呂建源

（中鐵七局集團有限公司勘測設計研究院，鄭州 450016）

0 引言

朗肯土壓力理論是著名的古典土壓力理論，由英國學者朗肯（Rankine W J M）于1857年提出.其概念明確，方法簡便，被廣泛用于擋土墻、基坑支檔中土壓力計算.在均質(zhì)土中，朗肯主動土壓力計算方法簡單明了；在成層土中，其計算方法明確，但計算煩瑣，不便于應用數(shù)學軟件自動化計算和土壓力隨土層深度函數(shù)化圖形展示.任傳健和賈洪彪［1］研究了非飽和土對朗肯土壓力的影響.巨永前、汪洋等［2-3］在降雨和蒸發(fā)條件下，對非飽和土朗肯土壓力計算進行了研究.鮮有對工程中常見成層土朗肯土壓力計算方法的研究.本文從計算方法的角度，基于分段函數(shù)和積分上限函數(shù)探討成層土朗肯土壓力的計算方法，并以Maple軟件為工具進行工程實例計算.

1 成層土的朗肯主動土壓力計算

1.1 成層土主動土壓力計算方法

根據(jù)朗肯主動土壓力原理［4］，可得在土層深度z處作用于單位墻長度上的朗肯主動土壓力的計算公式為：

式中，pa(z)為土層深度z處朗肯主動土壓力；Ka(z)為土層深度z處朗肯主動土壓力系數(shù)；σ(z)為土層深度z處土的自重應力.pa(z)、Ka(z)和σ(z)均為土層深度z的函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長度上的朗肯總主動土壓力Ea(H)可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù)；zi-1為第i層土的層頂深度；zi為第i層土的層底深度.

1.2 成層土參數(shù)的分段函數(shù)表示方法

實際工程中，成層土各土層的內(nèi)摩擦角φ、黏聚力c和天然重度γ變化很小，其變化可忽略不計，可視其為常值.故墻高H深度范圍內(nèi)各層土的性質(zhì)參數(shù)均可表示為土層深度z的分段函數(shù)，則摩擦角函數(shù)φ(z)、黏聚力函數(shù)c(z)和天然重度函數(shù)γ(z)分別為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

以上函數(shù)顯然有第一類間斷點中的跳躍間斷點，且在各分區(qū)區(qū)間為常值函數(shù).各層土參數(shù)的分段函數(shù)的分段區(qū)間相同，由它們組成的復合函數(shù)也為分段函數(shù)，且分段區(qū)間不變［5］.各層土的朗肯主動土壓力系數(shù)可表示為土層深度z的函數(shù)，即Ka是tan2(45°-)和φ(z)的復合函數(shù).

每層土的內(nèi)摩擦角φ為常值，其土壓力系數(shù)Ka亦為常值，則Ka(z)為有第一類間斷點中的跳躍間斷點，且在各分區(qū)區(qū)間為常值函數(shù).

土層深度z處土的自重應力為其上全部土層的重力之和，即γ(z)函數(shù)的積分上限函數(shù)［6］，且為分段函數(shù)的積分上限函數(shù)［7］，則有：

式中，n為計算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù)；zn為計算土層深度z范圍內(nèi)最底層土的層底深度，數(shù)值上與z相等.

土層深度z處土的自重應力函數(shù)σ(z)前n-1項均為常數(shù)，即第i項為γi(zi-zi-1)，其中i≤n-1；第n項為γn(z-zn-1)，是計算土層深度z的線性函數(shù).易得σ(z)為分段函數(shù)，且為線性折線函數(shù)，單調(diào)遞增［8］.

1.3 無黏性成層土的土壓力計算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯主動土壓力原理，由1.2節(jié)可得，在土層深度z處作用于單位墻長度上的朗肯主動土壓力的計算公式為：

式中，n為計算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù).

易得pa(z)為有第一類間斷點的跳躍間斷點，且在各分區(qū)區(qū)間為線性函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長度上的朗肯總主動土壓力為墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pa(z)在區(qū)間[0,H]內(nèi)的積分［9］，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

1.4 黏性成層土的土壓力計算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯主動土壓力原理，由1.2節(jié)可得，黏性成層土的主動土壓力為

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

在黏性成層土中，由于黏聚力c的存在，填土與墻背間有z0深度的裂縫.裂縫深度可能在第一層土之內(nèi)；也可能貫穿第一層土，進入以下土層.裂縫深度z0處土壓力為0，即pa(z)=0，則有：

（1）z0在第一層土內(nèi)時：

（2）z0在第二層土內(nèi)時：

（3）z0在第三層土內(nèi)時：

（4）z0在第i層土內(nèi)時：

式中，Kai為第i層土的主動土壓力系數(shù).

實際工程中，z0常在第一層或第二層土中.若墻高為H，則作用于單位墻長度上的朗肯總主動土壓力為z0以下墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pa(z)在區(qū)間[z0,H]內(nèi)的積分，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù)，j為裂縫深度z0所在土層數(shù).

2 成層土的朗肯被動土壓力計算

2.1 成層土被動土壓力計算方法

根據(jù)朗肯被動土壓力原理［4］，可得在土層深度z處作用于單位墻長度上的朗肯被動土壓力的計算公式為：

式中，pp(z)為土層深度z處朗肯被動土壓力；Kp(z)為土層深度z處朗肯被動土壓力系數(shù)；σ(z)為土層深度z處土的自重應力.pp(z)、Kp(z)和σ(z)均為土層深度z的函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長度上的朗肯總被動土壓力Ep(H)可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù)，zi-1為第i層土的層頂深度，zi為第i層土的層底深度.

2.2 成層土被動土壓力系數(shù)的分段函數(shù)表示方法

由1.2節(jié)可得，各層土參數(shù)的分段函數(shù)的分段區(qū)間相同，它們組成的復合函數(shù)也為分段函數(shù)，且分段區(qū)間不變.各層土的朗肯被動土壓力系數(shù)可表示為土層深度z的函數(shù)，即Kp=tan2(45°+)和φ(z)的復合函數(shù)，可得：

每層土的內(nèi)摩擦角φ為常值，其土壓力系數(shù)Kp亦為常值，則Kp(z)為有第一類間斷點中的跳躍間斷點，且在各分區(qū)區(qū)間為常值函數(shù).

2.3 無黏性成層土被動土壓力計算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯被動土壓力原理，由2.2節(jié)可得，在土層深度z處作用于單位墻長度上的朗肯被動土壓力的計算公式為：

式中，n為計算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù).

易得pp(z)為有第一類間斷點中的跳躍間斷點，且在各分區(qū)區(qū)間為線性函數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長度上的朗肯總被動土壓力為墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pp(z)在區(qū)間[0,H]內(nèi)的積分，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達式為：

式中：n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

2.4 黏性成層土被動土壓力計算的分段函數(shù)方法

根據(jù)朗肯被動土壓力原理，由2.2節(jié)可得，在土層深度z處作用于單位墻長度上的朗肯被動土壓力的計算公式為：

式中，n為計算土層深度z范圍內(nèi)總土層數(shù).

若墻高為H，則作用于單位墻長度上的朗肯總被動土壓力為墻高范圍內(nèi)土壓力的合力，即pp(z)在區(qū)間[0,H]內(nèi)的積分，可表示為墻高H的積分上限函數(shù)，其表達式為：

式中，n為墻高H范圍內(nèi)總土層數(shù).

3 工程實例

3.1 常規(guī)分層法土壓力計算

某城市主干道下穿京廣鐵路，主體結(jié)構(gòu)為地道橋，采用頂推法施工.根據(jù)設計縱斷面，路基最大設計挖深8.5 m.施工時，考慮地道橋底板和滑板影響，最大挖土深度為11.5 m.由于項目位于城區(qū)，不具備放坡條件，施工防護時需計算不同挖深的主動土壓力，以便采用不同的防護形式.地質(zhì)情況及分層法計算結(jié)果見表1，其中z0=2.58 m.

表1 土壓力計算表

3.2 分段函數(shù)法土壓力計算

采用Maple軟件以分段函數(shù)法進行朗肯主動土壓力計算.由土的參數(shù)到自重應力和土壓力系數(shù)，再到土壓力，最后到總土壓力，需要數(shù)次分段函數(shù)的復合和積分，在計算總土壓力時，純代數(shù)計算方式將導致軟件運行緩慢.在每次函數(shù)復合和積分時用simplify()命令使各中間參數(shù)的分段函數(shù)數(shù)值化，能避免軟件計算的復雜性.經(jīng)過計算，本案例土壓力以土層深度z為自變量的數(shù)值函數(shù)，其表達式為：

墻高為H時，總土壓力以墻高H為自變量的數(shù)值函數(shù)為：

用朗肯主動土壓力函數(shù)pa(z)和朗肯主動總土壓力函數(shù)Ea(H)求得的主動土壓力，與分層法計算的主動土壓力結(jié)果一致.

若墻高為H時，基于作用在單位墻長上的總土壓力在作用點處擋墻上下方墻身的土壓力相等的事實，即可利用Maple求解方程得作用點到墻頂?shù)木嚯xh，則作用點在H-h處.若H=15 m時，解得h=11.48 m，則總土壓力合力作用點在3.52 m處.

4 結(jié)語

（1）基于朗肯土壓力原理，推導出成層土的單位墻長上土壓力pa(pp)和總土壓力Ea(Ep)的代數(shù)表達式.

（2）基于pa(z)=0，求得朗肯主動土壓力計算時墻頂裂縫深度z0的代數(shù)表達式.

（3）利用作用在單位墻長上的總土壓力在作用點處擋墻上下方墻身的土壓力相等的事實，給出了求土壓力作用點的計算方法.