周曉宇， 王浩， 李佩軍， 郝琛,2

(1.哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001；2.中國(guó)核電工程有限公司， 北京 100840)

粗網(wǎng)有限差分方法(coarse mesh finite difference，CMFD)[1]因其便于實(shí)施、加速效果好，得以在全堆芯輸運(yùn)計(jì)算中廣泛研究和應(yīng)用。但是，用于加速的低階系統(tǒng)求解往往引入額外的計(jì)算負(fù)擔(dān)，尤其瞬態(tài)模擬，CMFD求解時(shí)間與特征線方法(method of characteristics,MOC)中子輸運(yùn)求解時(shí)間相當(dāng)[2]，且存在數(shù)值不穩(wěn)定性的天然缺陷。為解決上述問(wèn)題，學(xué)者們提出了多種更加穩(wěn)定有效的CMFD方法[3-7]。同時(shí)為有效降低CMFD自身的計(jì)算量，提出針對(duì)能量或空間的多級(jí)加速方法[8-9]。對(duì)于高保真中子輸運(yùn)計(jì)算，無(wú)論采用何種類型的CMFD，僅采用基于柵元尺度的CMFD加速，都存在加速效果的瓶頸。以外迭代為MOC為例，無(wú)論CMFD怎樣收斂，外迭代次數(shù)會(huì)保持在一個(gè)特定的數(shù)值[10]。而對(duì)于高保真中子輸運(yùn)計(jì)算來(lái)說(shuō)，迭代次數(shù)是決定耗時(shí)的關(guān)鍵因素，如何打破這個(gè)瓶頸，在等價(jià)的前提下進(jìn)一步減少迭代次數(shù)，成為限制高保真中子輸運(yùn)方法發(fā)展的新挑戰(zhàn)。為研究有限差分法漸近收斂速度，傅里葉分析是一種廣泛應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)方法[11]，研究結(jié)果表明對(duì)于傳統(tǒng)CMFD方法，當(dāng)適當(dāng)減小光學(xué)厚度時(shí)可獲得更好的收斂性。

本文針對(duì)基于廣義平衡理論的粗網(wǎng)有限差分(gCMFD)方法[3]進(jìn)行了傅里葉分析，依據(jù)傅里葉分析的結(jié)果基于全三維一步法精細(xì)化輸運(yùn)求解程序HNET[12-13]重新構(gòu)建以1/4柵元為單位的幾何建模模塊，并以此為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)1/4柵元尺度gCMFD兩級(jí)加速，從而能夠從降低迭代次數(shù)和減少計(jì)算規(guī)模2個(gè)方面有效降低高保真輸運(yùn)計(jì)算的計(jì)算負(fù)擔(dān)。采用C5G7 RA和VERA Problem #4三維基準(zhǔn)題驗(yàn)證方法的正確性和加速效果，并基于秦山一期壓水堆不同穩(wěn)態(tài)運(yùn)行工況開展1/4模型穩(wěn)態(tài)臨界計(jì)算，綜合驗(yàn)證程序的計(jì)算能力和加速效果。

1 傅里葉分析與兩級(jí)gCMFD加速

在HNET中，目前采用柵元尺度的兩級(jí)gCMFD方法加速2D/1D精細(xì)化中子輸運(yùn)計(jì)算：二維采用MOC計(jì)算為一維NEM和三維多群gCMFD提供粗網(wǎng)均勻化宏觀截面、局部徑向節(jié)塊不連續(xù)因子(nodal discontinuity factor，NDF)和擴(kuò)散系數(shù)修正因子(modified diffusion coefficient factor，MDF)，一維采用NEM計(jì)算為三維gCMFD提供局部軸向NDF和MDF，通過(guò)這些參數(shù)構(gòu)建基于柵元均勻化網(wǎng)格的三維多群CMFD線性系統(tǒng)。再次求解全局三維多群gCMFD，為徑向二維MOC計(jì)算提供柵元的平均中子通量密度、軸向泄漏項(xiàng)、邊界偏中子流和特征值，同時(shí)，為軸向一維NEM計(jì)算提供節(jié)塊的平均通量和徑向泄漏項(xiàng)。然而，多群gCMFD線性系統(tǒng)自身?xiàng)l件數(shù)大，同樣面臨求解耗時(shí)嚴(yán)重的問(wèn)題?；谕瑯拥乃悸?，應(yīng)用gCMFD方法建立與多群gCMFD完全等價(jià)的單群gCMFD線性系統(tǒng)，以加速多群gCMFD的迭代求解過(guò)程，能夠?qū)崿F(xiàn)在能量方面對(duì)多群gCMFD求解的有效加速，進(jìn)而減少其計(jì)算負(fù)擔(dān)。相比于多群gCMFD，單群gCMFD線性系統(tǒng)自身?xiàng)l件數(shù)很低，計(jì)算代價(jià)也很低。因此，不會(huì)增加過(guò)多的額外計(jì)算負(fù)擔(dān)。

1.1 gCMFD傅里葉分析

傅里葉分析是研究有限差分法漸近收斂速度的一種廣泛應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)方法，已被廣泛應(yīng)用于CMFD加速方法的分析。圖1為按照文獻(xiàn)[11]中的方法繪制的gCMFD譜半徑隨著光學(xué)厚度的變化曲線，并以C5G7基準(zhǔn)題提供的宏觀截面和柵元尺寸數(shù)據(jù)，針對(duì)較難收斂的慢化劑材料標(biāo)注平源區(qū)、1/4柵元以及柵元尺度對(duì)應(yīng)的位置。其中，光學(xué)厚度ΣtΔ為分群總截面與柵元尺寸大小的乘積，θ為計(jì)算修正擴(kuò)散系數(shù)時(shí)人為定義的系數(shù)，而使用修正擴(kuò)散系數(shù)可以使 CMFD 的收更加平滑，譜半徑ρ的意義為衰減系數(shù)矩陣的特征值的絕對(duì)值的最大值：

(1)

(2)

若譜半徑小于1，則說(shuō)明收斂；若大于1則說(shuō)明會(huì)發(fā)散；且譜半徑越小說(shuō)明加速效果越好。通過(guò)圖1可以看到，隨著粗網(wǎng)光學(xué)厚度減小，gCMFD譜半徑也在變小，意味著粗網(wǎng)格尺寸越小，收斂性越好，但當(dāng)粗網(wǎng)格尺寸繼續(xù)減小時(shí)，收斂性變化趨于平緩，而實(shí)現(xiàn)難度和計(jì)算負(fù)擔(dān)會(huì)成倍增加。綜合考慮加速收益與實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度，1/4柵元尺度的gCMFD為最值得嘗試的選擇。傅里葉分析的結(jié)果為通過(guò)建立基于1/4柵元的gCMFD加速系統(tǒng)來(lái)進(jìn)一步改善收斂性能提供了重要的理論依據(jù)。

圖1 gCMFD在不同光學(xué)厚度下的譜半徑Fig.1 Spectral radius of gCMFD at different optical thicknesses

1.2 1/4柵元尺度的兩級(jí)gCMFD加速方法

1/4柵元尺度的多群gCMFD方法的推導(dǎo)從多群穩(wěn)態(tài)中子輸運(yùn)方程的形式開始：

∑t,g(r)ψg(r,Ω)=Qg(r,Ω)

(3)

式中：ψ、∑t、Q分別是中子角通量密度、總截面和源項(xiàng)；下標(biāo)g為能群編號(hào)。

將式(3)在空間和1/4 柵元內(nèi)積分即可得到1/4 柵元尺度的3D多群離散擴(kuò)散方程：

(4)

交界面處從中心節(jié)塊c流向鄰近節(jié)塊n的中子流為：

(5)

(6)

(7)

MDF和NDF的求解可以通過(guò)使用來(lái)自徑向MOC和軸向NEM計(jì)算得到的1/4 柵元的表面中子流、通量和網(wǎng)格平均通量信息來(lái)表征，具體計(jì)算過(guò)程可以參考文獻(xiàn)[3]，在此不再贅述。

對(duì)于1/4柵元尺度的多群gCMFD方法中使用的均勻化參數(shù)，可以根據(jù)高階輸運(yùn)計(jì)算的與區(qū)域相關(guān)的宏觀截面和通量信息來(lái)量化：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中下標(biāo)k是平源區(qū)的編號(hào)。如此，便可以建立1/4柵元尺度的多群gCMFD的線性系統(tǒng)：

(14)

由于多群gCMFD本身的條件數(shù)較大，如果利用Wielandt Shift加速逆冪迭代，則條件數(shù)會(huì)變得更大，導(dǎo)致一級(jí)多群gCMFD線性系統(tǒng)的收斂速度仍然較慢，而單群gCMFD線性系統(tǒng)的求解成本要低得多。因此基于同樣的思路，在1/4柵元尺度的多群gCMFD線性系統(tǒng)下通過(guò)在能群上歸并來(lái)自多群gCMFD的截面、通量和中子流信息來(lái)建立1/4柵元尺度的單群gCMFD線性系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)加速收斂：

(15)

1/4柵元尺度的多群gCMFD方法的建立流程與柵元尺度的多群gCMFD基本相同，只不過(guò)前者是基于1/4柵元為粗網(wǎng)大小進(jìn)行求解，而不是基于完整的柵元，如圖2所示。

圖2 1/4柵元尺度的兩級(jí)CMFD加速方法Fig.2 1/4 cell based multi-level CMFD acceleration method

即便是如此微小的處理，獲得的收益也是顯著的。在粗網(wǎng)尺寸變?yōu)?/4柵元后，MOC與gCMFD中傳遞的標(biāo)通量信息增多，也更加精細(xì)，減小了其間的映射誤差，從而實(shí)現(xiàn)良好的加速性能，但gCMFD本身的計(jì)算負(fù)擔(dān)也同時(shí)增加。

2 基于1/4柵元的幾何建模及特征線布置

構(gòu)造實(shí)體幾何(constructive solid geometry，CSG)方法是許多高級(jí)建模軟件(如CAD)的首選方法，利用不同結(jié)構(gòu)化幾何間簡(jiǎn)單的布爾運(yùn)算就能很方便地得到不同的幾何體。因具有建模靈活，能夠降低幾何信息的存儲(chǔ)的特性，非常適合高度結(jié)構(gòu)化且重復(fù)度很高的反應(yīng)堆模型的建模。

2.1 1/4柵元為單位的幾何建模

HNET原有的幾何模塊是以柵元為單位的，只能構(gòu)建完整的組件，無(wú)法適應(yīng)當(dāng)沿x或y方向的組件數(shù)為奇數(shù)，如17×17的布置時(shí)1/4堆芯的建模和計(jì)算。在這種情況下，在堆芯切割面處中存在1/2組件和1/4組件，而當(dāng)組件內(nèi)柵元的布置也是奇數(shù)，如15×15時(shí)，切割面處便存在1/2柵元和1/4柵元。為實(shí)現(xiàn)以1/4柵元為單位來(lái)逐層組裝呈堆芯，利用CSG的思想，可通過(guò)定義柵元中慢化劑的邊界面、燃料組件的圓柱面即可構(gòu)建一個(gè)柵元的模型，再將柵元的模型的中心創(chuàng)建2個(gè)互相垂直的面，將其劃分成為1/4柵元模型，并按照象限號(hào)進(jìn)行區(qū)分和存儲(chǔ)，1/4柵元按照象限編號(hào)索引排列即可還原為完整的柵元，進(jìn)而構(gòu)成二維的組件，二維組件再通過(guò)軸向上的堆疊即可組成三維組件的模型，進(jìn)而完成全堆芯或1/4堆芯的建模，結(jié)構(gòu)層次如圖3所示。值得注意的是，當(dāng)以1/4柵元為單位建模后，軸向的NEM計(jì)算也基于1/4柵元進(jìn)行。

2.2 1/4柵元模塊化特征線布置

模塊化特征線可以大幅減少M(fèi)OC的計(jì)算量?jī)?nèi)存消耗，同時(shí)還可以精確地處理反射邊界條件。在柵元模塊化特征線模式中，只有外形尺寸和網(wǎng)格劃分完全相同的柵元，共用同一套特征線的幾何信息，如何保證特征線在相鄰的模塊間精準(zhǔn)連接是模塊化特征線布置的重點(diǎn)和難點(diǎn)。針對(duì)對(duì)稱切割模型的特征線布置，合理地布置射線仍然可以使特征線精確連接，具體可參考文獻(xiàn)[14]。假設(shè)離散的方位角數(shù)量為N、初始射線間距為t、模塊寬度為w、高度為h。將整個(gè)方位角區(qū)域[0,2π]進(jìn)行等分，若取n∈{1,2,…,N}，則方位角αn為：

(16)

圖3 1/4堆芯結(jié)構(gòu)層次圖Fig.3 Hierarchical diagram of the 1/4 reactor core structure

得到方位角αn后，為保證整柵元和1/4柵元特征線布置方式相同，應(yīng)保證在整柵元中沿x方向和y方向的特征線數(shù)目nx和ny為偶數(shù)，整柵元的nx和ny為：

(17)

(18)

對(duì)應(yīng)的1/4柵元的nx和ny分別為：

(19)

(20)

得知nx和ny后，為了保證射線的均勻和對(duì)稱，需要對(duì)方位角αn進(jìn)行修正，得到修正后的有效方位角αn,eff為：

(21)

同樣，修正后的射線間距teff為：

(22)

3 三維基準(zhǔn)題數(shù)值驗(yàn)證

本文首先基于C5G7-RA、VERA Problem #4三維基準(zhǔn)題驗(yàn)證建模和加速方法的正確性和效果。

3.1 C5G7-RA三維基準(zhǔn)題驗(yàn)證

C5G7三維基準(zhǔn)題是OECD/NEA發(fā)布的用于驗(yàn)證輸運(yùn)求解器非均勻堆芯計(jì)算能力的的基準(zhǔn)題。該基準(zhǔn)題根據(jù)控制棒插入位置和深度，定義了3種堆芯布置，分別為提棒(UR)、插棒A(RA)和插棒B(RB)，3種堆芯布置的非均勻性和計(jì)算難度依次增大。本文選取RA來(lái)進(jìn)行加速效果的驗(yàn)證和分析。其1/4堆芯布置可參考文獻(xiàn)[15]。

圖4 模塊間特征線連接示意Fig.4 Connection of characteristic rays among different modules

計(jì)算過(guò)程中，軸向燃料區(qū)域劃分為18層，反射層區(qū)域劃分為18層；燃料、控制棒及裂變室3種柵元，徑向共劃分為5環(huán)(其中燃料區(qū)域3環(huán))、輻向劃分為8個(gè)扇形分區(qū)；反射層區(qū)域內(nèi)采用矩形網(wǎng)格劃分；截面來(lái)源于基準(zhǔn)題報(bào)告提供的7群宏觀截面；射線間距選擇0.01 cm，一個(gè)卦限內(nèi)選取18方位角和3極角，采用Tabuchi-Yamamoto極角求積組，收斂準(zhǔn)則為keff和裂變?cè)淳∮?×10-5，核數(shù)布置為徑向1個(gè)核，軸向18個(gè)核，每層由1個(gè)核進(jìn)行計(jì)算，總共18核。

為驗(yàn)證1/4柵元尺度的多群gCMFD與柵元尺度的多群gCMFD2種方法的加速效果，同時(shí)探究1/4柵元尺度的單群gCMFD對(duì)1/4柵元尺度的多群gCMFD的加速效果，分別構(gòu)建了柵元尺度的多群gCMFD(Cell-MG-gCMFD)、1/4柵元尺度的多群gCMFD(1/4Cell-MG-gCMFD)以及1/4柵元尺度的兩級(jí)gCMFD(1/4Cell-TL-gCMFD)3個(gè)算例進(jìn)行計(jì)算，在每種計(jì)算條件下按恰好到達(dá)最小外迭代次數(shù)設(shè)定多群和單群的最大迭代次數(shù)，統(tǒng)計(jì)MOC和gCMFD的迭代次數(shù)與計(jì)算時(shí)間以及有效增殖因子，并以Cell-MG-gCMFD方案的總計(jì)算時(shí)間為基準(zhǔn)，比較和統(tǒng)計(jì)了其他方案的總計(jì)算時(shí)間相較基準(zhǔn)改進(jìn)的倍數(shù)，定義為加速比，如表1中所示。

表1 C5G7 RA三維基準(zhǔn)題計(jì)算結(jié)果Table 1 The computed result for the iterations and computational time for 3D C5G7 RA case

由表1可知，使用1/4Cell-MG-gCMFD方法，MOC的最少迭代次數(shù)從22次減為12次，成功打破了Cell-MG-gCMFD方法的加速瓶頸，加速比為1.434。然而，由于MG gCMFD的計(jì)算規(guī)模和迭代次數(shù)增加，其計(jì)算時(shí)間也變?yōu)樵瓉?lái)的12倍，但是這種耗時(shí)的增加又可以通過(guò)代價(jià)很小的1/4Cell-CG-gCMFD方法進(jìn)一步限制下來(lái)，這樣兩級(jí)gCMFD加速方法構(gòu)成的1/4Cell-TL-gCMFD加速系統(tǒng)的加速比進(jìn)一步提升至1.518，且計(jì)算精度與單級(jí)相同。圖5展示了在柵元尺度和1/4柵元尺度下當(dāng)令MG gCMFD完全收斂時(shí)MOC迭代次數(shù)變化，可以清晰觀察到1/4Cell-MG-gCMFD對(duì)MOC收斂顯著的加速效果。圖6展示了每一個(gè)外迭代內(nèi)最后一步MG gCMFD對(duì)應(yīng)迭代次數(shù)與其收斂殘差的變化趨勢(shì)，進(jìn)一步說(shuō)明了1/4Cell-MG-gCMFD雖然可以加速外迭代的收斂，但自身收斂難度增加，而加入1/4柵元尺度的單群CMFD構(gòu)成兩級(jí)CMFD加速方法后，其迭代次數(shù)和收斂效果都得到了明顯的改善。

圖5 不同加速方案MOC迭代收斂曲線Fig.5 The iteration history of MOC accelerated by different method

3.2 VERA Problem #4三維基準(zhǔn)題驗(yàn)證

為進(jìn)一步探究1/4柵元尺度的單群gCMFD對(duì)1/4柵元尺度的多群gCMFD計(jì)算代價(jià)的縮減效果，同時(shí)驗(yàn)證本文實(shí)現(xiàn)的1/4建模方法的正確性，本文采用基于HELIOS-47能群的VERA Problem #4基準(zhǔn)題進(jìn)行測(cè)試。此問(wèn)題組件的軸向結(jié)構(gòu)和徑向布置可參考文獻(xiàn)[16]。

圖6 MG-gCMFD迭代收斂歷史Fig.6 The convergence history of MG-CMFD

計(jì)算時(shí)，特征線間距為0.03 cm，每卦限內(nèi)采用16個(gè)方位角和3個(gè)極角，特征值的收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-5，裂變?cè)床捎脽o(wú)窮范數(shù)誤差，其收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-5。MG gCMFD和CG gCMFD的特征值收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-8。徑向?yàn)榉瓷溥吔纾S向?yàn)檎婵者吔?。每層分配一個(gè)核，共使用58核進(jìn)行計(jì)算。

針對(duì)此基準(zhǔn)題，本文基于HNET程序構(gòu)建全模型下基于柵元的兩級(jí)gCMFD(Cell-TL-gCMFD-全模型)、全模型下基于1/4柵元的兩級(jí)gCMFD加速(1/4Cell-TL-gCMFD-全模型)以及1/4模型下基于1/4柵元的兩級(jí)gCMFD加速(1/4Cell-TL-gCMFD-1/4模型)3個(gè)算例進(jìn)行計(jì)算，其中全模型指計(jì)算完整的3×3組件模型，而1/4模型為3×3模組件型的1/4模型。在每種算例下按單群CMFD充分收斂(最大迭代次數(shù)設(shè)為1 000)的情況下恰好到達(dá)最小外迭代次數(shù)來(lái)設(shè)定多群CMFD最大迭代次數(shù)，統(tǒng)計(jì)MOC和CMFD的迭代次數(shù)與計(jì)算時(shí)間以及有效增殖因子，并計(jì)算了加速比，如表2中所示。Cell-TL-gCMFD-全模型與1/4Cell-TL-gCMFD-全模型2個(gè)算例的有效增殖因子與參考值的偏差均為15×10-5，表明本文構(gòu)建的1/4模型與原有幾何構(gòu)建方法計(jì)算精度相同。同時(shí)，由于應(yīng)用基于1/4柵元的兩級(jí)CMFD加速，MOC的迭代次數(shù)從11次減少到8次，但由于CMFD的計(jì)算量大幅增加，兩級(jí)CMFD的計(jì)算時(shí)間變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，然而在增加了特征線交點(diǎn)信息與CMFD的計(jì)算量的情況下加速比仍達(dá)到了1.651，較7群有了明顯的提高。而在1/4模型下，由于MOC的計(jì)算量變?yōu)槿Ｐ偷?/4，相較基于柵元的兩級(jí)CMFD加速計(jì)算，平均每個(gè)迭代步下MOC的計(jì)算時(shí)間從81.83 s減少為19.875 s，減少了3/4，同時(shí)總迭代次數(shù)減少了3次，CMFD的計(jì)算量相差無(wú)幾，但在1/4柵元尺度上收斂性能提升，整體計(jì)算加速比達(dá)到4.294。

表2 VERA Problem #4三維基準(zhǔn)題計(jì)算結(jié)果Table 2 The computed result for the iterations and computational time for VERA Problem #4 case

在C5G7基準(zhǔn)題中，Cell-MG-gCMFD方案平均每個(gè)迭代步下MOC計(jì)算時(shí)間為19.93 s，1/4Cell-MG-gCMFD方案為23.51 s，時(shí)間稍有所提升，而在VERA基準(zhǔn)題中，時(shí)間分別為81.83 s和68.16 s，時(shí)間明顯下降。實(shí)際上，在以1/4柵元為單位構(gòu)建幾何模型后，模塊化特征線的單位也變?yōu)?/4柵元，MOC的總計(jì)算量和信息存儲(chǔ)量沒有發(fā)生改變，但是索引的序列變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，導(dǎo)致在特征線連接時(shí)時(shí)間稍有所增加，但不會(huì)增加很多。而在VERA基準(zhǔn)題中，單次外迭代的計(jì)算更為困難，但基于1/4柵元的多級(jí)CMFD加速可以為其提供更好的迭代初值，能夠顯著的加速其收斂計(jì)算，總體的收益遠(yuǎn)大于由于索引序列增加帶來(lái)的計(jì)算時(shí)間增加。

4 實(shí)堆驗(yàn)證

為進(jìn)一步表明基于1/4柵元的多級(jí)CMFD加速方法計(jì)算1/4模型的優(yōu)越性，本文針對(duì)秦山一期核電廠首爐堆芯在壽期初、熱態(tài)零功率工況下，展開了1/4堆芯的穩(wěn)態(tài)計(jì)算。

4.1 秦山1/4堆芯模型

秦山一期核電廠由313個(gè)組件組成，其中每個(gè)組件均由15×15的柵元組成，柵元間距為1.33 cm，活性區(qū)軸向高度為290 cm。本文構(gòu)建的秦山1/4堆芯模型，完整包含了燃料棒、毒物棒、控制棒、導(dǎo)向管、定位格架、圍板和反射層等結(jié)構(gòu)。同時(shí)考慮到上下反射層區(qū)域等，在軸向上劃分為62層。堆芯內(nèi)燃料組件按秦山一期核電廠首爐堆芯燃料裝載方案布置，模型的徑向幾何示意圖如圖7所示。

圖7 秦山1/4堆芯徑向幾何示意Fig.7 Radial geometry configurtion for Qinshan 1/4 core

計(jì)算時(shí)，特征線間距為0.05 cm，每卦限內(nèi)采用10個(gè)方位角和3個(gè)極角的組合，特征值的收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-6，裂變?cè)床捎脽o(wú)窮范數(shù)誤差，其收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-4。MG gCMFD的特征值收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-10，最大迭代次數(shù)為4；CG gCMFD的特征值收斂標(biāo)準(zhǔn)為1.0×10-10，最大迭代次數(shù)為50。徑向?qū)ΨQ軸處為反射邊界，其余均為真空邊界。在山河超算平臺(tái)使用62個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，每個(gè)節(jié)點(diǎn)使用16核計(jì)算一層堆芯模型，共使用992核進(jìn)行計(jì)算。

4.2 數(shù)值結(jié)果

本文分別針對(duì)ARO工況和4種控制棒束插入工況進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)臨界計(jì)算，其中4根控制棒分別命名為T1、T2、T3、T4，初始狀態(tài)為未插入，插入狀態(tài)為in。在令有效增殖因子為1(誤差為10-7×10-5)時(shí)，得到了各工況下的末端硼濃度。對(duì)比《數(shù)字化反應(yīng)堆30萬(wàn)千瓦核電廠基準(zhǔn)問(wèn)題模擬計(jì)算報(bào)告》中的參考值，各工況下的末端硼濃度如表3所示，最大偏差在-21×10-6，低于通用的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則50×10-6及設(shè)計(jì)院針對(duì)程序驗(yàn)證準(zhǔn)則30×10-6，滿足精度要求。

表3 秦山1/4三維堆芯模型末端硼濃度計(jì)算結(jié)果

同時(shí)針對(duì)ARO工況采用報(bào)告中給出的硼濃度數(shù)據(jù)進(jìn)行高保真穩(wěn)態(tài)臨界計(jì)算，得到特征值和歸一化柵元功率分布。為了表明本文提出并實(shí)施的方法在實(shí)堆應(yīng)用中的效果，分別統(tǒng)計(jì)了原有的柵元尺度下全模型以及1/4柵元尺度下1/4模型的總計(jì)算時(shí)間。臨界偏差為-191×10-5，特征值為0.998 09。如表4所示，2種計(jì)算方案得到的特征值均為0.998 09，與臨界值1的偏差為-191×10-5,低于通用的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則500×10-5，滿足精度要求。同時(shí)，基于1/4柵元多級(jí)CMFD加速方法的1/4模型高保真全堆芯輸運(yùn)計(jì)算外迭代次數(shù)從12次減少為9次，總時(shí)間為88.3核時(shí)，加速比為2.637。

表4 秦山核電站三維堆芯模型ARO工況臨界計(jì)算結(jié)果

計(jì)算得到的ARO工況下的歸一化柵元功率分布如圖8所示，功率在軸向呈現(xiàn)出明顯的中心高，兩側(cè)低的趨勢(shì)；而在徑向上，由于燃料分區(qū)布置和毒物棒對(duì)功率分布的影響，呈現(xiàn)出功率峰的交替分布。

圖8 不同工況下歸一化柵元功率的三維分布Fig.8 3D distribution of normalized pin power under different conditions

5 結(jié)論

1)針對(duì)基于1/4柵元的多群CMFD方法計(jì)算成本升高，進(jìn)一步提出并實(shí)施基于1/4柵元的單群CMFD方法加速多群CMFD的收斂構(gòu)成兩級(jí)CMFD加速，以小代價(jià)獲取大的時(shí)間收益。

2)采用三維基準(zhǔn)題驗(yàn)證方法的正確性和加速效果，計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的1/4柵元尺度多級(jí)CMFD加速方法成功突破原有加速瓶頸，加速效果顯著。同時(shí)基于秦山一期壓水堆模型不同穩(wěn)態(tài)運(yùn)行工況開展1/4模型高保真穩(wěn)態(tài)臨界計(jì)算，驗(yàn)證了HNET的實(shí)堆計(jì)算能力，具有較好的計(jì)算精度和計(jì)算效率。然而1/4柵元尺度的單群CMFD計(jì)算代價(jià)仍然巨大，未來(lái)可進(jìn)一步基于1/4柵元幾何建模功能開發(fā)基于整柵元的單群CMFD加速1/4柵元多群CMFD實(shí)現(xiàn)空間-能量混合加速，進(jìn)一步提升加速效果。