曾月迪，汪鎮(zhèn)，羅蘭

(莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建莆田 351100)

近世代數(shù)作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課程，是以研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)為中心的一門抽象理論學(xué)科[1]。近世代數(shù)具有高度抽象性，公理化方法一直在這個課程高度呈現(xiàn)。從小學(xué)、中學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識到大學(xué)的數(shù)學(xué)知識，這其中有很多都以近世代數(shù)的例子存在，其中所蘊(yùn)含的思想、理論和方法在近世代數(shù)得到延拓和提高，即近世代數(shù)本身體現(xiàn)了知識的升華。因此，它是中學(xué)代數(shù)、高等代數(shù)、解析幾何的延拓和提高。結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[2]和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》[3]中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在近世代數(shù)教學(xué)中融入中學(xué)內(nèi)容與實際應(yīng)用，有利于學(xué)生正確認(rèn)識特殊與一般、認(rèn)識事物的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師這一職業(yè)特點的必然要求，為以后成為一名合格的中小學(xué)教師打下基礎(chǔ)。

近世代數(shù)主要的知識點群、環(huán)、域極其抽象，又廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)其他方向中，如代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)涞?。針對近世代?shù)課程的教學(xué)改革和實踐案例，近年來有桑彩麗[4]從教學(xué)方法與內(nèi)容進(jìn)行的教學(xué)改革，鄭華等[5]從Galois 理論切入近世代數(shù)教學(xué)的改革，胡紅梅[6]從思政方向入手進(jìn)行近世代數(shù)的改革，賈浩強(qiáng)等[7]從反例的觀點研究近世代數(shù)。本文從教學(xué)進(jìn)程逐步探索近世代數(shù)的教學(xué)，符合師范專業(yè)的教學(xué)理念，也是教學(xué)過程中迫切需要探索的重要方法之一。

1 近世代數(shù)教學(xué)改革的實施路徑

1.1 開篇注重歷史導(dǎo)入

大部分?jǐn)?shù)學(xué)的中心問題是圍繞著解方程而展開的，近世代數(shù)如此抽象的一門課，也是圍繞著代數(shù)方程的求解而展開，從而創(chuàng)立了群、環(huán)、域。

其進(jìn)程為：一元二次的求根公式（①學(xué)生熟悉，②聯(lián)系中學(xué)教學(xué)內(nèi)容）→三次、四次方程的求根公式（①數(shù)學(xué)故事導(dǎo)入：塔塔利亞求根的比賽等故事，②類比數(shù)學(xué)方法）→更高次的一般方程的求根公式（Lagrange試圖用類比的方法將三、四次方程根的根式解法推廣到更高次，但沒有解決）→五次及五次以上方程不能用根式求解的問題（1824年，Abel 嚴(yán)格證明）→多項式方程求根公式的存在性問題（1832年，Galois 解決了多項式方程求根公式的存在性問題）→近世代數(shù)：法國數(shù)學(xué)家Galois 運(yùn)用群（置換群）的思想解決了多項式方程求根公式的存在性問題，從而創(chuàng)立了群、環(huán)、域，使代數(shù)學(xué)成了研究代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)，進(jìn)而把代數(shù)學(xué)推向了抽象代數(shù)時期（也稱為近世代數(shù)）[8]。

1.2 課程進(jìn)程注重抓主線

群、環(huán)沿著“定義→內(nèi)部性質(zhì)→子結(jié)構(gòu)、商結(jié)構(gòu)→兩個代數(shù)系統(tǒng)的聯(lián)系”這個主線展開，在這個主線過程中會展現(xiàn)出許多典型的例子。

最后一章的域是特殊的一類環(huán)，有許多的應(yīng)用，也是“多項式方程求根公式的解決方法”。這與開篇形成閉環(huán)，因此自成一章，主線是擴(kuò)域。

（1）群是近世代數(shù)中代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，其主線展開為：群的定義→群的內(nèi)部性質(zhì)：交換性、有限性、階等→群的子結(jié)構(gòu)、商結(jié)構(gòu)：子群（格）、正規(guī)子群與商群→兩個群的聯(lián)系：群同態(tài)與同構(gòu)。

（2）環(huán)這個代數(shù)系統(tǒng)是在“加法”交換群的基礎(chǔ)上，再引入滿足封閉、結(jié)合且與“加法”分配的“乘法”代數(shù)運(yùn)算。其主線展開為：環(huán)的定義→環(huán)的內(nèi)部性質(zhì)→環(huán)的子結(jié)構(gòu)、商結(jié)構(gòu)：子環(huán)、理想與剩余類（商）環(huán)→兩個環(huán)的聯(lián)系：環(huán)同態(tài)與同構(gòu)。由于環(huán)對于“加法”已經(jīng)是交換群，所以內(nèi)部的元素性質(zhì)以考查“乘法”為主，即關(guān)于“乘法”：是否有單位元、滿足交換性、有零因子、有逆元，也就是考慮非零元素關(guān)于“乘法”是否構(gòu)成一個群和構(gòu)成一個什么樣的群？從而形成各種不同的特殊環(huán)，如有單位元環(huán)、無單位元環(huán)、交換環(huán)、無零因子環(huán)、整環(huán)、唯一分解環(huán)、主理想環(huán)等。

（3）域關(guān)于“加法”是交換群，而其中非零元素關(guān)于“乘法”構(gòu)成交換群，因此域以群和環(huán)為基礎(chǔ)，以單代數(shù)擴(kuò)域、單超越擴(kuò)域開始，逐步擴(kuò)張。

1.3 課程內(nèi)容注重實例，解釋抽象

利用從小學(xué)就熟悉的“數(shù)”與先修課程的實際例子，在課程的主線上逐步解釋近世代數(shù)中的抽象概念，讓學(xué)生感受升華的概念與落地的例子，從而消除學(xué)習(xí)抽象概念的畏懼心理。

接下來記：整數(shù)Z，有理數(shù)Q，實數(shù)R，復(fù)數(shù)C，非零整數(shù)Z*，非零有理數(shù)Q*，非零實數(shù)R*，模n 的剩余類Zn。

（1）群根據(jù)定義再結(jié)合內(nèi)部性質(zhì)，從構(gòu)不成群的例子出發(fā)到各種特殊群：交換（有限、非有限）群、非交換（有限、非有限）群、循環(huán)群、非循環(huán)群等，逐一給予實例說明。例如不是群的例子：{Z,-}不是群（不滿足結(jié)合率）；{Z*,×}不是群（沒有逆元）等。交換有限群的例子：{Zn，+}、xn=1 的根關(guān)于乘法所構(gòu)成的群；交換非有限群的例子有：{Z，+}、{Q，+}、{R，+}、{C，+}、{Q*，×}、{R*，×}、解析幾何中的旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的群、高等代數(shù)中m ×n 矩陣關(guān)于“加法”所構(gòu)成的群、高等代數(shù)中n 維向量關(guān)于“加法”所構(gòu)成的群、高等代數(shù)或數(shù)學(xué)分析中的多項式關(guān)于“加法”所構(gòu)成的群。非交換有限群的例子：置換群Sn；非交換非有限群的例子有：解析幾何中的平移與旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的群、高等代數(shù)中n 級可逆矩陣關(guān)于“乘法”所構(gòu)成的群、高等代數(shù)中n 級行列式為1 的矩陣關(guān)于“乘法”所構(gòu)成的群。進(jìn)一步結(jié)合主線“群的子結(jié)構(gòu)、商結(jié)構(gòu)→兩個群的聯(lián)系”給出相應(yīng)說明。例如群的子結(jié)構(gòu)例子：{Z,+}的子群有0、{nZ,+}、本身的子群結(jié)構(gòu)。群的商結(jié)構(gòu)例子：{Z,+}的商群{Zn,+}。群同態(tài)與同構(gòu)的例子：高等代數(shù)中n 維線性空間的同態(tài)保持兩個運(yùn)算，其實是群同態(tài)中的保持“加法”運(yùn)算。利用線性空間同態(tài)把零元映射到零元，自然聯(lián)系到群的同態(tài)的性質(zhì)把單位元映射到單位元；進(jìn)而拓展到同態(tài)的核與同態(tài)基本定理。

（2）“加法”交換群“增加”一個“乘法”運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)為環(huán)，因此它的例子是在上一章交換群的基礎(chǔ)上形成的。例如{Z，+，×}、{Q，+，×}、{R，+，×}、{C，+，×}為無零因子有單位元的交換環(huán)；{Zn，+，×}中，當(dāng)n 為合數(shù)時為有零因子的環(huán)，當(dāng)n 為素數(shù)時為無零因子環(huán)；高等代數(shù)中的多項式環(huán)為有單位元交換環(huán)；{2Z，+，×}為無單位元交換環(huán)；高等代數(shù)中n 級矩陣關(guān)于“加法”與“乘法”所構(gòu)成的非交換環(huán)；數(shù)學(xué)分析中的冪級數(shù)關(guān)于“加法”與“乘法”所構(gòu)成的交換環(huán)等。

類比于群的主線，得出環(huán)的子結(jié)構(gòu)、商結(jié)構(gòu)、同態(tài)等的例子與性質(zhì)，其中各種“數(shù)”構(gòu)成的環(huán)、多項式環(huán)與矩陣環(huán)同樣起到非常重要的作用。

近世代數(shù)中有{歐式環(huán)}∈{主理想環(huán)}∈{唯一分解環(huán)}∈{整環(huán)}，可以從各種“數(shù)”構(gòu)成的環(huán)與多項式環(huán)給出其反例。例如是整數(shù)}是整環(huán)但不是唯一分解環(huán)[9]，其中4 不能唯一分解；Z[x]是唯一分解環(huán)但不是主理想環(huán)，其中（2，x）不是主理想環(huán)[9]；是整數(shù)}是主理想環(huán)但不是歐式環(huán)[10]；F為一個域，多項式環(huán)F[x]是歐式環(huán)[9]，F(xiàn)[x，y]是唯一分解環(huán)但不是主理想環(huán)[9]。

（3）域的典型例子為有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域、Zp（p 為素數(shù)）有限域等，由域根據(jù)多項式等方法進(jìn)行擴(kuò)域。

1.4 注重課程中數(shù)學(xué)思想方法的傳承

1.4.1 等價分類思想方法

近世代數(shù)的基本概念中一定會有等價關(guān)系與集合分類的定義與之間的對應(yīng)關(guān)系，并指出每一類代表元的選取是任意的，即等價分類思想方法。在中學(xué)處理問題時，根據(jù)余數(shù)的不同分類討論是等價分類；高等代數(shù)中：m ×n 矩陣的等價關(guān)系、m ×n 矩陣的相似關(guān)系、n ×n 矩陣的正交相似關(guān)系、n ×n 對稱矩陣的合同關(guān)系等也是等價分類。近世代數(shù)中群G 是利用其子群H 進(jìn)行等價分類，可以分成左陪集或右陪集。一個子群H 的左陪集和右陪集可能不同，但是“一個子群H 的左陪集的個數(shù)和右陪集的個數(shù)相等”[9]。有了這樣的分類，在近世代數(shù)中自然地聯(lián)想到陪集什么時候也構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)，這就形成商結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。

1.4.2 聯(lián)想類比思想方法

在近世代數(shù)的概念與定理證明中，經(jīng)常采用類比聯(lián)想的思維方式。例如：群、環(huán)、域是通過集合中的運(yùn)算組織的代數(shù)系統(tǒng)，從課程主線可以觀察到，根據(jù)群可以聯(lián)想類比出環(huán)、域的結(jié)構(gòu)、分類、性質(zhì)和規(guī)律；而從群同態(tài)基本定理，可以聯(lián)想到環(huán)同態(tài)基本定理。根據(jù)高等代數(shù)的線性變換聯(lián)想到同態(tài)運(yùn)算的性質(zhì)、同態(tài)運(yùn)算的核、同態(tài)運(yùn)算的象等。根據(jù)整數(shù)得到有理數(shù)域的方法，聯(lián)想類比出從一個整環(huán)得到商域的方法。而在定理證明時，聯(lián)想類比也是重要工具，如Lagrange 定理和Sylow 定理的證明[11]。根據(jù)有理數(shù)域擴(kuò)充為實數(shù)域，實數(shù)域擴(kuò)充為復(fù)數(shù)域，聯(lián)想類比近世代數(shù)的代數(shù)擴(kuò)域方法；根據(jù)環(huán)擴(kuò)充為多項式環(huán)，聯(lián)想類比近世代數(shù)的超越擴(kuò)域方法。

1.5 注重課程的優(yōu)雅應(yīng)用

近世代數(shù)道出數(shù)學(xué)的目的——將不同事物之間共性的東西挖掘出來，從而產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)概念和理論[6]。近世代數(shù)內(nèi)容雖然抽象，但其在數(shù)學(xué)其他問題、物理、化學(xué)、計算機(jī)、編碼、信息安全等領(lǐng)域都有應(yīng)用價值。例如，在認(rèn)識群論時，要了解其重要意義——度量事物有對稱性[6]，從而展現(xiàn)群論在物理上的應(yīng)用；在擺出重要有限群例子Zn 時，借助視頻引入RSA 公鑰密碼系統(tǒng)[1]，并給出簡單的基于Zn 使用RSA 公鑰密碼系統(tǒng)加密解密的例子[12]；在群的結(jié)構(gòu)中，把子群與三階魔方相聯(lián)系；在特殊群中，利用對稱群的觀點解釋剛體運(yùn)動[13]；利用群在集合上的作用，討論開關(guān)線路問題：由n 個開關(guān)可以組成多少種本質(zhì)上不同的開關(guān)路線[4,14]？在環(huán)論中不可交換且每個非零元都有逆元的除環(huán)典型例子：四元數(shù)除環(huán)，討論：四元數(shù)除環(huán)在圖像處理中的應(yīng)用[15]；在講到域、分裂域的概念與相關(guān)性質(zhì)時，討論優(yōu)雅解決的古希臘三大尺規(guī)作圖問題。介紹有限域時，介紹有限域上的糾錯碼理論在信息傳輸與信息編碼中扮演的重要角色，并推廣到環(huán)上的編碼理論的應(yīng)用[16,17]。

2 結(jié)語

從近世代數(shù)本質(zhì)出發(fā)，在近世代數(shù)的觀點下，在中小學(xué)中的“數(shù)”與實際應(yīng)用中把近世代數(shù)的內(nèi)容落到實地，把握數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了近世代數(shù)，還能應(yīng)用到將來的教育工作中。