周長芹，毛北行，王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015)

0 引言

混沌系統(tǒng)具有對初始條件及參數(shù)變化的敏感性，因而備受人們關(guān)注，其在保密通訊、信號與處理、經(jīng)濟學(xué)、物理學(xué)及控制學(xué)科等領(lǐng)域被廣為應(yīng)用.伴隨著分數(shù)階微積分這一學(xué)科的發(fā)展，越來越多的科研人員逐漸關(guān)注到此類同步控制并把該問題作為研究的熱點[1-3].文獻[4]進行了分數(shù)階Duffling系統(tǒng)混沌終端滑模同步問題的研究；文獻[5]對分數(shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的適應(yīng)轉(zhuǎn)移滑模同步問題進行了研究；文獻[6]運用了兩種不同的滑模方法，對分數(shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)的同步問題進行了探討；文獻[7]給出分數(shù)階比例積分滑模面的設(shè)計與構(gòu)造；文獻[8]研究了一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間同步；文獻[9]對一類分數(shù)階時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限時間同步問題進行了研究與分析.同時，很多專家學(xué)者對Like-Bao系統(tǒng)的同步控制進行了研究.文獻[10]基于比例積分滑模方法，對分數(shù)階超混沌Bao系統(tǒng)同步進行了研究；文獻[11]給出了超混沌Like-Bao系統(tǒng)的混沌運動及動力學(xué)分析方面的研究結(jié)果；文獻[12]探討了一類超混沌Bao混沌系統(tǒng)的線性反饋同步問題.本文構(gòu)造了新的整數(shù)階滑模函數(shù)以及自適應(yīng)規(guī)則，對分數(shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)滑模同步問題進行了研究，得到分數(shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的充分條件.

1 系統(tǒng)描述和主要研究結(jié)果

定義1[13]Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義為

分數(shù)階Like-Bao系統(tǒng)描述為[14]

(1)

當(dāng)a=38，b=6，c=20，k=2，q=0.896時，吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)吸引子

設(shè)計從系統(tǒng)如下：

(2)

其中：φ(t)=[x1，y1，z1，ω1]T，Δfi(φ(t))為有界不確定項，di(t)為有界外擾.定義e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，e4=ω1-ω，從而有

(3)

假設(shè)1 存在未知常量mi，ni(mi，ni>0)，滿足|Δfi(φ(t))|≤mi，|di(t)|≤ni.

定理1 構(gòu)造滑模面si(t)=ei，控制輸入為

自適應(yīng)規(guī)則為

因為si(t)=ei，故

整數(shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)可描述為

(4)

從系統(tǒng)設(shè)計為

(5)

其中：φ(t)=[x1，y1，z1，ω1]T，Δfi(φ(t))為有界不確定項，di(t)為有界外擾.定義e1=x1-x，e2=y1-y，e3=z1-z，e4=ω1-ω，從而有

(6)

定理2 構(gòu)造滑模面si(t)=ei，控制輸入

自適應(yīng)規(guī)則為

由于si(t)=ei，故

兩邊積分得

由引理3得到si(t)→0，從而ei(t)→0.

2 數(shù)值仿真

定理1與定理2的誤差分別見圖2與圖3.通過觀察可得，初始時誤差較大，與原點的距離遠，但隨后誤差曲線距離原點越來越近并且逐漸趨于一致.

圖2 定理1的系統(tǒng)誤差

圖3 定理2的系統(tǒng)誤差

3 結(jié)論

通過構(gòu)造一種整數(shù)階滑模函數(shù)和自適應(yīng)控制規(guī)則，對不確定分數(shù)階Like-Bao系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問題進行了研究，得出了系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的兩個充分條件.結(jié)論說明在滿足一定條件的前提下，不確定分數(shù)階Like-Bao混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)可取得自適應(yīng)滑模同步.MATLAB仿真技術(shù)也驗證了這一結(jié)論.