鞏增泰，顏小燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

Zadeh 于2011 年所提出的Z-數(shù)概念[1]，因同時考慮了不確定信息的模糊性和隨機性，顯式地加入了模糊約束的可靠性信息，使得對于不確定信息的描述更加接近人類的思維方式[2-3]. 對于Z-數(shù)所描述的不確定信息的模糊約束，2017 年，Mesiar 等[4-5]進行了改進，提出了基本不確定信息的概念和定義. 基本不確定信息由評估值(或觀測值)和其確定度(可靠性)對不確定信息的模糊性和隨機性進行了刻畫，其特點是不僅以評估值(或觀測值)評價對象的不確定描述，而且以確定度衡量信息描述的質(zhì)量. 即確定度越高，對于評估值或觀測值的確定程度越高，反之確定度越低，對于評估值或觀測值的確定程度越低. 從而基本不確定信息的研究為涉及不確定性數(shù)據(jù)的建模提供了一個更加簡單有效的方法. 由于軟集理論從對象論域和參數(shù)空間2 方面描述對象的不確定性，已成為一種處理眾多不確定性(包括隨機性、模糊性、不完全性和不可區(qū)分性等)的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型[6-9]，并廣泛應(yīng)用于不確定性信息理論、決策分析、模式識別和數(shù)據(jù)挖掘等諸多領(lǐng)域. 2020 年，陶志富等[10]結(jié)合基本不確定信息和軟集理論，提出基本確定信息軟集的概念對軟集進行了新的拓展，并提出了基于層次結(jié)構(gòu)和近似元素聚合的決策方法. 基本不確定信息軟集結(jié)合軟集參數(shù)化的特征和基本不確定信息確定度的優(yōu)點，克服了基本不確定信息參數(shù)化的不足，同時確定度能夠提高信息評價的質(zhì)量. 由吳興利和廖虎昌2019 年所提出的得失優(yōu)勢度評分方法(GLDS)[11]，在多屬性決策中因考慮了得和失2 方面的不確定信息，使得評價結(jié)果比傳統(tǒng)的多屬性決策方法(MCDM)更合理和穩(wěn)定. 從而引起學(xué)者的關(guān)注，并將其應(yīng)用于多屬性決策[12-13]，2020 年廖虎昌等[14]繼而研究了考慮專家偏好特征多屬性群決策問題的基于Choquet 積分的猶豫模糊得失優(yōu)勢度評分方法. GLDS 雖應(yīng)用諸多的模糊環(huán)境中，但很少有學(xué)者關(guān)注基本不確定信息軟集的研究. 本文在提出基本不確定信息軟集得失優(yōu)勢度評分方法的基礎(chǔ)上，研究了其多屬性決策. 同時，考慮到?jīng)Q策者在決策時對所選擇方案的個人期望和前景，以及屬性之間的相互作用，提出并研究了基于前景理論的不確定信息軟集的得失優(yōu)勢度評分方法及其多屬性決策. 最后給出了算例.

1 定義及說明

稱f:[0,1]n→[0,1] 為輸入向量x(n)的聚合函數(shù)，是指其滿足：

2 基本不確定信息軟集GLDS 方法

表1 基本不確定信息軟集的表格表示Tab. 1 Tabular representation of a soft set of basic uncertain information

為基本不確定信息軟集 (S,E) 在U上的基本不確定信息軟矩陣.

由吳興利等于2019 年所提出的得失優(yōu)勢度評分方法（GLDS）[10]，在屬性決策中因考慮了得和失2 方面的不確定信息，使得評價結(jié)果比傳統(tǒng)的多屬性決策方法（MCDM）更合理和穩(wěn)定，其主要方法是使用優(yōu)勢流函數(shù)獲得備選方案之間的優(yōu)勢度. 同時，考慮每個備選方案的群效用值和個體悔恨值.

加權(quán)算法算子表示的是選擇方案的大多數(shù)性能，但是對于一個備選方案，由于完全彌補效應(yīng)，一些屬性上差的性能可以由其他屬性上好的性能彌補，因而不能選擇在屬性上性能太差的方案，即使它整合后性能是好的. 為了克服這個問題，計算備選方案ui關(guān)于所有屬性的損失優(yōu)勢度評分，即總的損失優(yōu)勢度評分為

步驟 4 將2 個聚合模型得到的結(jié)果聚合為一個整體，若僅聚合總獲得優(yōu)勢度評分和總損失優(yōu)勢度評分，則2 個聚合模型的保序性較差，且很難選擇合理的權(quán)向量來度量2 個模型的權(quán)重. 若僅整合由2 個模型得到的序集，則很難準(zhǔn)確地表達(dá)備選方案之間的差異，從而結(jié)果容易產(chǎn)生偏差. 為了增加整體的魯棒性，需考慮優(yōu)勢度得分和隸屬的序集. 將隸屬的序集轉(zhuǎn)化為每個備選方案優(yōu)勢度得分的權(quán)重，繼而獲得每個備選方案的總體得分，即

步驟 5 根據(jù)備選方案總體得分對備選方案進行排序擇優(yōu).

3 基于前景理論的不確定信息軟集的得失優(yōu)勢度評分方法

前景理論[17-18]的基本研究單元是前景，表示各種風(fēng)險結(jié)果. 在多屬性決策過程中，表示決策者對各種“前景”的排序擇優(yōu). 在前景理論中，價值函數(shù)起到重要作用，表示決策結(jié)果和預(yù)期的差異程度，即相對于參照點的益損情況，是一個相對量，其表達(dá)式如下：

在實際的MDCM 問題中，評估過程中涉及相互關(guān)聯(lián)的屬性，基于Sugeno 提出的模糊測度[19], Choquet積分作為聚合算子對解決多屬性決策問題中屬性關(guān)聯(lián)問題具有重要作用[20-21]. 由于相互關(guān)聯(lián)的屬性，則很難得到最優(yōu)解，于是Yu 提出了折中解[22]而不是最優(yōu)解來解決這個問題，主要思想是在正理想解(PIS)和負(fù)理想解(NIS)之間尋找一個折中解. 在本節(jié)中，我們提出在基本不確定信息環(huán)境下的折中值函數(shù)，利用該折中值函數(shù)，提出了一種綜合的距離測度.

在規(guī)范化前景決策矩陣中正理想解(PIS)為：

由綜合的距離測度，我們提出關(guān)于BUISS 的新的優(yōu)勢流函數(shù)，定義如下

4 實例分析與驗證

本節(jié)利用BUISS 的GLDS 方法解決一個實際的最優(yōu)綠色企業(yè)選擇問題[10].

經(jīng)濟的快速發(fā)展提高了人們的生活水平，但造成了資源枯竭，環(huán)境污染和生態(tài)破壞. 可持續(xù)發(fā)展對人類的生存具有重要意義，即要求建立綠色企業(yè)，從設(shè)計、制造、銷售到回收再利用都要滿足特定的環(huán)境要求. 為了促進綠色企業(yè)的創(chuàng)建，中國某市決定從4 個候選企業(yè)u1，u2，u3，u4中選出一個最優(yōu)的綠色企業(yè). 評價屬性為綠色產(chǎn)品與服務(wù)e1( 效益型屬性)、綠色研發(fā)與創(chuàng)新e2( 效益型屬性)、環(huán)境罰款與支出e3(成本型屬性)，邀請3 位專家D1，D2，D3組成小組進行評估. 3 位專家的權(quán)向量為Z=(0.3,0.3,0.4)，3 位專家用BUISS來評估4 個綠色企業(yè)，其中決策矩陣為D11，D12，D13， 對應(yīng)的前景決策矩陣為V11，V12，V13，規(guī)范化前景決策矩陣為V21，V22，V23.

根據(jù)提出的基于前景理論的基本不確定信息軟集的得失優(yōu)勢度評分方法解決綠色企業(yè)選擇的MCDM 問題，決策過程如下：

步驟 1 在規(guī)范化前景決策矩陣V21，V22，V23中，得到PIS 和NIS，從而確定優(yōu)勢流，設(shè) λ =1，表示對損失敏感的中值，設(shè) ω =0.5，計算對應(yīng)的優(yōu)勢流；

步驟 2 由式(17)，對總優(yōu)勢流進行歸一化處理，可得備選方案ui關(guān)于備選方案uv的歸一化優(yōu)勢流，結(jié)果如表2～4 所示；

表2 屬性 e1 下一個備選方案關(guān)于其他備選方案的歸一化優(yōu)勢流Tab. 2 The normalized dominance flows of one alternative with respect to another under criterion e1

步驟 3 確定模糊測度，假設(shè)屬性ej的模糊測度為 μ(e1)=0.4， μ(e2)=0.2， μ(e3)=0.3，可得交互指數(shù)λ=0.383， 從而 μ (e1,e2)=0.631， μ(e1,e3)=0.746， μ(e2,e3)=0.523,μ(e1,e2,e3)=1.

步驟 4 由(19)式，計算備選方案在不同屬性下的總獲得優(yōu)勢度得分，見表5.

表5 備選方案在不同屬性下的獲得優(yōu)勢度得分Tab. 5 The gained dominance scores of the alternatives under different criterion

步驟 5 由(20)式，計算備選方案在不同屬性下的總損失優(yōu)勢度得分，見表6.

表6 備選方案在不同屬性下的損失優(yōu)勢度得分Tab. 6 The lost dominance scores of the alternatives under different criterion

步驟 6 由(21)式將總獲得優(yōu)勢度得分和總損失優(yōu)勢度得分進行聚合，求得備選方案的總得分分別為BS1，BS2，BS3，BS1. 根據(jù)總體得分，對備選方案進行排序并且選擇最優(yōu)的綠色企業(yè)，計算得BS1=〈0.5024;0.7701〉，BS2=〈0.5043;0.7760〉，BS3=〈0.4416;0.7794〉，BS4=〈0.4623;0.7945〉，根據(jù)定義4 對總體得分進行排序，得BS1≥BS2≥BS4≥BS3， 從而可選擇的最優(yōu)綠色企業(yè)為u1.

專家D1的決策矩陣和期望矩陣分別為：

表3 屬性 e2 下一個備選方案關(guān)于其他備選方案的歸一化優(yōu)勢流Tab. 3 The normalized dominance flows of one alternative with respect to another under criterion e2

表4 屬性 e3 下一個備選方案關(guān)于其他備選方案的歸一化優(yōu)勢流Tab. 4 The normalized dominance flows of one alternative with respect to another under criterion e3

5 對比分析

為了表明提出方法的有效性，本文研究了基本不確定信息軟集得失優(yōu)勢度評分方法，進一步提出基于前景理論的基本不確定信息軟集的得失優(yōu)勢度評分方法及其多屬性決策. 2 種方法在排序上存在一定的差異，基于前景理論的基本不確定信息軟集的GLDS 評分方法得到的最差方案是u2， 最優(yōu)方案是u1，基于基本不確定信息軟集的GLDS 評分方法得出最差方案是u3， 最優(yōu)方案是u4. 究其原因，基本不確定信息軟集的GLDS 忽視了決策過程中屬性間的相互依賴性和專家在決策時的心里偏好特征. 在實際的多屬性決策問題中都包含這類特征，而基于前景理論的基本不確定信息軟集的GLDS 評分方法，假設(shè)屬性間是相互依賴的，并且專家完全理性的假設(shè)是無效的，因此該方法在實際生活中更具合理性. 此外，GLDS 方法是一種更有效和穩(wěn)定的決策方法，避免了選擇在某些屬性下性能太差的方案，考慮了得和失2 方面不確定的內(nèi)容，且結(jié)果更為穩(wěn)定合理.

6 結(jié)論與展望

本文研究了基本不確定信息軟集得失優(yōu)勢度的評分方法，考慮到?jīng)Q策者在決策時對所選擇方案的個人期望和前景，以及屬性之間的相互作用，進一步給出了基于前景理論的不確定信息軟集的得失優(yōu)勢度評分方法，解決了多屬性決策問題中各方案的排序擇優(yōu). 以選擇最優(yōu)綠色企業(yè)為例，表明了該方法的可行性和適用性. 隨著對多屬性問題的研究，結(jié)合基本不確定信息軟集和其他決策方法包括TOPSIS 方法，參數(shù)約簡等將是我們下一步的工作. 由于基本不確定信息軟集是一個新穎的概念，對于BUI 之間的運算以及在基本不確定信息背景下的群決策問題中，具有不同長度決策信息的BUI 集合或不同維數(shù)的BUI 向量的應(yīng)用研究，尚在思考中.