楊梓晨

教學(xué)基本問題即“教什么、為什么教、如何教”的問題，它是教師進行教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實施的基礎(chǔ)和前提。筆者以《最短路徑問題》為例，探討如何厘清數(shù)學(xué)教學(xué)基本問題，實施有效教學(xué)。

一、教什么

《最短路徑問題》是人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第十三章（軸對稱）的“課題學(xué)習(xí)”，教材通過討論“牧人飲馬”“造橋選址”兩個問題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用軸對稱、平移等知識轉(zhuǎn)化問題，進而便捷地求解最短路徑;涉及的知識點有“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“三角形三邊關(guān)系”“軸對稱”“平移”等。

在思考《最短路徑問題》應(yīng)該教什么時，教師可以從兩方面思考。一是教學(xué)生學(xué)的內(nèi)容，包括利用軸對稱和平移的性質(zhì)解決“牧人飲馬”和“造橋選址”兩類實際問題;求最短路徑（轉(zhuǎn)化為求兩點之間的距離）的方法;化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想方法;運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題的應(yīng)用意識。二是教學(xué)生學(xué)的方法，包括觀察、抽象（問題的本質(zhì)、數(shù)學(xué)表示）的方法，通過尋找關(guān)鍵信息來建構(gòu)未知與已知的聯(lián)系，進而轉(zhuǎn)化問題的方法，以及猜想、反思等學(xué)習(xí)方法。

由此，我們可以擬訂本課的教學(xué)目標(biāo)：知識方面，會通過作圖求解兩類最短路徑問題，并能證明結(jié)論的正確性，加深對軸對稱和平移性質(zhì)的理解;能力方面，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力，作圖能力，轉(zhuǎn)化能力，利用數(shù)形結(jié)合分析、解決問題的能力，積累解決路徑問題的經(jīng)驗，領(lǐng)會化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想方法;素養(yǎng)方面，數(shù)學(xué)抽象，直觀想象;情意方面，通過解決實際問題，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系、數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值及數(shù)學(xué)思想方法的魅力。

二、為什么教

“為什么教”即對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的必要性和意義的理解，既包含對數(shù)學(xué)知識本身價值的理解，如數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在需要，社會發(fā)展的外在需要，數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值、審美價值等，又包含對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的意義和目的的理解。這是教師創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、設(shè)計問題的依據(jù)。

《最短路徑問題》作為課題學(xué)習(xí)要達成什么教育目的呢？一是讓學(xué)生體會兩點間線段最短、軸對稱和平移的性質(zhì)等的應(yīng)用價值;二是培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。以上兩點是提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成的基礎(chǔ)。

三、如何教

“如何教”即對教學(xué)過程、學(xué)習(xí)活動的構(gòu)想，以體現(xiàn)主體性、主動性和探索性為基本原則。

《最短路徑問題》屬于研究性學(xué)習(xí)，筆者的教學(xué)思路如下：首先呈現(xiàn)“牧人飲馬”的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，即直線[l]上的C點選在何處才能使“AC+CB”的值最小;接著引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題簡單化，即將A、B兩點在直線[l]同側(cè)的情況轉(zhuǎn)化為A、B兩點在直線[l]異側(cè)的情況;然后引導(dǎo)學(xué)生歸納解決問題的過程，梳理解決問題的方法，進而提出“造橋選址”的新問題，并引導(dǎo)學(xué)生用相似的方法加以解決;最后呈現(xiàn)練習(xí)題，進行鞏固應(yīng)用。

筆者在明確數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求、教材設(shè)計意圖、學(xué)生已有基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生與發(fā)展歷程的基礎(chǔ)上，以“問題串”的形式搭建教學(xué)實施過程。問題一：“牧人飲馬”問題如何用數(shù)學(xué)語言來表達？學(xué)生通過畫圖、用數(shù)學(xué)符號表達，把問題抽象為在直線[l]上求作一點C，使“AC+BC”最短的問題。問題二：我們學(xué)習(xí)過的與之相關(guān)的知識有哪些？師生共同整理得到“兩點之間線段最短”“過直線外一點作已知直線的垂線，垂線段最短”等。問題三：如何解決這個問題呢？能否先解決一個與之相關(guān)的簡單問題或特殊問題？學(xué)生很快想到A、B位于直線[l]異側(cè)的情形，并練習(xí)解決一個這樣的問題。問題四：能將“同側(cè)”問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”問題嗎？轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是什么？學(xué)生以小組為單位，通過想一想、畫一畫、試一試，找到了問題的關(guān)鍵“在[l]的另一側(cè)找一點B'，使CB'=CB'”，并在教師引導(dǎo)下完成證明題目、總結(jié)問題解決過程、提煉轉(zhuǎn)化方法的學(xué)習(xí)過程。問題五：“造橋選址”問題如何用數(shù)學(xué)語言表達？學(xué)生探究得出：當(dāng)點N在b上的什么位置時，AM+MN+NB最小？（其中a和b為兩條平行直線，N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b，交直線a于點M）問題六：它能轉(zhuǎn)化為前面已經(jīng)解決的、我們熟悉的問題嗎？學(xué)生回顧交流“牧人飲馬”問題的解決方法及策略，找到了解決新問題的關(guān)鍵。問題七：如何應(yīng)用這些新方法呢？教師呈現(xiàn)相關(guān)練習(xí)題，學(xué)生獨立完成后，進行小組交流。

（作者單位：武漢市第十九初級中學(xué)）

責(zé)任編輯? 劉佳