葉洪清

摘 要：本文通過(guò)一道高考數(shù)學(xué)模擬題，揭示平時(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn)，從而有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生的思維，提高創(chuàng)新意識(shí)和解題能力，為新高考做好準(zhǔn)備.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);正余弦定理;數(shù)學(xué)思維;新高考

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0033-04

三角函數(shù)與解三角形是高考重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是學(xué)生較容易取得滿分的題型，但是筆者在一次參與高三數(shù)學(xué)聯(lián)考的閱卷過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)較多學(xué)生對(duì)解三角形的大題束手無(wú)策，閱卷過(guò)程中也出現(xiàn)了較多的空白卷，針對(duì)該題的低得分率，本文作出了一些思考，現(xiàn)做簡(jiǎn)要分析.

1 試題呈現(xiàn)

例1 （浙江省新高考聯(lián)考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知cosC=14，a2=b2+12c2.

（1）求sin（A-B）的值;

（2）若c=10，求a和b.

試題分析 本題主要考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力以及對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，極大程度上考查了學(xué)生的思維能力以及運(yùn)算能力. 大部分考生對(duì)第（1）小題感到束手無(wú)策，覺(jué)得跟平時(shí)的解三角形題型不一樣，因此導(dǎo)致該題的得分偏低，但在閱卷過(guò)程中也出現(xiàn)了一些解題的亮點(diǎn)，但這些亮點(diǎn)僅僅是來(lái)自于平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生.

2 課堂論解

解法1 由正余弦定理與a2=b2+12c2，可得

cosB=a2+c2-b22ac=3c4a=3sinC4sinA.

結(jié)合cosC=14，可得cosBsinA=31516.①

同理可得

cosA=b2+c2-a22bc=c4b=sinC4sinB.

所以cosAsinB=1516.②

由①②，得

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=158.

解法2 由條件cosC=14與余弦定理推論，可得

a2+b2-c2=ab2.

再結(jié)合a2=b2+12c2，可得2a2+ab-6b2=0.

從而得到2a=3b，103a=c.

所以cosA=108，cosB=104.

所以sinA=368，sinB=64.

所以sin（A-B）=158.

點(diǎn)評(píng) 解法1與解法2都可以得到第（1）小題的正確答案，但是對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，而且運(yùn)算過(guò)程較為繁瑣，只有具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力和邏輯推理能力才能得出正確答案.特別是解法2，先求得邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，然后再運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解正余弦值，計(jì)算量就會(huì)變得很大. 而考卷中給出的正解如下：

解法3 在△ABC中， 因?yàn)閍2=b2+12c2，所以sin2A=sin2B+12sin2C .

即sin2A-sin2B=1532.

從而1-cos2A2-1-cos2B2=1532.

即cos2B-cos2A=1516.

所以cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]=1516.

從而2sin（A+B）sin（A-B）=1516.即2sinCsin（A-B）=1516.

又cosC=14，從而sin（A-B）=158.

點(diǎn)評(píng) 解法3先采用正弦定理進(jìn)行邊化弦，采用倍角公式變形逆用進(jìn)行降次，再進(jìn)行配角，然后用兩角和的余弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行求值，該解法過(guò)程非常順暢，對(duì)公式的應(yīng)用也比較自然.

為何學(xué)生給出的解題過(guò)程與標(biāo)準(zhǔn)答案大相徑庭？是因?yàn)轭}型偏離了常規(guī)的命題意途？還是學(xué)生缺少這種解決新問(wèn)題的能力？還是學(xué)生并沒(méi)有掌握課堂上的所學(xué)知識(shí)？我們?cè)賮?lái)看一個(gè)錯(cuò)解：

錯(cuò)解 由兩角和的正弦公式和余弦定理可得，

sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=a·a2+c2-b22ac-b·b2+c2-a22bc=a2-b2c.

注意到a2=b2+12c2，從而sin（A-B）=c2.

又因?yàn)閏osC=14，從而求得sinC=154.

所以sin（A-B）=158.

點(diǎn)評(píng) 該解題結(jié)果雖然是正確的，但是解題過(guò)程是錯(cuò)誤的，而且錯(cuò)的非常明顯，學(xué)生主要是對(duì)于正弦定理認(rèn)識(shí)不足，直接將弦與邊等同起來(lái)，這也是大多數(shù)學(xué)生在平時(shí)運(yùn)用正弦定理時(shí)容易犯的錯(cuò)誤，但為何該解題過(guò)程得到了正確的答案？我們是否可以對(duì)該解題過(guò)程稍加修飾來(lái)獲得正確的答案呢？答案是肯定的.

解法4 由asinA=bsinB=csinC=k，可得

sinA=ak，sinB=bk，sinC=ck.

則sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB

=ak·a2+c2-b22ac-bk·b2+c2-a22bc

=a2-b2kc.

又因?yàn)閍2=b2+12c2，

從而sin（A-B）=c2k=12sinC=158.從以上錯(cuò)解中可以看出學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用的條件不夠熟悉，只有等式兩邊都含有弦（邊）的時(shí)候才能通過(guò)正弦定理直接化為邊（弦），教師在正弦定理的應(yīng)用教學(xué)中應(yīng)該引入常數(shù)，讓學(xué)生自身去閱讀并領(lǐng)悟正弦定理所能應(yīng)用的條件與情景，親身體驗(yàn)新知識(shí)的接受過(guò)程，讓學(xué)生知其然，知其所以然. 事實(shí)上，學(xué)生的創(chuàng)造力是無(wú)窮的，我們教師在從教過(guò)程中也應(yīng)該時(shí)刻滿足學(xué)生的好奇心，幫助示范引導(dǎo)，千萬(wàn)不要直觀地否定學(xué)生的解答，盡量放慢課堂教學(xué)步伐，傾聽(tīng)學(xué)生的奇思妙想，引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的方法去解決各種新穎問(wèn)題，并學(xué)會(huì)在不同方法的比較中領(lǐng)悟各種方法的本質(zhì)以及適用的情境，從而突破解題瓶頸，達(dá)到靈活解題的目的.

其實(shí)，該試題命題者的本意在于考查學(xué)生對(duì)于正弦定理以及二倍角公式的運(yùn)用，也考查學(xué)生的逆向思維能力和整體思維能力，但從學(xué)生解題的角度來(lái)看，學(xué)生更加傾向于運(yùn)用余弦定理，因?yàn)轭}目中給出了條件a2=b2+12c2，形式恰好與余弦定理的形式相似，這與學(xué)生平時(shí)解題時(shí)形成的思維定勢(shì)有關(guān)，因此在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)思想與解題方法的應(yīng)用. 另外，學(xué)生得分率偏低的原因也在于對(duì)求解sin（A-B）的題型感到陌生，一般的思路就是展開(kāi)后分別求解正弦與余弦值（解法2），再代入求得原式的值，但由于本題的計(jì)算量偏大導(dǎo)致學(xué)生望而生畏，苦思冥想沒(méi)結(jié)果后最終選擇放棄. 而在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師不可能將所有千變?nèi)f化的高考題類型囊括在一起，更不可能在短短的一節(jié)課上講授所有高考難點(diǎn)，但是高考題萬(wàn)變不離其宗，在講解高考知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，應(yīng)當(dāng)回歸課本教材，將考點(diǎn)與課本知識(shí)相融合，讓學(xué)生在理解基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的前提上，掌握其運(yùn)用的前提與要求，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，掌握知識(shí)的全面性以及運(yùn)用的靈活性，以促使學(xué)生形成綜合性的知識(shí)體系，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的敏感性，從而讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生更加深刻的印象.

針對(duì)以上問(wèn)題，筆者在講解該題時(shí)除了給出以上解法外，還指出了學(xué)生在解題過(guò)程中需要避免的問(wèn)題，而讓筆者感到意外的是，學(xué)生通過(guò)比較條件，提出這么一個(gè)問(wèn)題：是否有sin2A-sin2B=sin（A-B）sin（A+B）成立？如果等式成立，怎么證明？面對(duì)學(xué)生提出的這一奇怪結(jié)論，本人并沒(méi)有直接否定，而是引導(dǎo)學(xué)生思考，從剛才的解答過(guò)程與方法中尋找所要證明的元素，動(dòng)員學(xué)生積極思考，運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行論證，因此結(jié)論成立是肯定的，證明過(guò)程只需運(yùn)用二倍角公式以及參照解法3的步驟就可以得到此結(jié)論（此處省略），而且也為了讓學(xué)生加深對(duì)這一公式的記憶，證明過(guò)程由學(xué)生自己獨(dú)立完成，這也體現(xiàn)了學(xué)生的奇思妙想與驚人的創(chuàng)造力，敢于大膽猜想 ，積極嘗試.

在解答該高考題第（2）小問(wèn)的過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，第（2）小問(wèn)的解答方法比第（1）小問(wèn)來(lái)得簡(jiǎn)單，只需將所給條件c=10代入a2=b2+12c2，并用余弦定理結(jié)合cosC=14，聯(lián)立方程組就可以得到a和b的解，因此很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力中等甚至偏下的學(xué)生都能獲得該小題的分?jǐn)?shù)，反而那些中等偏上的學(xué)生卻因?yàn)閷?duì)第（1）小問(wèn)感到束手無(wú)策的同時(shí)也直接放棄了第（2）小問(wèn)，后來(lái)筆者對(duì)這些學(xué)生都做了一些詢問(wèn)，原來(lái)中等偏上的學(xué)生對(duì)整個(gè)大題產(chǎn)生了思維定勢(shì)，而中等偏下的學(xué)生抱著試試看的心態(tài)，觀察發(fā)現(xiàn)第（1）問(wèn)與第（2）問(wèn)沒(méi)有直接聯(lián)系，就放棄了第（1）小問(wèn)，直接解答第（2）問(wèn)，這也不失為好路徑，好心態(tài)！記得有一年的高考題，出題者故意打亂難易題目的順序，將難題放置于前，簡(jiǎn)單題置后，考完后心態(tài)好的考生取得了好成績(jī)，心態(tài)不好的自然就沒(méi)能取得理想的成績(jī)，在2018年的浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中，出題者一反常態(tài)，將最基本的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)考于第一大題，而將數(shù)列壓軸改為函數(shù)壓軸，這給那些平時(shí)專攻數(shù)列壓軸題的優(yōu)等考生來(lái)了個(gè)措手不及，而對(duì)于那些平時(shí)心態(tài)好的考生自然而然就能取得良好的高考成績(jī)了.

為加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的掌握程度，讓學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容及其形態(tài)內(nèi)化為認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，使新舊認(rèn)知充分碰撞，使所獲得的新認(rèn)知具有心理意義，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)，提升解題的驅(qū)動(dòng)力和數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合素養(yǎng)，筆者給出了如下試題以供學(xué)生練習(xí).

例2 （1）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足（a2-b2）sin（A+B）=（a2+b2）sin（A-B），試判斷△ABC的形狀.

（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且2sin（A-B）=asinA-bsinB，a≠b.

（1）求邊c;

（2）若△ABC的面積為1，且tanC=2，求a+b的值.

3 解題反思

在對(duì)題目進(jìn)行求解之后，我們應(yīng)該讓學(xué)生進(jìn)行自我解題反思，特別是進(jìn)行實(shí)踐基礎(chǔ)上的理性反思，反思如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題以及采取什么方法去解決問(wèn)題，反思這其中運(yùn)用了哪些基本的思想方法和技能技巧以及會(huì)發(fā)生怎樣的錯(cuò)誤和原因，而在給學(xué)生平時(shí)的試題訓(xùn)練中，也應(yīng)當(dāng)立足通性通法的考查，講究題型新穎，重在本質(zhì)，以此來(lái)區(qū)分學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，盡量給學(xué)生以“眼前一亮，煥然一新”的感覺(jué).浙江省近幾年的數(shù)學(xué)高考命題設(shè)計(jì)大致也是從數(shù)學(xué)問(wèn)題本身出發(fā)，構(gòu)造含樸實(shí)的素材和豐富內(nèi)蘊(yùn)的試題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)與現(xiàn)實(shí)背景，回歸教材，堅(jiān)持出基礎(chǔ)題，考靈活題，突出對(duì)考生綜合能力的考查. 因此，我們教師的教學(xué)需要合理定位，立足教材，精選習(xí)題，在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中充分認(rèn)識(shí)學(xué)生的個(gè)體水平差異性，讓每位學(xué)生主動(dòng)學(xué)自己的數(shù)學(xué)，正確應(yīng)對(duì)每位學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，給予學(xué)生充足的思考求解時(shí)間，準(zhǔn)確定位高考目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)對(duì)運(yùn)算能力和思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)，同時(shí)，在平時(shí)的課堂訓(xùn)練與高考模擬中，也應(yīng)該強(qiáng)調(diào)心態(tài)的重要性， 讓學(xué)生學(xué)會(huì)調(diào)整心態(tài)，從而應(yīng)對(duì)紛繁復(fù)雜的高考試題.

4 感悟小結(jié)

新高考的改革對(duì)我們數(shù)學(xué)教師也提出了新的要求，特別是在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重知識(shí)與發(fā)展的過(guò)程，通過(guò)一題多解，幫助學(xué)生理清知識(shí)的發(fā)展邏輯和知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過(guò)變式拓展領(lǐng)悟知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展規(guī)律，每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該深入鉆研教材編排的意圖，研究教材中教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而確定相應(yīng)的教學(xué)方法和教學(xué)策略，提升自己的思想修養(yǎng)、文化素養(yǎng)和專業(yè)技能，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的延續(xù)性與連貫性，突出知識(shí)點(diǎn)之間本身存在的內(nèi)在聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注概念的理解和運(yùn)用，有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)比較方法的繁簡(jiǎn)，培養(yǎng)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的眼光，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主探究、自主鉆研，提升學(xué)生分析問(wèn)題的能力以及解決問(wèn)題的能力，幫助建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充分實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的結(jié)合，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)思想和實(shí)踐的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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[責(zé)任編輯：李 璟]