李 易

(華東交通大學，江西 南昌 330013)

隨著中國資本市場的發(fā)展與開放,股票市場在金融領(lǐng)域中的地位越來越高。股票價格的波動可以作為衡量一個國家經(jīng)濟發(fā)展的動態(tài)變量,但是其價格的變動通常對時間這一因素尤其敏感,結(jié)合理論背景分析,因為時間是股票價格變動的解釋變量,所以股價的波動可以看作是典型的時間序列數(shù)據(jù)。在大多數(shù)文獻中,研究時間序列所使用的建模方法是自回歸移動平均模型(以下簡稱ARMA)。ARMA模型是一種綜合性模型,其特點使ARMA模型所包含的信息更加全面,所解釋的信息也更加精確，而且該模型處理平穩(wěn)的時間序列或者非平穩(wěn)的時間序列都有較好的效果。因此本文通過建立ARMA模型對古井貢酒的開盤價歷史信息進行擬合,并對其未來三天的開盤價進行預測。

一、ARMA模型簡介及其建模步驟

(一)ARMA模型的背景知識介紹

ARMA在文獻研究中被廣泛應用于對時間序列的分析預測,由于大多數(shù)經(jīng)濟金融數(shù)據(jù)滿足時間序列的特征,因此該模型尤其適用于研究經(jīng)濟學問題,是擬合滿足平穩(wěn)性約束的時間序列最經(jīng)典的模型。ARMA 模型是由 AR 自回歸過程和 MA 移動平均過程組成的自回歸移動平均模型,其基本思想是通過揭示歷史時間序列的運行規(guī)律,對未來的事物發(fā)展進行預測。

在 ARMA(p,q)模型的參數(shù)中,p代表自回歸部分的滯后階數(shù),q代表移動平均部分的滯后階數(shù)。通常ARMA(p,q)模型的形式可以表示為:

xt=φ0+φ1Xt-1+…+φpXt-p+εt-θ1εt-1-…-θpεt-p

(1)

其中,{εt}是白噪聲序列。AR模型和MA模型都是特殊的ARMA(p,q)模型。當p取值為0時,ARMA(0,q)代表的本質(zhì)含義就是MA(q);當q取值為0時,ARMA(p,0)代表的本質(zhì)含義就是AR(p)。但是,如果所要研究的時間序列數(shù)據(jù)不滿足平穩(wěn)條件的限制,此時便要通過d階差分等方法使其滿足平穩(wěn)條件的約束,之后才能對此序列進行分析與研究。

(二)ARMA模型的定階方法

ARMA模型的定階方法主要是通過觀察自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖,并且根據(jù)其系數(shù)的特征顯示去選擇適合的階數(shù),如表1所示。對已經(jīng)滿足平穩(wěn)性要求的時間序列,可以結(jié)合相關(guān)理論與該時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的特征,選擇合適的模型與滯后階數(shù)進行參數(shù)估計。但是由于樣本具有隨機性,在現(xiàn)實的時間序列建模實踐中情況較為復雜,自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖的階數(shù)可能并不會出現(xiàn)完全符合理論的情形,為了選出一個更加合適的模型,這時便要選取可能的階數(shù)建立多個ARMA(p,q)模型,并根據(jù)信息準則AIC、SBC、HQ選擇三者統(tǒng)計量最小的模型作為確定模型的階數(shù),構(gòu)建符合該序列的最優(yōu)擬合模型。

表1 模型特征表

(三)ARMA模型建模步驟

若要深入分析該時間序列數(shù)據(jù),首先要確定該時間序列是否滿足平穩(wěn)性條件的約束,因為對于滿足平穩(wěn)性要求的時間序列與不滿足平穩(wěn)性要求的時間序列,所要使用的分析工具是不一樣的,本文利用ARMA模型所針對的時間序列必須滿足平穩(wěn)性要求。對于給定的時間序列進行ARMA模型建模,通常步驟如下:

1.平穩(wěn)性檢驗。對原序列進行平穩(wěn)性檢驗,如果序列不滿足平穩(wěn)性條件,可以通過差分變換或者其他變換方法使該序列滿足時間序列平穩(wěn)性條件的要求。

2.模型的定階。利用軟件計算可以得到描述序列特征的統(tǒng)計量(如自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)等),之后再通過信息準則等方法確定ARMA模型的滯后階數(shù)p和q。

3.參數(shù)的估計與檢驗。確定好最優(yōu)模型形式后,通過使用EViews等統(tǒng)計軟件進行非線性最小二乘法或極大似然估計法估計計算模型所含有的未知參數(shù),并檢驗模型參數(shù)的t統(tǒng)計量是否滿足臨界值的標準,以及模型本身的合理性。

4.模型的檢驗。檢驗所構(gòu)建模型的殘差序列是否是白噪聲序列,可用檢驗序列相關(guān)的方法檢驗殘差序列的純隨機性,或者觀察殘差序列的自相關(guān)圖以及偏自相關(guān)圖。

5.模型的預測。利用經(jīng)過以上步驟擬合出來的模型預測該時間序列在未來的趨勢走向。

二、股票價格預測的實證分析

本文通過Wind數(shù)據(jù)庫選取了古井貢酒(000596)從2020 年 10 月 26 日至 2021 年 9月 21日的股票交易日開盤價數(shù)據(jù),共237個樣本，運用 EViews 10 軟件對此時間序列進行建模分析，并對未來三天股票的開盤價進行預測。

(一)原始數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理

因為影響股價的因素錯綜復雜,導致股票價格波動較大,故股票價格的時間序列數(shù)據(jù)往往不能滿足平穩(wěn)性要求,可能需要借助差分、對數(shù)化等方法使該序列滿足平穩(wěn)性要求,以便對數(shù)據(jù)進行后續(xù)的深入分析。首先,本文通過EViews 10軟件畫出原始序列{Y}的時間序列圖,如圖1所示。由圖1可以看出,古井貢酒股票的開盤價原始數(shù)據(jù){Y}在這段期間的長期折線圖趨勢并沒有明顯規(guī)律,短期內(nèi)波動也比較大,根據(jù)折線圖可以大致推斷出該序列數(shù)據(jù)可能并不滿足平穩(wěn)性條件。

圖1 古井貢酒股票交易日開盤價

為了更加準確地驗證其是否滿足平穩(wěn)性,需要對該序列進行ADF單位根檢驗,由于原始數(shù)據(jù)并未表現(xiàn)出確定的時間線性趨勢,故檢驗只包含截距項的模型,對該模型進行ADF單位根檢驗，結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出，在5%的顯著性水平下,其p值大于0.05,故原始的時間序列數(shù)據(jù)不滿足平穩(wěn)性條件。

圖2 ADF單位根檢驗

若要充分判斷該時間序列的平穩(wěn)性,還可以對該時間序列數(shù)據(jù)的樣本自相關(guān)圖和樣本偏自相關(guān)圖進行觀察,如圖3所示。由圖3可以看出,其相關(guān)系數(shù)的減弱比較緩慢,因此可以確定該時間序列是非平穩(wěn)的時間序列。

圖3 序列{Y}平穩(wěn)性檢驗結(jié)果

對原始數(shù)據(jù)的時間序列進行一階差分處理之后,利用軟件畫出該差分序列的折線趨勢圖,如圖4所示。由圖4可以看出，差分序列的趨勢明顯比原序列的趨勢更加平緩穩(wěn)定,因此推斷出該序列可能屬于平穩(wěn)的時間序列。

圖4 一階差分序列的時間序列圖

然而僅通過觀察并不能準確判斷差分后的時間序列{SY}的平穩(wěn)性,為了驗證其平穩(wěn)性,分別選擇無截距項無趨勢項、有截距項無趨勢項、有截距項有趨勢項進行ADF單位根檢驗，結(jié)果分別如圖5、圖6、圖7所示?？梢钥闯觯銩DF test statistic值分別為-16.324 520、-16.290 650和-16.273 490,p值分別為0.000 0、0.000 0、0.000 0,經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)三種情況的單位根檢驗的p值均小于 0.05,拒絕原假設(shè)。因此,需要通過利用最小的AIC、SC、HQ值判斷哪種模型最合適。無截距項無趨勢項的AIC、SC、HQ值分別為6.948 229、6.962 951、6.954 164;有截距項無趨勢項的AIC、SC、HQ值分別為6.956 671、6.986 114、6.968 541;有截距項有趨勢項的AIC、SC、HQ值分別為6.964 013、7.008 178、6.981 818。經(jīng)過判斷,綜合三個模型的AIC、SC、HQ值會發(fā)現(xiàn)，無截距項無趨勢項模型的AIC、SC、HQ值比較是最小的,因此選擇無截距項無趨勢項的模型。

圖5 無截距項無趨勢項的ADF單位根檢驗

圖6 有截距項無趨勢項的ADF單位根檢驗

圖7 有截距項有趨勢項的ADF單位根檢驗

(二)對模型的識別

一階差分后的時間序列{SY}的樣本自相關(guān)圖和樣本的偏自相關(guān)圖兩者都沒有截尾特征,因此滿足ARMA建模的定義條件。但如果要獲取準確的滯后階數(shù)p和q的值,還需要利用AIC信息準則、SC信息準則和t統(tǒng)計量進行具體判斷，如圖8所示。

圖8 序列{SY}的樣本自相關(guān)圖和樣本偏自相關(guān)圖

根據(jù)以往的實證經(jīng)驗可以得知,大多數(shù)金融與經(jīng)濟變量的模型滿足p值與q值都≤2的分析模型,由于該序列是一階差分后的時間序列,故I取值為1。因此本文選取模型階數(shù)覆蓋p≤2和q≤2的共4種模型進行比較,以判斷最佳的模型階數(shù)。這4種模型分別為ARIMA(1,1,1)、 ARIMA(1,1,2)、ARIMA(2,1,1)、ARIMA(2,1,2)。

選擇考察變量為一階差分后的序列數(shù)據(jù),考察樣本的范圍為2020年10月26日至2021年9月21日。綜合不同滯后期模型的t統(tǒng)計量與信息準則AIC值、SC值、HQ值等多項檢驗指標,對比模型各個統(tǒng)計量的標準臨界值。經(jīng)比較得出:ARIMA(2,1,2)模型中AR(1)、AR(2)和MA(1)、MA(2)的系數(shù)表現(xiàn)都尤其顯著,并且此模型的AIC值、SC值、HQ值都相對較小,結(jié)合信息準則等方法,選擇ARIMA(2,1,2)模型作為該序列的最優(yōu)模型，如圖9所示。

ARIMA(1,1,1)

(三)開盤價序列模型的建立與參數(shù)估計

根據(jù)以上一系列檢驗判定,選擇 ARIMA(2,1,2)模型作為最佳預測模型,對該模型的各項參數(shù)進行估計計算,如圖10所示。根據(jù)圖10結(jié)果,模型 ARIMA(2,1,2)的各項參數(shù)對應的p值全部為0,小于0.05,該模型參數(shù)顯著有效。根據(jù)參數(shù)估計,可以寫出模型的表達式為:

圖10 模型系數(shù)圖

Yt=-0.084Yt-1+0.217Yt-2+0.867Yt-3+εt+0.772εt-1+1.031εt-2

(2)

其中{εt}為殘差序列。

(四)開盤價序列模型的殘差檢驗

完成上述參數(shù)估計步驟后,最關(guān)鍵的步驟就是要對該擬合模型的殘差序列進行檢驗,觀察其是否滿足白噪聲的定義條件,因為只有該模型的殘差序列為白噪聲,才可說明構(gòu)建的ARMA模型已經(jīng)把該序列的關(guān)聯(lián)信息都提取出來了。白噪聲過程的特點在于其純隨機:各個時期的隨機變量沒有相關(guān)性,該隨機性說明已經(jīng)沒有足夠的關(guān)聯(lián)信息來支撐模型構(gòu)建。因此，可以把白噪聲序列特殊的性質(zhì)作為判斷此擬合模型是否構(gòu)建合理的標準。若發(fā)現(xiàn)該殘差序列各個時期的隨機變量仍具有相關(guān)性,代表該殘差序列仍含有相關(guān)信息,說明需要繼續(xù)改進構(gòu)建的ARMA模型;如果殘差序列是白噪聲序列,則說明構(gòu)建的ARMA模型已經(jīng)把關(guān)聯(lián)信息都提取出來了。對殘差序列進行白噪聲檢驗結(jié)果如圖11所示。由圖11可以看出，p值對應列所顯示的概率值全部大于0.05,表明不拒絕殘差為純隨機序列的原假設(shè),意味著殘差中不再包含該時間序列的關(guān)聯(lián)信息。故推斷出所構(gòu)建的ARIMA(2,1,2)模型可以提取該時間序列數(shù)據(jù)的全部關(guān)聯(lián)信息,可以作為模擬古井貢酒股票開盤價發(fā)展規(guī)律的最優(yōu)模型。

圖11 殘差序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

(五)對開盤價序列進行預測分析

使用最優(yōu)模型對2020年10月26日至2021年9月21日的數(shù)據(jù)進行擬合,比較擬合值與輸入的真實值并繪制折線圖，如圖12所示。由圖12可以看出，實際值{Y}與預測值{YF}趨勢高度相似,模擬效果良好。

圖12 序列{Y}和序列{YF}的時間序列圖

利用所構(gòu)建的ARMA模型對古井貢酒股票的日開盤價進行預測,短期內(nèi)得到的結(jié)果較為精確;但是由于投資者預期、政府出臺的政策以及公司自身所具有的非系統(tǒng)性風險等因素都會干擾股票價格的走勢波動,故長期預測的結(jié)果誤差比較大。所以本文只是對股票價格波動做出較短期限內(nèi)的預測,預測2021年9月22日至2021年9月24日的開盤價,如表2所示。

表2 開盤價與預測價結(jié)果

由表2可以看出,使用該模型預測得到的古井貢酒股票2021年9月22日至2021年9月24日的開盤價分別為217.53,215.19,206.68,誤差比分別為0.016 5,0.040 6,0.005 5。不難發(fā)現(xiàn),預測值和實際值之間的誤差比相對較小。由此也進一步驗證了本文建立的模型是較為準確的,對古井貢酒股票日開盤價的預測相對準確。

三、結(jié)語

本文通過應用于時間序列分析的ARMA模型對古井貢酒(000596)股票的開盤價進行實證分析,在此基礎(chǔ)上使用所建立的最優(yōu)ARMA模型對其未來三天的開盤價進行預測。

首先,針對選取的原始數(shù)據(jù)制作趨勢圖后發(fā)現(xiàn)，該原始數(shù)據(jù)具有下降的長期趨勢,并在短期內(nèi)呈現(xiàn)不斷波動的特點。根據(jù)趨勢圖的走勢可以大致分析出，該時間序列數(shù)據(jù)并非一組平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù),故隨后對該數(shù)據(jù)進行差分處理以使該序列滿足平穩(wěn)性條件的要求。其次,根據(jù)一階差分后數(shù)據(jù)的自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖,結(jié)合信息準則AIC、SC、HQ，t統(tǒng)計量等相關(guān)統(tǒng)計量對該模型進行階數(shù)與系數(shù)的估計確定,并根據(jù)最終估計出的相關(guān)系數(shù)寫出該模型的表達式。再次，通過對該模型的殘差序列進行檢驗,判斷其是否滿足白噪聲序列的性質(zhì),從而判斷該模型的建模是否適用于預測未來的股價趨勢。最后,通過該模型對古井貢酒開盤價進行預測并與實際值進行比較,由于預測走勢圖與實際走勢圖的擬合程度非常高,所以該模型在短期內(nèi)的預測效果優(yōu)良。

綜上所述,ARMA模型確實是分析預測時間序列的一種有效的工具方法,可以將其應用在經(jīng)濟金融投資領(lǐng)域中,對中小投資者的短期投資活動提供較為科學的參考價值。但是,股票價格的時間序列是非平穩(wěn)的時間序列,因此對其進行差分后可能會損失很多重要信息,而且股票價格的長期趨勢受到外部沖擊的影響較大，如國際趨勢變化、國內(nèi)政策變化等各種不確定因素都會干擾股票價格的變動，而短期預測受到干擾因素的影響較小。因此ARMA模型只是適用于短期預測,并不能精確擬合股票價格的長期趨勢。要想分析預測變量的長期變化,還需要設(shè)計更加精確、細致的模型。