■河南省信陽市新縣高級中學 付培軍

導體棒在磁場中做切割磁感線運動時,回路中將產生感應電流,使得運動的導體棒受到一個變化的安培力作用,而做漸變運動,直至達到穩(wěn)定狀態(tài)。這類試題的難度相對較大,對考生思維能力的要求較高,同學們在復習備考過程中需要明確這類試題涉及的知識要點,厘清這類試題的常見考查方式,掌握這類試題的基本求解方法。下面舉例分析,供同學們參考。

一、單棒的漸變運動問題的分析

單導體棒切割磁感線產生感應電流,屬于力電綜合問題,涉及導體棒的運動性質分析、受力情況分析、電路分析等知識要點。求解此類問題時需要綜合應用法拉第電磁感應定律、楞次定律,以及平衡條件、牛頓第二定律、功能關系、串并聯(lián)電路規(guī)律等物理規(guī)律。

例1如圖1所示,兩根足夠長的光滑金屬導軌ab、cd與水平面成θ=30°角固定,導軌間距L=1 m,電阻不計。一個阻值為R0的定值電阻與電阻箱并聯(lián)后接在兩金屬導軌的上端。整個裝置處于磁感應強度大小B=1 T,方向垂直于導軌平面斜向上的勻強磁場中?，F(xiàn)將一根質量為m,電阻可忽略不計的金屬棒MN從圖示位置由靜止開始釋放,金屬棒MN在下滑過程中始終與導軌接觸良好。改變電阻箱的阻值R,測定金屬棒MN的最大速度vmax,得到

圖1

(1)求金屬棒MN的質量m和定值電阻R0的阻值。

(2)當電阻箱取阻值R=2 Ω,且金屬棒MN的加速度為時,求金屬棒MN的速度大小v。

解析:(1)金屬棒MN以最大速度vmax下滑時產生的感應電動勢E=BLvmax,根據平衡條件得mgsinθ=BIL,根據閉合電路歐姆定律得,整理得,結合圖像得,解得m=0.2 kg,R0=2 Ω。

(2)金屬棒MN以速度v下滑時,根據法拉第電磁感應定律得E′=BLv,根據閉合電路歐姆定律得當金屬圖像如圖2所示,取重力加速度g=10 m/s2。棒MN以加速度運動時,根據牛頓第二定律得mgsinθ-BI′L=ma。聯(lián)立以上各式解得v=0.5 m/s。

圖2

點評:解決單棒的漸變運動問題的關鍵是通過對導體棒運動狀態(tài)的分析,尋找臨界狀態(tài),確定速度、加速度取最大值或最小值的條件等。具體思路是:①先分析電路中產生感應電動勢的電源,求出其參數E和r;②分析電路結構,弄清串、并聯(lián)關系,求出電路中的電流大小,以便求解安培力;③分析研究對象(通常是金屬棒、導體棒、線圈等)的受力情況,注意其所受的安培力;④根據力和運動的關系,判斷出正確的運動模型,尋找到電磁感應過程中和研究對象在運動過程中的能量轉化和守恒關系。

二、雙棒的漸變運動問題的分析

1.無外力的情形。

兩根導體棒與導軌構成閉合回路處在磁場中,若導體棒具有一定的初速度,因做切割磁感線運動而在回路中產生感應電流,通過安培力調節(jié)兩導體棒的運動,直至達到穩(wěn)定狀態(tài)。兩根導體棒都做變加速運動,其中初動量較大的導體棒做加速度減小的減速運動,初動量較小的導體棒可能做加速度減小的加速運動,也可能先減速至停下,再反向做加速運動,直至達到穩(wěn)定狀態(tài)。若導軌等寬,則最終兩導體棒將以相同的速度做勻速直線運動;若導軌不等寬,則兩導體棒的最終運動狀態(tài)需要具體問題具體分析。

例2如圖3所示,足夠長的光滑軌道CDEF和PQMN平行放置在水平地面上,軌道左側的寬度為2L,右側的寬度為L,軌道的水平部分處在與水平面成θ=37°角斜向左下方的勻強磁場中。金屬桿1、金屬桿2與軌道構成一個回路,金屬桿1 的質量m1=2m,電阻R1=2R,金屬桿2的質量m2=m,電阻R2=R,回路中其余電阻不計?，F(xiàn)將金屬桿1從軌道左側h高處由靜止開始釋放,最后兩金屬桿都在水平軌道上運動,且金屬桿1未越過DQ連線。已知重力加速度為g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,則下列有關敘述中正確的是( )。

圖3

解析:金屬桿1 從軌道左側h高處下滑到磁場邊界處(恰好未進入軌道水平部分)的過程中,根據機械能守恒定律得m1gh=,解得v0= 2gh。金屬桿1 剛進入磁場做切割磁感線運動產生的感應電動勢E=2Lv0·Bsinθ,回路中的電流I=,解得,選項A 錯誤。金屬桿1進入磁場的瞬間金屬桿2就開始運動,根據牛頓第二定律得ILBsinθ=m2a,解得,選項B 正確。金屬桿1減速時金屬桿2 加速,穩(wěn)定時回路中沒有感應電流,此時金屬桿2的速度是金屬桿1的2倍。設穩(wěn)定時金屬桿2 的速度為v,根據動量定理得,解得,選項C 正確。整個運動過程中對金屬桿2運用動量定理得iLBΔtsinθ=m2Δv,又有q=iΔt,Δv=v-0,解得,選項D 錯誤。

答案:BC

點評:雙棒構成閉合回路,因受到安培力的影響雙棒都做漸變運動,穩(wěn)定時雙棒不一定同速,但回路中的電流一定為零。分別對每一根導體棒運用動量定理,寫出動量變化量的一般表達式,再求和,往往可以求得雙棒的速度和通過導體棒某一橫截面的電荷量等物理量。需要注意的是雙棒所受安培力不一定滿足安培力時刻等大反向,因此動量守恒定律不一定適用。

2.有外力的情形。

兩根導體棒與導軌構成閉合回路處在磁場中,若其中一根導體棒受到外力作用而做切割磁感線運動,使得回路中產生感應電流,則通過安培力調節(jié)兩導體棒的運動,直至達到穩(wěn)定狀態(tài)時兩導體棒都做勻加速運動;若兩根導體棒都受外力作用,則先以兩根導體棒組成的整體為研究對象進行受力分析,找出最終的穩(wěn)定狀態(tài),再分析每一根導體棒在向最終的穩(wěn)定狀態(tài)漸變過程中的受力情況,寫出動量定理的表達式,然后結合其他物理規(guī)律即可求解相關物理量。

例 3如圖4所示,U 形光滑金屬框bacd置于水平絕緣平臺上,ba、cd邊足夠長,金屬框的電阻可以忽略不計。一根阻值為R的導體棒PQ置于金屬框上,用水平恒力F向右拉動金屬框。運動過程中裝置始終處于豎直向上的勻強磁場中,導體棒PQ與金屬框接觸良好且與ac邊保持平行。經過一段時間后,金屬框和導體棒的v-t圖像應是圖5中的( )。

圖4

圖5

解析:用水平恒力F向右拉動金屬框時,ac邊切割磁感線產生感應電動勢對導體棒PQ供電,對金屬框有F-ilB=Ma1,對導體棒PQ有ilB=ma2,在安培力的影響下金屬框做加速度逐漸減小的加速運動,導體棒PQ做加速度逐漸增大的加速運動。當金屬框的速度為v1,導體棒PQ的速度為v2時,回路中的電流隨著金屬框和導體棒速度的變化,當時,兩者的速度差Δv恒定,回路中的感應電流不變,之后金屬框和導體棒以相同的加速度做勻加速運動。因此金屬框和導體棒的v-t圖像應是圖5中的C。

答案:C

點評:雙棒構成閉合回路,導體棒受到外力作用,對系統(tǒng)整體而言,因有外力而具有加速度;對每一根導體棒而言,在外力和安培力的作用下做漸變運動。對每一根導體棒寫出其動力學方程或動量定理的表達式,即可分析每一根導體棒加速度的變化規(guī)律,進而找到系統(tǒng)達到最終穩(wěn)定狀態(tài)時的速度和加速度的關系。

1.如圖6所示,兩根足夠長的平行光滑金屬軌道MN、PQ水平放置,軌道間距為L?，F(xiàn)有一根質量為m,長度為L的導體棒ab垂直于軌道跨接其上,且與軌道始終接觸良好,導體棒ab和軌道電阻均可忽略不計。有一個電動勢為E,內阻為r的電源通過開關S連接到軌道左端,另有一個定值電阻R也連接在軌道上,且定值電阻R右側分布著垂直于軌道平面的勻強磁場,磁感應強度為B。現(xiàn)閉合開關S,導體棒ab開始運動,則下列敘述中正確的有( )。

圖6

A.導體棒ab做加速度逐漸減小的加速運動,達到最大速度時導體棒ab中無電流

B.導體棒ab所能達到的最大速度為

C.導體棒ab穩(wěn)定運動時電源的輸出功率恒定,其大小為

D.導體棒ab穩(wěn)定運動時電源的效率最高,其大小為

2.如圖7所示,兩根平行光滑金屬導軌水平固定,導軌電阻忽略不計,虛線ab、cd均與導軌垂直,在虛線ab與cd之間分布著垂直于導軌所在平面向下的勻強磁場。將兩根相同的導體棒PQ、MN平行于虛線ab放置在導軌上,兩導體棒始終與導軌垂直且接觸良好。現(xiàn)對兩導體棒施加相同的恒力F,使其先后自導軌上同一位置由靜止開始運動。已知導體棒PQ進入磁場時的加速度恰好為零。從導體棒PQ進入磁場開始計時,到導體棒MN離開磁場為止,導體棒PQ的運動速度v、通過導體棒PQ的電流I隨時間t變化的圖像可能是圖8中的( )。

圖7

圖8

3.如圖9所示,足夠長的光滑水平導軌(電阻不計)處在豎直向下的勻強磁場中,磁感應強度B=1 T,導軌間距L=1 m,在導軌的右端有兩個彈性立柱,立柱與導軌垂直固定。質量m2=1 kg,電阻R2=0.6 Ω 的導體棒2靜置于導軌上,與立柱的間距x1=1 m,質量m1=2 kg,電阻R1=0.4 Ω 的導體棒1也靜置于導軌上?，F(xiàn)讓導體棒1 以初速度v0=5 m/s向右運動,結果導體棒1 向右滑行x2=5 m 時導體棒2恰好撞到立柱。若兩導體棒與導軌始終接觸良好,所有碰撞均為彈性碰撞,則下列說法中正確的是( )。

圖9

A.導體棒2 第一次撞擊立柱前的速度是3 m/s

B.導體棒2 第一次撞擊立柱時,導體棒1的速度是3 m/s

C.若導體棒2第一次撞擊立柱后向左滑行的最大距離為0.8 m,則導體棒1 在導體棒2向左滑行的過程中向右滑行了3.2 m

D.導體棒2不會與立柱發(fā)生第二次碰撞

4.如圖10所示,兩根平行光滑金屬導軌由圓弧部分A1B1、A2B2與水平部分B1C1、B2C2構成。導軌弧形部分的半徑為r,導體棒長度與導軌間距均為L,導軌水平部分處于豎直向上的勻強磁場中,磁感應強度為B。彈性導體棒甲、乙分別垂直于導軌,靜置于導軌圓弧頂端A1A2處和水平部分中某位置。兩導體棒的質量均為m,電阻均為R。將導體棒甲從導軌圓弧頂端A1A2由靜止釋放,整個運動過程中兩導體棒與導軌始終接觸良好,導軌電阻不計,取重力加速度g=10 m/s2。

圖10

(1)求導體棒甲剛進入導軌水平部分時,導體棒乙的加速度大小。

(2)若兩導體棒勻速運動前未發(fā)生碰撞,求兩導體棒達到共速前通過回路的電荷量。

(3)若初始時刻導體棒乙與B1B2連線間的距離Δx=2 m,已知B=1 T,L=0.5 m,R=1 Ω,r=0.05 m,m=1 kg。求最后共速時兩導體棒的間距。

參考答案:1.AB 2.ACD 3.BC

4.(1);(2);(3)Δx′=2 m。