肖 可, 李樹勇

(1. 四川輕化工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 四川 自貢 643000; 2. 綿陽師范學院, 四川 綿陽 621000)

近幾十年來,由于在自然科學、生物工程、醫(yī)學、金融等各個領域的應用,中立型隨機泛函微分方程穩(wěn)定性被學者們廣泛關注,建立了一系列判別中立型隨機泛函微分方程解穩(wěn)定性的結果[1-8]. 然而,一個實際的系統(tǒng)常不免有多種隨機因素的介入,Markov切換是一種常見的隨機干擾,由于其樣本路徑的不連續(xù)性,Markov切換對隨機微分系統(tǒng)有極大影響,往往會導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定.文獻[6]研究了一類具Markov切換的中立型隨機泛函微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性,利用Razumikhin方法,建立該系統(tǒng)的Razumikhin型穩(wěn)定性定理,分析了Markov切換對該系統(tǒng)穩(wěn)定性影響;文獻[7]研究了一類具Markov切換的中立型隨機泛函微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性,通過構造恰當?shù)腖yapunov泛函,并結合隨機分析理論及不等式技巧,建立了該系統(tǒng)解p階矩指數(shù)穩(wěn)定與幾乎處處指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,克服了樣本路徑不連續(xù)性對穩(wěn)定性的影響.此外,Brownian運動作為一種連續(xù)的隨機過程不能較好地表述那些服從隨機突變的實際系統(tǒng),而對于隨機突變造成的不連續(xù)現(xiàn)象,Lévy噪聲可以更好地刻畫這種隨機突變.因而,具Lévy噪聲的中立型隨機泛函微分方程解的穩(wěn)定性問題受到學者們重視,文獻[8]研究了一類具Lévy噪聲的中立型隨機泛函微分方程解的穩(wěn)定性,通過構造恰當?shù)腖yapunov泛函,并結合隨機分析理論與不等式技巧,得到該系統(tǒng)解p階矩漸近穩(wěn)定與幾乎處處漸近穩(wěn)定的充分條件.在實際應用中,Markov切換與隨機突變往往同時存在,具Markov切換和Lévy噪聲的隨機泛函微分方程反映了這種現(xiàn)象.但由于樣本軌道不連續(xù),且Markov切換和Lévy噪聲同時存在,穩(wěn)定性分析面臨更多困難,據(jù)我們所知,相關問題研究尚不多見.最近,文獻[9]將Razumikhin方法應用到具Markov切換和Lévy噪聲的隨機泛函微分方程解的穩(wěn)定性研究上,克服了這一困難,建立了具Markov切換和Lévy噪聲的隨機泛函微分方程解的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性判別定理.受此啟發(fā),本文將研究具Markov切換與Lévy噪聲的中立型隨機泛函微分方程解的穩(wěn)定性,通過使用Razumikhin方法,并結合隨機分析理論以及不等式技巧,建立該系統(tǒng)解p階矩指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,進而得到具Markov切換和Lévy噪聲的中立型隨機時滯微分方程解的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性判別定理.

1 預備知識

本文|x|表示向量x∈d的歐式范數(shù),w=(w1(t),w2(t)…,wm(t))T(t≥0)是一個m維標準Brownian運動.對非負常數(shù)τ,記

τ=[-τ,+∞), CC([-τ,0),d),

C依范數(shù)

成為一個Banach空間.對每一個C值隨機變量φ(θ,ω),約定

Lpt(Ω,C)={φ:φ是t可測的C值隨機變量,

E‖φ‖p<∞},

這里E表示關于所給概率測度P的期望.

設{r(t),t≥0}是在完備概率空間(Ω,,P)上的一個右連續(xù)Markov鏈,并且取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…,n}(n表示正整數(shù)),其中生成元Q=(qij)n×n滿足條件:

P{r(t+Δt)=j|r(t)=i}=

r(t)=r(τk), ?t∈[τk,τk+1),k∈N.

設N是定義在0×(d{0})上的一個泊松隨機測度,是N的補償泊松隨機測度,并且與Brownian運動w(·)相互獨立,這里ν是一個Lévy測度,并且有

考慮如下具Markov切換和Lévy噪聲的中立型隨機泛函微分方程:

d[x(t)-D(t,xt,r(t))]=f(t,xt,r(t))dt+

g(t,xt,r(t))dw(t)+

(1)

其中,x(t)∈d,xtxt(θ)={x(t+θ):-τ≤θ≤0}為一個C值隨機過程,xt-且xt-∈C,函數(shù)D:0×C×S→d,f:0×C×S→d,g:0×C×S →d,m和h1,h2:0×C×d×S →d,并滿足后面所需條件,常數(shù)c∈(0,+∞]為允許的最大跳躍高度,假定r(t)=i取遍S而不處處注明.

|D(t,φ1,i)-D(t,φ2,i)|≤κ‖φ1-φ2‖.(2)

(A2) 對任意的k=1,2,3,…,存在lk>0使得

|f(t,φ1,i)-f(t,φ2,i)|2∨

lk‖φ1-φ2‖2,

(3)

對任意的t≥0,以及φ1,φ2∈C,且‖φ1‖∨‖φ2‖≤k成立.

(A3) 存在一個常數(shù)l >0,使得

對任意的φ∈C以及t≥0成立.

(A4) 對任意的t≥0,有:D(t,0,i)≡0,f(t,0,i)≡0,g(t,0,i)≡0,且對|y|

記方程(1)滿足初值x0=ξ的解為x(t;ξ)(也記為x(t)).顯然,對任意的t≥0,方程(1)有零解x(t)=0.

記C1,2(τ×d×S)為定義在τ×d×S上的所有非負函數(shù)V(t,x,i)的集合,并且V對t為一階連續(xù)可微的函數(shù),對x為二階連續(xù)可微的函數(shù).對于任意的φ∈C以及t∈τ,約定對于任給的V ∈C1,2(τ×d×S)以及φ∈C,定義V:τ×d×S→如下.

(5)

這里

E|x(t;ξ)|p≤α‖ξ‖p0e-βt, ?t≥-τ,

則稱方程(1)的解p階矩指數(shù)穩(wěn)定.

證明不妨設T>0適當小,使得

其中D2=為正常數(shù);L=(顯然L>0).固定初值ξ,定義Picard迭代序列如下:

(6)

首先驗證{xn(t)}定義合理、連續(xù),且xn(t)∈2([0,T];d). 這與文獻[5]定理3.1.2之證類似,從略.

接著證明{xn(t)}在空間2([0,T];d)中范數(shù)收斂.為此,只要歸納地證明以下不等式:

bδn,n≥0,

(7)

b=bδ0.

今設Mn-1≤bδn-1(n≥1),則

h2(s,xn-1s-,y,r(s))]N(ds,dy)|2}≤

h1(s,xn-1s-,y,r(s))|2ν(dy)ds]+

h2(s,xn-1s-,y,r(s))|2ν(dy)ds]≤

故(7)式得證.由(7)式推出{xn(t)}是2([0,T];d)中的Cauchy序列,故其范數(shù)收斂于某個x(t)∈2([0,T];d).

于是由Borel-Cantelli引理推出,a.s.地,有

推出所要結論.從而如文獻[5]中定理3.1.2之證,可說明x(t)是方程(1)的具有初值ξ的解.

H(T)E[ds.

(8)

采用一個停時論證.令τn=T∧inf{t∈[0,T],‖xt‖≥n},只需以τn∧t代t證(8)式.但為記號簡便,仍記τn∧t為t.此外約定f(t)=f(t,xt,r(t)),g(t)=g(t,xt,r(t)),hi(t)=hi(t,xt-,y,r(t))(i=1,2),則

K(T)E(

故得

1+K(T)≤1+

然后用Gronwall不等式,即得所證.

引理1.2給出了方程(1)局部解的存在唯一性.類似文獻[10]定理3.3存在性的證明與引理1.2唯一性的證明,可得如下全局解存在唯一性定理.

2 主要結果

定理 2.1假設(A1)～(A4)成立且p>1.此外,假設存在一個函數(shù)V∈C1,2(τ×d×S)滿足(i) ～(iii) .

(i) 存在正常數(shù)c1、c2,使得

c1|x|p≤V(t,x,i) ≤c2|x|p,

?(t,x,i)∈τ×d×S;

(9)

(ii) 存在常數(shù)l0∈(0,1),使得對任意的t∈0及有不等式

E|D(t,φ,i)|p≤lp0‖φ‖p0;

(10)

(11)

有

成立.

即方程(1)的零解p階矩指數(shù)穩(wěn)定.

證明對于任意有界初值ξ,要證(12)式成立,只需證明當0<γ<μ∧τ-1ln時,不等式成立:

m(t)eγtE|x(t)|p≤β(1-κ1)-p,

?t≥0,

(13)

注意到,如果成立

(14)

則對t≥0時,利用條件(ii),有

M(t)

κ1-p1E|D(s,xs,r(s))|p]≤

κ1-p1lp0eγs‖xs‖p0]≤

β(1-κ1)1-p+κ1M(t).

(15)

于是M(t)≤β(1-κ1)-p<βq1e-γτ.因為m(t)≤M(t),因而只需要證明(14)式,即可得(13)式成立.

下面證明(14)式成立.為此需證

W(t)e

?t≥0.

(16)

由條件(ii)得

c2(1+l0)p-1[E|ξ(0)|p+

l01-pE|D(0,ξ,r(0))|p]≤

c2(1+l0)p‖ξ‖p0=βc1,

下用反證法.假設(16)式不對所有的t≥0成立,則必有最小的t1∈0,及充分小的δ>0,使得

W(t)≤βc1, ?t∈[0,t1),

W(t1)=βc1,W(t1+δ)>W(t1).

因為對任給的t∈[t1-τ,t1],當t≥0時,有

EV(t,x(t),r(t))≤c2E|x(t)|p=

c2e-γtm(t)≤c2e-γtM(t)

(17)

當t<0時,由γ與β的取值、W(t)的定義以及不等式(1-κ1)-p

EV(t,x(t),r(t))≤

從而有

E[V(t1,x(t1),r(t1))]<

因此,由r(t)的定義,對任意的t>0以及對充分小的δ′>0,有

EV(t,x

?t∈[t1,t1+δ′).

(19)

另一方面,對任意充分小的δ″>0,由V的定義以及It公式,有

r(s))g(s,x(s),r(s))]ds+

h1(s-,x(s-),y,r(s-)),r(s-))-

h1(s-,x(s-),y,r(s-)),r(s-))-

h2(s-,x(s-),y,r(s-)),r(s-))-

(20)

令

M(δ″)

h1(s-,x(s-),y,r(s-)),r(s-))-

顯然M(δ″)是一個連續(xù)的局部鞅[11]. 對(20)式左右兩邊同時取期望,有

W(t1+δ″)-W(t1)=

EV(t,xt,r(t))]dt≤0,

從而W(t1+δ″)≤W(t1),與t1的“最小性”相矛盾.因此,(16)式必對任何的的t≥0成立,于是(12)式成立.證畢.

在定理2.1的證明過程中,使用了如下事實:

EV(t+θ,x(t+θ),r(t+θ))≤

如果上述事實被

EV(t+θ,x(t+θ),r(t+θ))≤

或者

EV(t+θ,x(t+θ),r(t+θ))≤

所取代,則建立如下定理.

定理 2.2假設(A1)～(A4)成立且p>1.此外,假設存在一個函數(shù)V∈C1,2(τ×d×S)滿足(i)～(iii).

(i) 存在正常數(shù)c1,c2,使得

c1|x|p≤V(t,x,i) ≤c2|x|p,

?(t,x,i)∈τ×d×S;

(21)

(ii) 存在常數(shù)l0∈(0,1),使得對任意的t∈0及有不等式

E|D(t,φ,i)|p≤lp0‖φ‖p0;

(22)

對所有t≥0,有

定理 2.3假設(A1)～(A4)成立且p>1.此外,假設存在一個函數(shù)V∈C1,2(τ×d×S)滿足(i)～(iii).

(i) 存在正常數(shù)c1,c2,使得

c1|x|p≤V(t,x,i) ≤c2|x|p,

?(t,x,i)∈τ×d×S;

(23)

(ii) 存在常數(shù)l0∈(0,1),使得對任意的t∈0及成立不等式:

E|D(t,φ,i)|p≤lp0‖φ‖p0;

(24)

對所有t≥0,有

3 應用

考慮如下具Markov切換與Lévy噪聲的中立型隨機時滯微分方程

定理 3.1設p>1,且假設存在一個函數(shù)V∈C1,2(τ×d×S)滿足(i)～(iv).

(i) 存在正常數(shù)c1、c2,使得

c1|x|p≤V(t,x,i) ≤c2|x|p,

?(t,x,i)∈τ×d×S;

|D(t,x(t-δ0(t)),x(t-δ1(t)),…,

x(t-δl(t)),r(t))|p≤

(26)

φ(-δ1(t)),…,φ(-δl(t)),i)+

G(t,φ(0),φ(-δ1(t)),…,φ(-δl(t)),i)]+

φ(-δ1(t)),…,φ(-δl(t)),y,i),i)-

φ(-δ1(t)),…,φ(-δl(t)),

(27)

證明由(5)式函數(shù)V的定義可得:

V(t,φ,i)=

φ(-δl(t)),i)+

G(t,φ(0),φ(-δ1(t)),…,φ(-δl(t)),i)]+

H1(t,φ(0),φ(-δ1(t)),…,φ(-δl(t)),y,i)

成立,其中q是滿足條件(iv)的常數(shù),則由條件(iii)可得:

E|D(t,x(t-δ0(t)),x(t-δ1(t)),…,

x(t-δl(t)),r(t))|p≤

因此,定理2.1的條件(ii)成立.這樣,由定理2.1得方程(25)的零解p階矩指數(shù)穩(wěn)定.證畢.

特別地,考慮如下具Markov切換與Lévy噪聲的中立型線性隨機時滯微分方程

(A5) 存在常數(shù)εi(i=1,2,…,6),使得:

推論 3.2假設條件(A5)成立外,若存在正常數(shù)q,ai(i=1,2,…,n)以致ρ0<0,ρ1>0,ρ0+qρ1<0,并且

其中

其中I為d×d的單位矩陣.則方程(28)的零解均方指數(shù)穩(wěn)定.

證明取Lyapunov函數(shù)為V(t,x,i)=ai|x|2,其中ai(i=1,2,…,n)為正常數(shù),易驗證定理3.1的條件成立,從而結論成立.

例 3.3考慮如下具Markov切換與Lévy噪聲的中立型隨機時滯微分方程

其中,x(t)=(x1(t),x2(t))T,w(t)是一個二維的布朗運動,{r(t),t≥0}是取值于有限狀態(tài)S={1,2}的右連續(xù)Markov鏈,生成算子sint+0.3. 此外

并假設:

取Lyapunov函數(shù)為V(t,x,i)=ai|x|2,其中a1=0.6,a2=0.7.于是p=2,q的取值范圍為:q>1.168 9.

不妨取q=2,經計算得ρ0=-4.249 4<0,ρ1=0.908 1>0且ρ0+qρ1=-2.433 2<0. 因此,由推論3.2得方程(29)的零解均方指數(shù)穩(wěn)定.