【摘 要】 研究中外數(shù)學(xué)教育理論之間的融會(huì)貫通，可以更好地把握它們的實(shí)質(zhì)，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，提升中國數(shù)學(xué)教育研究的理論自信.借助圖形分析以下數(shù)學(xué)教育理論的融通：中國“變式教學(xué)理論”與瑞典“變異學(xué)習(xí)理論”的融通、外來HPM與本土MM教育方式的融通、美國MPCK與中國“四個(gè)理解”的融通、美國MKT與中國“數(shù)學(xué)教學(xué)基本功”的融通，倡導(dǎo)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，搞好自己的數(shù)學(xué)教育，探索符合中國國情的數(shù)學(xué)教育理論之路.

【關(guān)鍵詞】 圖說;數(shù)學(xué)教育;理論融通;理論自信

《數(shù)學(xué)寫真集（第1季）——無需語言的證明》一書由許多“無需語言的證明”的圖形組成，書中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：“有什么比用插圖來展現(xiàn)一個(gè)個(gè)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)更好的主意呢？”[1]受此啟發(fā)，筆者希望借助圖形直觀地理解許多復(fù)雜、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)教育理論，以及它們之間的融會(huì)貫通，幫助讀者把握其實(shí)質(zhì)，從而更好地指導(dǎo)自己的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，并提升中國數(shù)學(xué)教育研究的理論自信.

關(guān)于中外數(shù)學(xué)教育理論的“融通”研究（“融通”取《現(xiàn)代漢語詞典》中“融會(huì)貫通”之義），我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙（1933—2018）先生率先垂范，在《人民教育》撰文簡(jiǎn)述中國數(shù)學(xué)教育的六個(gè)特征，并與國外的有關(guān)提法相對(duì)照（見表1），借以顯示中國數(shù)學(xué)教育的特色[2].他還指導(dǎo)幾位數(shù)學(xué)教育方向的博士構(gòu)建中國“教育數(shù)學(xué)”的理論框架，并與美國MKT理論進(jìn)行對(duì)照，認(rèn)為兩者在基本思想上是一致的[3].本文循沿張奠宙先生足跡，繼續(xù)探討中外數(shù)學(xué)教育理論的融通.

1 中國“變式教學(xué)理論”與瑞典“變異學(xué)習(xí)理論”的融通

“變式教學(xué)”是我國廣大教師普遍接受和使用的教學(xué)方法.“變式教學(xué)”的起源無從可考，但文獻(xiàn)記載20世紀(jì)上半葉蘇聯(lián)心理學(xué)者針對(duì)幾何教學(xué)中的“標(biāo)準(zhǔn)圖形”提出了“變式圖形”，并就兩者之間的利弊展開了研究和爭(zhēng)論.“變式圖形”的概念在20世紀(jì)60年代傳入我國，中科院心理所盧仲衡等學(xué)者隨即在幾何教學(xué)中開展研究，鑒于“標(biāo)準(zhǔn)圖形”的負(fù)面作用以及“變式圖形”的優(yōu)勢(shì)，他們將“變式”列為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略之一，即教師通過在教學(xué)中變換數(shù)學(xué)問題的非本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征[4-6].

1977年起，顧泠沅先生主持的上海青浦實(shí)驗(yàn)研究團(tuán)隊(duì)在教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行“變式訓(xùn)練”，取得了良好的效果，從而將“組織變式訓(xùn)練”作為他們總結(jié)的教學(xué)結(jié)構(gòu)中的一個(gè)環(huán)節(jié).經(jīng)過持續(xù)多年的研究之后，顧泠沅、鮑建生等學(xué)者于2003年正式總結(jié)了中國“變式教學(xué)理論”，被張奠宙先生譽(yù)為兼具中國特色和國際水平的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)理論.“變式教學(xué)理論”的主要觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，一方面要通過直觀、具體的概念標(biāo)準(zhǔn)變式（即標(biāo)準(zhǔn)正例）引入數(shù)學(xué)概念，且通過概念非標(biāo)準(zhǔn)變式（即非標(biāo)準(zhǔn)正例）突出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，并通過非概念變式（即非標(biāo)準(zhǔn)反例）明確數(shù)學(xué)概念的外延，從而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念;另一方面要通過組織有層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)（即過程變式），引導(dǎo)學(xué)生分步解決問題，從而幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[7-9].筆者將其概括為圖1：

“變異理論”是瑞典教育家馬飛龍（Ference Marton）教授創(chuàng)立的學(xué)習(xí)理論.它發(fā)端于20世紀(jì)70年代馬飛龍等學(xué)者提出的現(xiàn)象圖析學(xué).20世紀(jì)90年代，馬飛龍?jiān)诂F(xiàn)象圖析學(xué)基礎(chǔ)上提出變異理論的基本假設(shè)：學(xué)習(xí)就是對(duì)事物的某種屬性進(jìn)行鑒別，只有當(dāng)該屬性與其他屬性在變與不變中形成對(duì)照，這種屬性才可能被鑒別和理解，所以經(jīng)驗(yàn)變異是學(xué)習(xí)不可缺少的，沒有變異就沒有學(xué)習(xí).后經(jīng)過對(duì)學(xué)校課堂中概念教學(xué)的實(shí)證研究，馬飛龍進(jìn)一步證實(shí)經(jīng)驗(yàn)變異與鑒別關(guān)鍵屬性之間的因果關(guān)系，提出“變異學(xué)習(xí)理論”的基本策略——系統(tǒng)運(yùn)用變與不變，將四種變異范式（分離、類合、對(duì)比、融合）與學(xué)習(xí)內(nèi)容相結(jié)合，明確變異維度，構(gòu)成學(xué)習(xí)空間.

2001年，中國“變式教學(xué)理論”的總結(jié)者顧泠沅與瑞典“變異學(xué)習(xí)理論”的創(chuàng)立者馬飛龍?jiān)谙愀鄞髮W(xué)相遇，彼此認(rèn)同對(duì)方的理論，并展開合作.比如2002年，馬飛龍受邀在上海作了題為《從變異理論看國際比較中數(shù)學(xué)教與學(xué)的差異》[10]的報(bào)告，對(duì)中國數(shù)學(xué)教學(xué)的特色進(jìn)行分析并給予肯定.又如2005年，顧泠沅和馬飛龍等人聯(lián)合撰文《變式教學(xué)：促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式》[11]，進(jìn)一步闡釋兩種理論的特點(diǎn).

這充分說明中國的“變式教學(xué)理論”與瑞典的“變異學(xué)習(xí)理論”是融通的，概括起來體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一是研究目的的融通.兩者的研究目的都是促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，特別是關(guān)于概念的學(xué)習(xí).雖然“變式教學(xué)理論”的出發(fā)點(diǎn)是教師的教，但落腳點(diǎn)還是學(xué)生的學(xué).

二是核心觀點(diǎn)和核心概念的融通.兩者的核心觀點(diǎn)是學(xué)習(xí)材料和情境的有序變異對(duì)于有效理解學(xué)習(xí)對(duì)象的本質(zhì)特征至關(guān)重要.兩者的核心概念“變式”“變異”的英文為同一個(gè)詞variation.

三是研究方法的融通.兩者都注重實(shí)踐探索與實(shí)證研究.“變式教學(xué)理論”的形成經(jīng)歷了“變式圖形—變式策略—變式練習(xí)—變式理論”的長(zhǎng)期實(shí)踐過程，并以獲得的大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為實(shí)證支撐.“變異學(xué)習(xí)理論”先通過質(zhì)性分析明確研究對(duì)象和基本假設(shè)，再通過課堂教學(xué)的相關(guān)性分析和改善教學(xué)的干預(yù)性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證假設(shè)，最終形成基本理論框架，其各發(fā)展階段也都探索、積累了扎實(shí)的實(shí)踐成果[12].

2 外來HPM與本土MM教育方式的融通

20世紀(jì)70年代初，國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)（ICMI）專門成立了數(shù)學(xué)史與教學(xué)關(guān)系國際領(lǐng)導(dǎo)小組，HPM成為一個(gè)正式的數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域.HPM是History and Pedagogy of Mathematics（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）的簡(jiǎn)稱，就是利用數(shù)學(xué)史來促進(jìn)數(shù)學(xué)教育.20世紀(jì)末，HPM傳入我國.經(jīng)過20多年的發(fā)展，中國的HPM研究已經(jīng)十分成熟，既有HPM的學(xué)術(shù)組織、研究團(tuán)隊(duì)、理論創(chuàng)造[13]，又有HPM的實(shí)踐隊(duì)伍、課例模式、案例成果[14-15].

20世紀(jì)80年代末，在我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)方法論”[16]影響之下，我國中小學(xué)層面誕生了MM教育方式.MM是Mathematical Methodology的簡(jiǎn)稱，是指運(yùn)用數(shù)學(xué)本身的思想方法指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)及其改革的數(shù)學(xué)教育方式.經(jīng)過30年的發(fā)展，MM教育方式也形成了自己的學(xué)術(shù)組織、研究團(tuán)隊(duì)、理論創(chuàng)造以及豐碩的實(shí)踐成果[17].

筆者曾探討了外來的HPM與本土的MM教育方式在基本立場(chǎng)、研究?jī)?nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施方法、促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展、理論框架模式（圖2）與研究方法等方面的耦合，取得了兩者融通研究的初步成果，這里不再贅述.我們從中得到的啟示是，無論何種數(shù)學(xué)教育方式都不能脫離“數(shù)學(xué)”這個(gè)核心、不能脫離“培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)（核心）素養(yǎng)”這個(gè)基本立場(chǎng).這正是HPM與MM教育方式兩者生命力長(zhǎng)久之所在，其成果之花才會(huì)持續(xù)綻放.中國對(duì)HPM的貢獻(xiàn)、對(duì)MM教育方式的創(chuàng)建，增強(qiáng)了中國數(shù)學(xué)教育研究的理論自信[18].

3 美國MPCK與中國“四個(gè)理解”的融通

20世紀(jì)80年代，美國學(xué)者舒爾曼（Shulman）提出PCK理論.PCK是Pedagogical Content Knowledge（面向教學(xué)的知識(shí)）的簡(jiǎn)稱[19-20]，這是關(guān)于教師知識(shí)的一種理論.PCK提出后受到國外學(xué)者重視，并于2005年左右引起我國教育研究者的關(guān)注.若結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科來剖析PCK，即為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（Mathematical Pedagogical Content Knowledge，簡(jiǎn)稱MPCK）.MPCK理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該掌握四個(gè)方面的知識(shí)，即：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、一般教學(xué)法知識(shí)、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)、教育技術(shù)知識(shí)[21].

2010年，我國人教社章建躍博士提出了“三個(gè)理解”的觀點(diǎn)，認(rèn)為理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生是課程改革對(duì)數(shù)學(xué)教師提出的新要求，“三個(gè)理解”是課程改革的基石，這是實(shí)踐基礎(chǔ)之上的理論概括[22].不久之后，章建躍博士又將“三個(gè)理解”擴(kuò)展為“四個(gè)理解”，即：理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù).“四個(gè)理解”的觀點(diǎn)受到我國許多中學(xué)數(shù)學(xué)教師的青睞（中國知網(wǎng)收錄的以“四個(gè)理解”為標(biāo)題的數(shù)學(xué)教育文章多達(dá)上百篇）.

不難發(fā)現(xiàn)，作為數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展理論，美國的MPCK理論與中國的“四個(gè)理解”觀點(diǎn)是融通的，具體如圖3所示：

相比而言，MPCK理論側(cè)重知識(shí)的靜態(tài)陳列;而“四個(gè)理解”側(cè)重知識(shí)的動(dòng)態(tài)理解，包括知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用等.

4 美國MKT與中國“數(shù)學(xué)教學(xué)基本功”的融通

2000年前后，美國密歇根州立大學(xué)教育學(xué)院德博拉·鮑爾（Deborah Ball）教授團(tuán)隊(duì)也提出了一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)教師知識(shí)的理論——MKT，它是Mathematical Knowledge for Teaching的簡(jiǎn)稱，意思是“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”.MKT理論認(rèn)為教師的數(shù)學(xué)知識(shí)包括6個(gè)板塊：一般內(nèi)容知識(shí)、專門內(nèi)容知識(shí)、水平內(nèi)容知識(shí)、內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)、內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)、課程與內(nèi)容知識(shí).MKT理論建立在MPCK理論基礎(chǔ)之上，但更加突出教學(xué)實(shí)踐所需的數(shù)學(xué)知識(shí)，提出之后即受到全球數(shù)學(xué)教育研究者的青睞[23-24].鮑爾教授也因此獲得2017年國際數(shù)學(xué)教育大獎(jiǎng)——克萊因獎(jiǎng).

長(zhǎng)期以來，在我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教研組中，傳承著一條寶貴經(jīng)驗(yàn)：數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)教學(xué)基本功的訓(xùn)練與提升.這條經(jīng)驗(yàn)受到我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教師以及教育主管部門的廣泛重視.根據(jù)一項(xiàng)問卷調(diào)查獲得的數(shù)學(xué)教學(xué)基本功主要包括9個(gè)方面：解題、教材解讀、新授課教學(xué)設(shè)計(jì)、課件制作、課堂組織、板書、作業(yè)設(shè)計(jì)、復(fù)習(xí)課與試卷講評(píng)和命題[25].

美國的MKT理論與中國的數(shù)學(xué)教學(xué)基本功經(jīng)驗(yàn)之間可以對(duì)應(yīng)起來、互相融通，具體如圖4所示：

可以看出，MKT理論按照數(shù)學(xué)與教學(xué)兩個(gè)維度將數(shù)學(xué)教師的知識(shí)進(jìn)行分類，是一種陳述性的知識(shí)分類方法;而“數(shù)學(xué)教學(xué)基本功”經(jīng)驗(yàn)則按照教學(xué)流程分類，是一種程序性的知識(shí)分類.兩者可以相互轉(zhuǎn)化.

另外，需要指出兩點(diǎn)：

一是MKT理論中數(shù)學(xué)維度的三個(gè)知識(shí)板塊（一般內(nèi)容知識(shí)、專門內(nèi)容知識(shí)、水平內(nèi)容知識(shí)），又與我國傳統(tǒng)教育理論中知識(shí)的三個(gè)層面（知其然、知其所以然、知何由以知其所以然，簡(jiǎn)稱“三知”）是融通的，具體如圖5所示：

二是數(shù)學(xué)教師除了需要上述MPCK、MKT知識(shí)，除了做好“四個(gè)理解”、提升“數(shù)學(xué)教學(xué)基本功”，還需具備其他一些重要知識(shí)，才能既教書、又育人，正如2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出的：“數(shù)學(xué)教師應(yīng)以《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》為指導(dǎo)，提升自身的專業(yè)水平，數(shù)學(xué)教師要努力提升通識(shí)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)教育理論素養(yǎng)、教學(xué)實(shí)踐能力.”[26]

以上對(duì)中國“變式教學(xué)理論”與瑞典“變異學(xué)習(xí)理論”、外來HPM與本土MM教育方式、美國MPCK與中國“四個(gè)理解”、美國MKT與中國“數(shù)學(xué)教學(xué)基本功”等幾組中外數(shù)學(xué)教育理論分別開展了融通研究，旨在建立不同數(shù)學(xué)教育理論之間的聯(lián)系，幫助廣大教師透過現(xiàn)象看本質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)教育理論既不盲目崇拜，也不盲目自信，從而提升教學(xué)定力.

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作者簡(jiǎn)介 劉祖希（1980—），男，湖北仙桃人，副編審;新青年數(shù)學(xué)教師工作室創(chuàng)始人，全國數(shù)學(xué)科學(xué)方法論研究交流中心副秘書長(zhǎng)兼學(xué)術(shù)委員會(huì)副主任，中國教育學(xué)會(huì)青少年創(chuàng)新思維教育分會(huì)常務(wù)理事，中國數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育分會(huì)會(huì)員，主要從事數(shù)學(xué)教育研究與教師培訓(xùn)，倡導(dǎo)“讓數(shù)學(xué)教育研究更加平易近人”;主編《當(dāng)代中國數(shù)學(xué)教育名家訪談》《新青年教師文庫（數(shù)學(xué)卷）》《高中數(shù)學(xué)名師工作室叢書》《高中數(shù)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成手冊(cè)》等著作，發(fā)表文章100余篇，擔(dān)任《數(shù)學(xué)教學(xué)》《中小學(xué)課堂教學(xué)研究》《青少年科技報(bào)》等報(bào)刊專欄作者.

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