先驗(yàn)知識(shí)，不加懲罰，如果判斷后結(jié)果與實(shí)際值相反，則給予懲罰處理。因此，性能函數(shù)應(yīng)該由兩部分組成：① 最小均方誤差，其作用是盡量使實(shí)際輸出逼近目標(biāo)值；② 約束項(xiàng)，懲罰函數(shù)的作用是盡量滿足先驗(yàn)知識(shí)約束。重新定義的網(wǎng)絡(luò)性能函數(shù)f(e)為

f(e)=L(e)+μCi,

(5)

式中:Ci的取值為

(6)

式(5)中e為誤差輸出，μ為懲罰因子決定了第二部分對(duì)性能影響的權(quán)重。μ取0時(shí)，忽略約束；μ取的越小，訓(xùn)練所得模型越容易違背先驗(yàn)知識(shí)；μ取值越大，訓(xùn)練所得模型越不容易違背先驗(yàn)知識(shí)，但訓(xùn)練所得實(shí)際輸出與目標(biāo)值會(huì)有一定的偏差。

當(dāng)Ci>0時(shí)，即當(dāng)輸入輸出滿足單調(diào)遞增條件時(shí)，權(quán)值閾值更新為

(7)

式中：k為當(dāng)前隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；α為學(xué)習(xí)速率。

當(dāng)Ci≤0時(shí)，即當(dāng)輸入輸出違背單調(diào)遞增條件時(shí)，權(quán)值閾值更新為

(8)

由式(4)得

(9)

設(shè)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法采用最小均方誤差算法，則最終權(quán)值閾值更新為

(10)

1.3 優(yōu)化初始權(quán)值閾值

由于初始權(quán)值和閾值的好壞會(huì)影響B(tài)P網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的時(shí)間和精度，“壞”的初始參數(shù)可能使BPNN訓(xùn)練陷入局部最優(yōu)。因此，現(xiàn)有方法多將粒子群算法的全局尋優(yōu)能力與BP算法的局部尋優(yōu)能力相結(jié)合，利用粒子群算法來優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、連接權(quán)值和閾值，以提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力和學(xué)習(xí)性能。

實(shí)驗(yàn)證明，粒子群算法中的慣性權(quán)重系數(shù)w的數(shù)值較大時(shí)能夠增強(qiáng)粒子進(jìn)行整體搜索能力，慣性系數(shù)W數(shù)值較小時(shí)能夠增強(qiáng)粒子進(jìn)行局部搜索能力[14]。為了權(quán)衡粒子局部搜索以及全局搜索的能力，文中將自適應(yīng)權(quán)重和線性遞減權(quán)重結(jié)合提出改進(jìn)的粒子群算法W-PSO來優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值。W-PSO算法的具體表達(dá)如下：

設(shè)搜索空間是D維，那么第i個(gè)粒子的位置可表示為Xi=(xi1,xi2,…,xiD)，速度可表示為Vi=(vi1,vi2,…,viD)，個(gè)體最優(yōu)極值為Pi=(pi1,pi2,…,piD)，全局最優(yōu)極值為Gi=(gi1,gi2,…,giD)，i表示粒子的個(gè)數(shù)即i={1,2,…,m}，VK+1為第K+1個(gè)的粒子速度與位置的更新為

VK+1=WVK+c1r1(PK-XK)+c2r2(GK-XK),

(11)

XK+1=XK+VK+1,

(12)

(13)

式(11)～式(12)中c1,c2為加速因子；r1,r2為隨機(jī)數(shù)，一般取值在[0,1]之間；Wmax為開始時(shí)的慣性權(quán)重；Wmin為迭代數(shù)目達(dá)到最大值時(shí)的慣性系數(shù)；f是當(dāng)前的適應(yīng)度值；favg為平均適應(yīng)度值；fmin為最小適應(yīng)度值；Tmax為迭代次數(shù)最大值；K為當(dāng)前的迭代次數(shù);PK為當(dāng)前個(gè)體最優(yōu)極值；XK，XK+1分別為第K和K+1個(gè)粒子的位值；GK為當(dāng)前全局最優(yōu)極值。

1.4 算法流程

融合W-PSO和單調(diào)性約束的BPNN算法步驟為

① 確定BPNN網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)初始化粒子種群及參數(shù)；

② 根據(jù)式(11)～式(13)計(jì)算W-PSO算法的粒子適應(yīng)度值，尋找個(gè)體最優(yōu)值和種群最優(yōu)值；

③ 判斷是否滿足終止迭代條件，若滿足，則對(duì)其進(jìn)行解碼，獲得優(yōu)化的權(quán)值和閾值，若不滿足，則更新粒子速度和位置，返回②，重新尋找最優(yōu)值；

④ 根據(jù)式(2)～式(6)計(jì)算網(wǎng)絡(luò)輸出和添加約束的懲罰項(xiàng)系數(shù)大?。?/p>

⑤ 判斷是否滿足單調(diào)性約束，若滿足跳轉(zhuǎn)到⑥，若不滿足跳轉(zhuǎn)到⑦；

⑥ 計(jì)算式(5)，采用式(7)更新權(quán)值閾值；

⑦ 計(jì)算式(5)，采用式(10)更新權(quán)值閾值；

⑧ 判斷是否達(dá)到目標(biāo)精度和最大循環(huán)次數(shù)，重復(fù)④～⑦，直至滿足要求，結(jié)束網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。

2 仿真結(jié)果

2.1 W-PSO算法仿真對(duì)比

圖1表示當(dāng)種群個(gè)數(shù)為50，最大維數(shù)為50，最大迭代次數(shù)為500，c1=c2=2，Wmin=0.4，Wmax=0.9時(shí)，文中所提算法W-PSO和原始自適應(yīng)權(quán)重PSO-adaption算法、線性遞減權(quán)重PSO-linear算法在測(cè)試函數(shù)Sphere Model和Generalized Griewank上的對(duì)比結(jié)果。其中Sphere Model為非線性的單峰單極值函數(shù)，原點(diǎn)取最小值時(shí)，其f表達(dá)式為

(14)

Generalized Griewank為多峰多極值函數(shù)，原點(diǎn)取最小值時(shí)，表達(dá)式為

(15)

由圖1可知，與PSO-adaption算法和PSO-linear算法相比，文中所提W-PSO算法具有更快的收斂速度和更高的收斂精度。

圖1 三種PSO算法的測(cè)試結(jié)果對(duì)比

2.2 算法仿真及對(duì)比分析

2.2.1 先驗(yàn)知識(shí)的獲取

為了驗(yàn)證W-PSO算法的性能，文中使用Matlab 2020a實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建和訓(xùn)練，操作系統(tǒng)為Windows 10，內(nèi)存16 GB。文中實(shí)驗(yàn)采用美國(guó)國(guó)家航空航天局(National Aeronautics and Space Administration,NASA)鋰離子電池性能退化試驗(yàn)數(shù)據(jù)集[15]進(jìn)行算法驗(yàn)證和模型比較，該數(shù)據(jù)庫(kù)選用18650鋰離子蓄電池進(jìn)行循環(huán)充放電的老化試驗(yàn)，循環(huán)充放電導(dǎo)致鋰離子電池的性能發(fā)生退化，造成實(shí)際電池容量衰減，每個(gè)完整的充放電周期包含充電、放電和阻抗測(cè)量三個(gè)工作過程。實(shí)驗(yàn)過程如下：① 鋰離子電池在電流為1.5A恒流狀態(tài)下進(jìn)行充電，電壓上升至4.2 V，在恒壓模式下繼續(xù)保持充電狀態(tài)，直到充電電流降至 20 mA，則表示充電已經(jīng)結(jié)束； ② 鋰離子電池在恒流模式下進(jìn)行放電，直到電壓達(dá)到設(shè)定的某一截止電壓時(shí)停止放電；③ 實(shí)驗(yàn)測(cè)量鋰離子電池的阻抗通過EIS 頻率掃描來實(shí)現(xiàn)，通常設(shè)置掃描范圍為0.1～5×103Hz。

文中將電池容量C作為鋰離子電池性能退化的直接健康因子，以F1～F5指標(biāo)為間接影響因子，構(gòu)建BPNN。F1,F2分別表示為等壓升、等流降充電時(shí)間間隔，F(xiàn)3表示為等壓降放電時(shí)間間隔，F(xiàn)4,F5分別表示為充電、放電過程中的平均溫度。

其中第一個(gè)和第二個(gè)間接健康因子是從鋰電池的恒流/恒壓充電曲線中提取的。如圖2(a)所示，在恒流充電過程中，電壓從較低的值升為較高的值，取這一階段為F1。如圖2(b)所示，在恒壓充電過程中，電流從較高的值下降為一個(gè)穩(wěn)定值，這一階段為F2，鋰電池的總充電時(shí)間會(huì)隨著電池容量的衰減而逐漸縮短。由于在實(shí)際情況中，存在著不完全充放電的現(xiàn)象，故F1是人工設(shè)定的兩個(gè)電壓之間的時(shí)間間隔，F(xiàn)2也是人工設(shè)定的兩個(gè)電流之間的時(shí)間間隔。

圖2 F1,F2,F3間接影響因子提取

類比F1和F2的提取方法，從電池的放電電壓曲線中提取等壓降放電時(shí)間間隔為F3，如圖2(c)所示，可明顯看出等壓降放電時(shí)間間隔隨著充放電周期的增長(zhǎng)而呈現(xiàn)遞減的趨勢(shì)。將充放電過程中的平均溫度作為F4和F5，可以使得在線容量的估計(jì)更為簡(jiǎn)便，圖3(a)所示為F1開始時(shí)刻到F2結(jié)束時(shí)刻之間的電池平均溫度，圖3(b)所示為F3時(shí)間段內(nèi)的電池平均溫度。

通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理獲得先驗(yàn)知識(shí)，如圖4所示。

圖3 F4,F5間接影響因子提取

圖4 獲取的先驗(yàn)知識(shí)

其中，圖4(a)表示F1與C呈單調(diào)遞增關(guān)系；圖4(b)表示F2與C呈單調(diào)遞減關(guān)系；圖4(c)表示F3與C呈單調(diào)遞增關(guān)系；圖4(d)表示F5與C呈單調(diào)遞減關(guān)系。由圖4可知，獲得4條先驗(yàn)知識(shí)均可添加到BPNN的訓(xùn)練中，其中，F(xiàn)4與C并不存在單調(diào)性關(guān)系。

2.2.2 預(yù)測(cè)誤差對(duì)比

以增加一條先驗(yàn)知識(shí)為例，證明所提算法的有效性。圖5為當(dāng)懲罰因子μ=1，訓(xùn)練集為40和30，增加F1與C單調(diào)遞增約束和W-PSO，128和138個(gè)測(cè)試集的預(yù)測(cè)結(jié)果。圖6為當(dāng)懲罰因子μ=0.1和μ=0.5，訓(xùn)練集為40，增加F1與剩余容量C單調(diào)遞增約束和W-PSO，128個(gè)測(cè)試集的預(yù)測(cè)結(jié)果。其中，預(yù)測(cè)結(jié)果的好壞以平均誤差R(R=均方誤差SSE/測(cè)試樣本個(gè)數(shù))的大小進(jìn)行衡量，R越小，預(yù)測(cè)誤差越小，算法性能更優(yōu)。

圖5 不同算法預(yù)測(cè)平均誤差對(duì)比

圖6 不同算法預(yù)測(cè)平均誤差對(duì)比

由圖5可看出，標(biāo)準(zhǔn)PSO-BP算法的平均誤差R1最大，W-PSO無約束條件算法的平均誤差R2次之，文中所改進(jìn)的W-PSO有約束條件算法的平均誤差R3最小，即文中算法在鋰電池?cái)?shù)據(jù)為小樣本條件下具有更好的預(yù)測(cè)性能。

由圖6可知，懲罰因子μ的大小會(huì)影響文中算法性能，μ越大預(yù)測(cè)誤差越小，μ值的取值范圍可通過均方誤差的量級(jí)確定。當(dāng)μ取值不同時(shí)，所對(duì)應(yīng)的誤差見表1，其中R13表示W(wǎng)-PSO無約束的條件下與W-PSO有約束的條件下的差值，其中R23表示標(biāo)準(zhǔn)PSO的條件下與W-PSO有約束的條件下的差值。

表1 平均誤差分析

3 結(jié) 論

文中通過將先驗(yàn)知識(shí)添加到BPNN的性能函數(shù)中以此提高鋰電池剩余使用壽命預(yù)測(cè)模型的精度以及增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，可得到以下結(jié)論：

1) 構(gòu)建自適應(yīng)變化的慣性權(quán)重系數(shù)，提出W-PSO算法，將先驗(yàn)知識(shí)以單調(diào)性約束的形式加入到BPNN性能函數(shù)中。

2) 利用W-PSO算法能夠增強(qiáng)權(quán)衡局部搜索以及全局搜索的能力，避免網(wǎng)絡(luò)陷入局部最優(yōu)解，當(dāng)模型的訓(xùn)練集個(gè)數(shù)相同時(shí)，誤差隨著約束項(xiàng)系數(shù)的增大而減小。

3) 采用NASA鋰電池失效數(shù)據(jù)集，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析文中所提算法與其他常用鋰電池壽命預(yù)測(cè)算法，可得文中算法構(gòu)建的模型平均誤差下降了5%，具有更高的預(yù)測(cè)精度，且該方法可與大樣本條件下的模型預(yù)測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比分析研究。